多項式插值與逼近

多項式插值與逼近第一頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五對于插值曲線而言，曲線上的這些數(shù)據(jù)點與參數(shù)域內的點構成一種對應關系。一組數(shù)據(jù)點決定一個參數(shù)分割，稱為對數(shù)據(jù)點實行參數(shù)化(parametrization)

對數(shù)據(jù)點實行參數(shù)化有如下方法：1.均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化)法僅適合于數(shù)據(jù)點多邊形各邊（或稱弦長）接近相等的場合。注意：即使數(shù)據(jù)點各弦長嚴格相等，也不表示插值曲線的參數(shù)化是均勻的，插值曲線的參數(shù)化與數(shù)據(jù)點的參數(shù)化有關，但不是一回事。2.積累弦長參數(shù)化(簡稱弦長參數(shù)化)法

其中，為向前差分矢量3.向心參數(shù)化法（平方根法）第二頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五4.福利（Foley，1989）參數(shù)化法（修正弦長參數(shù)化法）有些看不懂3.2多項式插值曲線

當構造多項式插值曲線時，必須使曲線方程的待定系數(shù)矢量的個數(shù)等于給定的插值條件數(shù)即數(shù)據(jù)點數(shù)目。在構造順序通過數(shù)據(jù)點Pi(i=0,1,…,n)的多項式插值曲線時，（1）若采用的多項式基為冪基時，得插值曲線方程為第三頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五

設已對數(shù)據(jù)點實行了參數(shù)化，決定了參數(shù)分割將參數(shù)值代入曲線方程，使之滿足插值條件可將其寫成矩陣的形式，也可以將插值曲線方程寫成嵌套乘積的形式，這樣便于編程，減少舍入誤差。用此方法來構造插值曲線時，需要解線性方程組，當n很大時，系數(shù)矩陣呈現(xiàn)病態(tài)，此方法不可取第四頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五(2)拉格朗日多項式插值法是最古老的插值方法.參數(shù)形式的拉格朗日插值曲線方程為：其中，是拉格朗日基，它滿足插值條件給定約束方程，其中的符號是克羅內克爾符號第五頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五拉格朗日基具有規(guī)范性，公式具有明顯的規(guī)律性，數(shù)據(jù)點Pi在曲線方程中顯示的出現(xiàn)，這些都是拉格朗日插值的優(yōu)點，缺點在于數(shù)據(jù)點改變時，原來的數(shù)據(jù)不能使用，必須重新計算。（4）牛頓均差形式這里引入了另外一組基：1，u,(u-u0)*(u-u1)…..,矢量dj是數(shù)據(jù)點Pi的j階均差矢量。（5）埃爾米特插值此方法不是對n+1個點及其導矢進行插值，而是在兩個數(shù)據(jù)點P0、P1及其直到K階的導矢之間進行插值有點不懂第六頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五3.3最小二乘逼近

本節(jié)所講的最小二乘逼近的分析方法與學過的理論相似，只是曲線的方程采用了基表示的參數(shù)多項式形式。

根據(jù)前幾節(jié)的知識，對于給定數(shù)據(jù)點，可以選擇適當?shù)姆椒ㄟM行參數(shù)化，決定一個參數(shù)分割，然后根據(jù)插值曲線所滿足的插值條件，就可以得到線性方程組(其中插值曲線的次數(shù)n小于數(shù)據(jù)點的數(shù)目m)K=0,1,…m相應的可以寫成矩陣形式，由條件知，矢量方程的個數(shù)m+1大于未知矢量的個數(shù)n+1，這樣的方程是超定的。一般情況下，方程的解不存在，即一般不存在嚴格依次通過這些數(shù)據(jù)點的曲線P(u),只能尋求在某種意義下最為接近這些數(shù)據(jù)點的參數(shù)多項式曲線來逼近曲線。第七頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五

通常，用逼近曲線上參數(shù)值為Uk的點P(Uk)與數(shù)據(jù)點Pk間距離的平方和

達到最小來刻劃逼近的程度。下面就是根據(jù)求偏導來計算。由于輸入比較麻煩，就不詳細了第八頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五3.4弗格森參數(shù)三次曲線

由于高次參數(shù)多項式曲線存在缺點，不適合用來插值，而低次多項式曲線又難以用來描述形狀復雜的曲線。唯一的選擇就是：將一段段低次曲線在滿足一定的連接條件下逐段拼接起來。這樣以分段(piecewise)方式定義的曲線稱為組合(composite)曲線。3.4.1參數(shù)三次曲線方程

參數(shù)三次（parametriccubic）曲線，簡稱PC曲線，若采用冪基表示可見，曲線段是定義在規(guī)范參數(shù)域[0,1]上的。下面就需要確定四個系數(shù)矢量ai，進而確定曲線段方程。(3.1)第九頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五通常采用的方法是，規(guī)定曲線段兩端點及其切矢。下面就將(3.1)式對t求導，并將t=0,1代入，得到如下方程可以寫成矩陣的形式，可以求解出系數(shù)矢量。第十頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五將上式代入（3.1）得上式實際上是與標量形式的三次埃爾米特插值相對應的參數(shù)形式，即是定義在[0,1]上的參數(shù)三次埃爾米特插值。將上式中前兩個矩陣相乘即可得四個混合函數(shù)(blendingfunctions)，也即三次埃爾米特基(3.5)第十一頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五3.4.2參數(shù)三次曲線的幾何特征此部分內容有點模糊3.4.3三次埃爾米特插值的域變換

實踐中，我們往往想得到任意參數(shù)域上的三次埃爾米特插值，解決方法是對(3.5)中的參數(shù)作域變換。代入（3.5）得P=P(t(u))令第十二頁，共十五頁，