一元非線性回歸與相關(guān)演示文稿

一元非線性回歸與相關(guān)演示文稿當(dāng)前第1頁\共有62頁\編于星期三\17點優(yōu)選一元非線性回歸與相關(guān)當(dāng)前第2頁\共有62頁\編于星期三\17點對冪函數(shù)直化的主要手段是兩邊取常用對數(shù)。(或自然對數(shù)),取常用對數(shù)如下：1.冪函數(shù)直化7.2.1可化為直線的非線性回歸圖7.5

冪函數(shù)-1by

=

a

x0＜b＜1b>1

b=1y由對數(shù)性質(zhì)得0

這種類型的回歸方程一般只確定兩個參數(shù)。7.29冪函數(shù)式為:(見圖7.5)當(dāng)前第3頁\共有62頁\編于星期三\17點然后再轉(zhuǎn)換a`,即：lga`

=a回歸方程

-1令:可得冪函數(shù)的直化回歸方程為

例7.7已測得云杉平均胸徑x(cm)與平均樹高y(m)的資料,試配合冪函數(shù)的回歸方程;再試配合二次拋物線方程*。7.30*注:

一元二次拋物線方程的配合過程見本章所述。所以可得曲線當(dāng)前第4頁\共有62頁\編于星期三\17點

x

y

lg(x)

lg(y)

11513.91.1761.14322017.11.3011.23332520.01.3981.30143022.11.4771.34453524.01.5441.38064025.61.6021.40874527.01.6531.43185028.31.6991.45295529.41.7401.468106030.21.7781.480116531.41.8131.497表7.4

云杉平均胸徑與平均樹高數(shù)據(jù)圖7.6云杉胸徑樹高散點圖7.311520253035404550556065

302826242220181614

...........xy

對表7.4x,y畫出散點圖初步判定為冪函數(shù),分別對x,y取常用對數(shù)得表7.4第4,5列當(dāng)前第5頁\共有62頁\編于星期三\17點

解：利用計算器統(tǒng)計功能按下面步驟計算得直化后的回歸方程:7.32當(dāng)前第6頁\共有62頁\編于星期三\17點所以可得冪函數(shù)的回歸方程

對曲線相關(guān)的研究只研究其相關(guān)指數(shù)。曲線相關(guān)指數(shù)可定義為對a`進(jìn)行反對數(shù)轉(zhuǎn)換得7.33當(dāng)前第7頁\共有62頁\編于星期三\17點

計算例7.7相關(guān)指數(shù)（見表7.5）1513.914.63-0.730.532017.117.12-0.020.002520.019.330.670.453022.121.360.740.553524.023.230.770.594025.624.990.610.374527.026.650.350.125028.328.230.07

0.005529.429.73-0.330.116030.231.18-0.980.966531.432.57-1.17

1.37

xi

yi

yi

(yi

-

yi)

(yi

-

yi)

2＾

＾

440269

Q

=5.06表7.5

剩余平方和Q的計算過程

注:

對曲線回歸的檢驗較復(fù)雜,主要是Q的值較難求。＾7.34當(dāng)前第8頁\共有62頁\編于星期三\17點(1)曲線關(guān)系檢驗表7.7曲線回歸的方差分析表差異來源平方和自由度均方均方比F0.01

回歸314.3071314.307559.27**10.6

剩余5.0690.562

總和

319.36710Lyy=319.367,

Q=5.06U=319.367-

5.06=314.3077.35

對回歸關(guān)系的檢驗:當(dāng)前第9頁\共有62頁\編于星期三\17點

(2)直化關(guān)系檢驗表7.6直化后的回歸方差分析表差異來源平方和自由度均方均方比F0.01

回歸0.1247810.12478367**10.6

剩余

0.0030890.00034

總和

0.12786107.36注：兩種檢驗效果是一樣的，如果曲線回歸不能直化那么就只能用曲線方法檢驗了。當(dāng)前第10頁\共有62頁\編于星期三\17點2.指數(shù)函數(shù)直化

指數(shù)函數(shù),兩邊取自然對數(shù)可得(注意:這里x

變量并未轉(zhuǎn)換）令:b<0b>0圖7.7

指數(shù)函數(shù)圖示x

y則直化方程為:7.37當(dāng)前第11頁\共有62頁\編于星期三\17點

例7.8

在栽培試驗中,測得某夏季綠肥播種15天后,每5天

x為一期的生長量y(kg),所得數(shù)據(jù)如下,試對該資料進(jìn)行回歸與相關(guān)分析。根據(jù)散點圖7.8選擇指數(shù)函數(shù)模型y=ae

來研究。bx圖7.8

綠肥5天一期生長量曲線兩邊取自然對數(shù):直化方程:153045500100200400300.......7.38當(dāng)前第12頁\共有62頁\編于星期三\17點表7.8

綠肥5天一期生長量數(shù)據(jù)

xyy`=lnyxy`115584.06060.90220674.20584.10325794.369109.234301404.941148.235352005.298185.436403205.768230.727454806.173277.78∑210134434.8141096.367.39當(dāng)前第13頁\共有62頁\編于星期三\17點回歸方程的配合:直化后的回歸方程:7.40當(dāng)前第14頁\共有62頁\編于星期三\17點取反對數(shù)得:轉(zhuǎn)曲線回歸方程：表7.9

剩余平方和Q的計算過程

xi

yi

yi

(yi

-

yi)

(yi-

yi)＾

＾

＾

155847.4310.57111.72206768.77-1.773.13257999.81-20.81433.0630140144.58-4.5820.9835200209.41-9.4188.5540320303.32

16.68278.2245480439.35

40.651652.422101344

2588.08相關(guān)指數(shù)計算：27.41當(dāng)前第15頁\共有62頁\編于星期三\17點3.雙曲線函數(shù)直化a<0，b＞0直化：上式可作如下變換雙曲線函數(shù)如下式圖7.9

雙曲線函數(shù)a>0，b＞0(c)(b)yyxxb∞∞x∞a>0，b<0b00b(a)..y令:可直化為下式7.42當(dāng)前第16頁\共有62頁\編于星期三\17點相關(guān)指數(shù)的意義和直線回歸決定系的意義是一樣的。這里不能用原始數(shù)據(jù)求直線相關(guān)系數(shù)r,

r只能用于直線,不能用于曲線?？傻茫夯貧w方城配合:對相關(guān)指數(shù)的說明:7.43當(dāng)前第17頁\共有62頁\編于星期三\17點

例7.9

研究“岱字”棉自播至齊苗（以80%出苗為準(zhǔn)）的天數(shù)（x）與日平均土溫(y)的關(guān)系,得下表7.10,試作回歸分析。表7.10“岱字”棉至齊苗天數(shù)與土溫的關(guān)系xy3330272421183.0034.005.008.0015.0yx481216

40302010

0......圖7.10“岱字棉”至齊苗天數(shù)土溫的關(guān)系圖7.4432當(dāng)前第18頁\共有62頁\編于星期三\17點表7.11“岱字”棉至齊苗天數(shù)與土溫的關(guān)系數(shù)據(jù)變換xyx`=1/x3330272421183.0034.005.008.0015.00.33330.27270.25000.20000.12500.066610.99898.18106.75004.80002.62501.1988x`y所選模型：23直化式如下7.45x`y220.11110.07440.06250.04000.01560.00441089900725576441324∑1531.2436

34.5537

0.3084059當(dāng)前第19頁\共有62頁\編于星期三\17點直化回歸方程：曲線回歸方程：相關(guān)指數(shù)：7.46注:

本例還可用y`=a+bx轉(zhuǎn)換,其中y`=

xy,其結(jié)果相同。

當(dāng)前第20頁\共有62頁\編于星期三\17點

在農(nóng)業(yè)試驗中經(jīng)常遇到一些曲線回歸配合問題,現(xiàn)列出幾種常用的可直化的函數(shù)模型*如:密度與有效穗數(shù)間的關(guān)系。如:毛細(xì)管水的上升高度與時間的關(guān)系。如:葉綠素與透光度間的關(guān)系。如:棉纖維長分布與次數(shù)間關(guān)系。如:大豆密度與青莢產(chǎn)量間關(guān)系。*注：《農(nóng)業(yè)試驗統(tǒng)計》莫惠棟編著上?？萍汲霭嫔?984如:洋蔥鱗莖的直徑與重量間的關(guān)系。7.47當(dāng)前第21頁\共有62頁\編于星期三\17點4.

S

形曲線直化

在生物界中,反應(yīng)生物的累積發(fā)生量(率)y與時間、濃度、藥品用量x等關(guān)系時,可以用S

形曲線來刻畫。如:動植物的累積發(fā)病率、累積死亡率、累積發(fā)生進(jìn)度、繁殖過程與時間、濃度與藥品用量的關(guān)系等。圖7.11

對稱的S形曲線圖7.12

不對稱的S形曲線時間濃度用量累積率yx時間濃度用量x累積率y7.48當(dāng)前第22頁\共有62頁\編于星期三\17點

(1)對稱的S形曲線:一些作物的日生長量或發(fā)生量等往往為正態(tài)或近似正態(tài)分布(下圖左),其累積量(率)y%與時間x則呈對稱的S形曲線(下圖右)。xy日發(fā)生量日生長量日期圖7.13

正態(tài)分布曲線圖7.14

對稱

s

形曲線xy%日期累積率累積量7.49當(dāng)前第23頁\共有62頁\編于星期三\17點

可將資料中的累積率y%視為正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(u)=P{U≤u},若將y%

轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布的u值,則u與時間x就成為直線關(guān)系了,但是u變量的取值有時為正或為負(fù)計算起來很不方便,可采用P=u+5來解決。則P=a+bx

。P

稱概率單位值(不要和概率符號P相混淆),在一些統(tǒng)計書中可查到《百分率與概率單位換算表》。7.50對稱的S形曲線直化過程：當(dāng)前第24頁\共有62頁\編于星期三\17點

例7.10

研究某地越冬代棉花紅鈴蟲的化蛹進(jìn)度y%與時間x的關(guān)系,試進(jìn)行回歸分析。解:首先將觀察日期轉(zhuǎn)換為以5月31日為0的數(shù)值(x),化蛹進(jìn)度y%與x成

S

形曲線,再將y%查表轉(zhuǎn)換為概率單位值P,

而P與x即為直線了。

510

1520253035404550y%502575100..........圖7.15

棉紅鈴蟲s形曲線圖x5101520253035404550

y%502575100..........x7.51當(dāng)前第25頁\共有62頁\編于星期三\17點表7.12

棉花紅鈴蟲化蛹進(jìn)度表

月/日

x

天

y%

P概率單位

P6/5

53.53.18813.12643.16/10106.43.47803.56277.56/151514.63.94633.999115.86/202031.44.51554.435428.66/252545.64.88954.871844.96/303060.45.26375.308262.17/53575.25.68085.744577.27/104090.26.29306.180988.17/154595.46.68496.617294.77/205097.56.96007.536098.0

∑

275

50.8998＾y%＾7.52當(dāng)前第26頁\共有62頁\編于星期三\17點得回歸方程:7.53當(dāng)前第27頁\共有62頁\編于星期三\17點例如:

測報7月2日時即x=32,代入回歸方程得P=5.4719,查表得P對應(yīng)的累積率為68.15%P概率單位值P=2.756+0.0848x

＾1020304050x..........73456日期圖7.16

概率單位與日期直線關(guān)系圖可計算直線回歸的相關(guān)系數(shù)7.54當(dāng)前第28頁\共有62頁\編于星期三\17點

(2)不對稱的

S

形曲線:生物生長量或發(fā)生量y與時間x的曲線并不都是正態(tài)(圖7.17),其累積率也呈現(xiàn)出不對稱的

S形曲線(圖7.18),xyxy%發(fā)生量日期日期生長量圖7.18

不對稱S形曲線圖7.17

偏態(tài)曲線累積率7.55當(dāng)前第29頁\共有62頁\編于星期三\17點

例7.11用氯氰菊酯對菜粉蝶五齡幼蟲進(jìn)行觸殺毒力測定(LD50),累積死亡率y%與單位體重藥量x(μ/L)之間的圖形呈不對稱的S形曲線(見下圖7.19),試對其直化后進(jìn)行回歸分析。g如果將累積率y%轉(zhuǎn)換成P,則P和時間x的關(guān)系仍然是曲線,達(dá)不到直化的目的,前面的方法不能直接搬用,但是只要將x取對數(shù)轉(zhuǎn)換(lgx),則P與lgx

就為直線了,P=a+blgx

。7.56當(dāng)前第30頁\共有62頁\編于星期三\17點

解:將累積更正死亡率查百分率與概率單位值轉(zhuǎn)換表得概率單位值P,再將單位體重藥量

轉(zhuǎn)換為lgx

建立直化回歸方程

0.00799919.80.0155932.20.037657.80.068481.70.13192.3

x(μg/L)死亡率y%

表7.13菜粉蝶五齡幼蟲毒殺力測定12345圖7.19

氯氰菊酯觸殺菜

粉蝶毒力測定圖單位體重藥量y%累積死亡率.....10000.040.120.08806040200.16x7.57當(dāng)前第31頁\共有62頁\編于星期三\17點

0.007999

-2.09719.84.15120.01559-1.80732.24.53790.0376-1.42557.85.1968

0.0684-1.16581.75.9040

0.131-0.88392.36.4255

∑

-7.377

26.2154

平均

-1.4754

5.2431

x(μ/L)

x`=

lgxy%

P

概率單位

g表7.14

菜粉蝶五齡幼蟲毒殺力測定數(shù)據(jù)123457.58當(dāng)前第32頁\共有62頁\編于星期三\17點7.59當(dāng)前第33頁\共有62頁\編于星期三\17點即:

lgx概率單位值

P-0.8-1.6-2.0-2.4.....76543-1.4圖7.20

直線回歸方程

直線回歸方程7.60當(dāng)前第34頁\共有62頁\編于星期三\17點1

0.007999-2.09719.8

4.15124.05017.1

7.2920.01559

-1.80732.2

4.53794.607

34.7

6.2530.0376

-1.42557.85.1968

5.33963.330.340.0684

-1.16581.75.90405.83980.90.6450.131

-0.883

92.3

6.42556.379

91.60.49

∑

-7.377

26.215

44.92

平均

-1.475

5.2431

x(μ/L)

x`=lgx

y%Pg表7.15

菜粉蝶五齡幼蟲毒殺力測定預(yù)測及相關(guān)指數(shù)計算表＾＾P＾y%(yi

–yi)2ii7.61當(dāng)前第35頁\共有62頁\編于星期三\17點預(yù)測

x=0.04(μ

/L)時,菜粉蝶五齡幼蟲死亡率?概率單位值P=8.0746+1.9191×lg0.04=5.392,

將概率單位值轉(zhuǎn)換為百分率:

5.392

轉(zhuǎn)換為百分率≈65.25%,

(查附表)相關(guān)指數(shù)：r=0.98

g

＾

27.62

5.Logistic

生長曲線(S形曲線)

動植物的生長或繁殖,假定在無限空間、無限營養(yǎng)來源等無約束條件下進(jìn)行,則其生長或繁當(dāng)前第36頁\共有62頁\編于星期三\17點殖量與時間的關(guān)系開始時為指數(shù)函數(shù):這種關(guān)系通常只能在一開始的一段時間內(nèi)成立,但實際上由于環(huán)境條件的惡化、營養(yǎng)的不足、衰老的加快、繁殖的減慢、死亡的增多等約束條件伴隨而來,β不能保持穩(wěn)定,它們將改變這這種關(guān)系而呈現(xiàn)出Logistic曲線形式。7.63當(dāng)前第37頁\共有62頁\編于星期三\17點

稱上式為自然生長方程。其中:y是生長量,繁殖量(或累積率),K是時間無限時y的極限量(率),x為演變時間。該曲線與前兩種

s

形曲線有所不同,它沒有正態(tài)分布或近似正態(tài)分布假定,所以具有更廣泛的適應(yīng)性。(1)Logistic

函數(shù)表達(dá)式或①②7.64當(dāng)前第38頁\共有62頁\編于星期三\17點

(2)Logistic

函數(shù)的性質(zhì)1.

當(dāng)x=0

時可算得起始量2.

當(dāng)x=-

ln(1/a)/b,y=K/2時為拐點,即變化率從逐增過度到逐減的分界點。3.

當(dāng)x在[0,-

ln(1/a)/b]區(qū)間時變化率逐增;在[-ln(1/a)/b

,∞]變化率逐減。見圖7.22xy∞時間累積量累積率

%Kk2x=-

ln(1/a)/b0圖7.22

Logistic曲線.7.65拐點當(dāng)前第39頁\共有62頁\編于星期三\17點未知參數(shù)的確定：①如果

y

是累積率則極限值則K=100。②如果y是生長量或繁殖量,其極限值K可由按下式近似求得在實際應(yīng)用時(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),是數(shù)據(jù)中的三對觀察值,

x1,x2,x3

是等間距的量,間距不應(yīng)太小,間距小了算出的K值誤差較大。7.66當(dāng)前第40頁\共有62頁\編于星期三\17點(3)Logistic

生長曲線直化過程將函數(shù)①變形得等式兩邊同除以y并取自然對數(shù)得令：則有:再求解直線回歸系數(shù)：a`,-

b

7.67當(dāng)前第41頁\共有62頁\編于星期三\17點

再對a`取反自然對數(shù)得曲線回歸系數(shù)a,可得方程式

①。

注意:如果對②式直化則有(對回歸系數(shù)a不再取反對數(shù))。即:

①,②式的

a是不同的,這里必須指出用同一資料所配合的曲線方程①和②是等價的。注:Logistic

曲線方程是由比利時數(shù)學(xué)家t于1838年導(dǎo)出,但長期湮沒,至20世紀(jì)20年代才又被統(tǒng)計學(xué)家R.Pearl和重新發(fā)現(xiàn)。該方程在動植物的飼養(yǎng)、栽培、資源、生態(tài)、環(huán)境保護(hù)等方面的模擬研究中已有較廣泛的應(yīng)用。7.68當(dāng)前第42頁\共有62頁\編于星期三\17點

例7.13

試以生長曲線描述例7.10越冬代棉紅鈴蟲化蛹進(jìn)度和時間的關(guān)系。利用Logistic函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì),求出拐點并解釋其實際意義。

解：因為y

變量是化蛹進(jìn)度為百分?jǐn)?shù)(%),所以當(dāng)發(fā)生時間x無限時y的極限值

K=100

分析計算過程：7.69當(dāng)前第43頁\共有62頁\編于星期三\17點表7.17

棉紅鈴蟲化蛹進(jìn)度和時間表x(天)y%

100

-yy

ln(

)100

-yy

53.527.5713.3168106.414.6252.68271514.65.84931.76632031.42.18470.78152545.61.19300.17653060.40.6556-0.42223575.20.3298-1.10934090.20.1068-2.21964595.40.0482-3.03205097.50.0256-3.6636iiii7.70當(dāng)前第44頁\共有62頁\編于星期三\17點反對數(shù)求a可得:得曲線回歸方程:或①②7.71當(dāng)前第45頁\共有62頁\編于星期三\17點當(dāng)x=0

時化蛹進(jìn)度y%=1.58%,

當(dāng)x=-ln(1/62.08864)/0.156395=26.4為拐點,見圖7.23。說明在6月27日時化蛹進(jìn)度達(dá)y%=50%,

6月27日前化蛹進(jìn)度是逐增的,6月27日以后化蛹進(jìn)度就逐漸減慢。＾

＾圖7.23

棉紅鈴蟲化蛹進(jìn)度xy%化蛹進(jìn)度日期102030405025507510050%100%6月27日.07.72當(dāng)前第46頁\共有62頁\編于星期三\17點

例7.14

測定某種肉用雞在良好飼養(yǎng)條件下的生長過程,每兩周測定一次,得數(shù)據(jù)如下,試以Logistic方程描述之。(x周次,y重量kg)先求極限生長量K值：由資料可選等間距x對應(yīng)的y值為7.73解：由下式可求得K值當(dāng)前第47頁\共有62頁\編于星期三\17點表7.18

肉用雞周次體重(ykg)數(shù)據(jù)表2.827-yy

ln(

)2.827-yy

1

2

0.308.42332.13104.2620240.862.28720.82733.3092

361.730.6341-0.4556-2.7336

482.200.2850-1.2553-10.0424

5102.470.1445-1.9345-19.345

6122.670.0588-2.8336-34.0032

7142.800.0096-4.6460-65.0224

∑

56-8.1667-123.597平均8-1.1667

周次x

重量

yiiiii7.74當(dāng)前第48頁\共有62頁\編于星期三\17點配合回歸方程：7.75當(dāng)前第49頁\共有62頁\編于星期三\17點當(dāng):

周(為拐點)

是生長過程的速率由快轉(zhuǎn)慢的界點,當(dāng)x＜5.76或周時速率逐增,x＞5.76時速率逐減。x＜拐點時,可用指數(shù)函數(shù)描述,x＞拐點時,則需用Logistic方程才能描述全過程。7.76當(dāng)前第50頁\共有62頁\編于星期三\17點一元二次拋物線回歸(一元二次多項式回歸)7.2.2不可直化的一元非線性回歸樣本回歸方程:1.一元二次拋物線回歸的配合數(shù)學(xué)模型：上式不能直接用取對數(shù)的方進(jìn)行直化,只能用解方程的方法求解回歸系數(shù)a,b,c。7.77當(dāng)前第51頁\共有62頁\編于星期三\17點圖7.24

拋物線回歸方程與圖形y=a+bx+cx2yx

在研究動植物發(fā)育速度與溫度間的關(guān)系、肥料或飼料與產(chǎn)量或重量的關(guān)系有時可用拋物線回歸來描述。如：苜蓿盲蝽卵不同溫度與卵的發(fā)育速度間的關(guān)系就為拋物線。2.二次拋物線方程系數(shù)的最小二乘估計：

令:

求函數(shù)

(因為Q是二次函數(shù),所以一定有極值且有極小7.78當(dāng)前第52頁\共有62頁\編于星期三\17點值),對函數(shù)Q(a,b,c)分別求一階偏導(dǎo),令其為0：即:7.79當(dāng)前第53頁\共有62頁\編于星期三\17點三元一次正規(guī)方程組③①②對上面正規(guī)方程組求解a,b,c(行列式解法)………………將方程兩邊各同除以2,進(jìn)行整理之,可得下面7.80當(dāng)前第54頁\共有62頁\編于星期三\17點得：回歸方程:7.81當(dāng)前第55頁\共有62頁\編于星期三\17點

例7.15

對苜蓿盲蝽卵進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)不同溫度x與卵的發(fā)育速度

y

呈二次曲線型,見表7.19圖7.25試對其進(jìn)行回歸分析。

解：盲蝽象卵的發(fā)育速度y是按照發(fā)育天數(shù)的倒數(shù)乘以100轉(zhuǎn)換來的。圖7.25

苜蓿盲蝽卵溫度與發(fā)育速度關(guān)系圖發(fā)育速度y溫度x.......164812152025303540表7.19苜蓿盲蝽卵溫度與發(fā)育速度關(guān)系

溫度x

發(fā)育速度

y

15

3.85207.58259.433011.35