多元函數(shù)的極值與最值

多元函數(shù)的極值與最值第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五2o局部極值的計(jì)算首先研究極值點(diǎn)的特征,即研究必要條件設(shè)P0=(x0,y0)是z=f(x,y)的局部極小值點(diǎn),

z=f(x,y)在P0

處可微對(duì)任意的PN(P0,δ)則根據(jù)定義,存在N(P0,δ),使若令則有第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五x=x0

是h(x)的局部極小值點(diǎn)y=y0

是g(y)的局部極小值點(diǎn)由f(x,y)在P0

處可微h(x)在x=x0

處可導(dǎo)

g(y)在y=y0

處可導(dǎo)于是在P0

點(diǎn)處成立第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理(可微函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件)設(shè)z=f(x,y)在P0=(x0,y0)處可微,P0

是

f(x,y)的極值點(diǎn),則有說(shuō)明:(2)可微函數(shù)的極值點(diǎn)必為f(x,y)的穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)(或駐點(diǎn))(1)使的點(diǎn)稱為f(x,y)的第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例討論下列函數(shù)的極值(1)(2)(3)解(1)在R2上可微穩(wěn)定點(diǎn)為(0,0)又(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn)極小值:f(0,0)=1第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五(2)在R2上可微穩(wěn)定點(diǎn)為(0,0)又在點(diǎn)(a,0)處:在點(diǎn)(0,b)處:在(0,0)點(diǎn)的任意鄰域內(nèi),都有大于f(0,0)=0及小于f(0,0)=0的點(diǎn),所以(0,0)不是極值點(diǎn)第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五(3)f(x,y)無(wú)穩(wěn)定點(diǎn)又注意到(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn)極小值f(0,0)=0第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五說(shuō)明:上例說(shuō)明(2)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能為極值點(diǎn)定理

(極值點(diǎn)的必要條件)極值點(diǎn)必是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)或者偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)說(shuō)明:(1)臨界點(diǎn)未必一定是極值點(diǎn),僅是必要條件(2)不是極值點(diǎn)的臨界點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)(1)穩(wěn)定點(diǎn)未必一定是極值點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)或者偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理

(二階充分條件)設(shè)z=f(x,y)在臨界點(diǎn)P0=(x0,y0)的某鄰域N(P0,δ)內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有(1)當(dāng)時(shí),P0

為f

的極小值點(diǎn)(2)當(dāng)時(shí),P0

為f

的極大值點(diǎn)(3)當(dāng)H<0時(shí),P0

為f

的鞍點(diǎn)(4)當(dāng)H=0時(shí),對(duì)P0

不能作出定性結(jié)論記第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五解例討論下列函數(shù)的極值(1)(2)(1)f是R2上的可微函數(shù)解得臨界點(diǎn)P=(1,0)又第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五由,知P=(1,0)是f

的極小值點(diǎn)極小值:(2)f是R2上的可微函數(shù)解得臨界點(diǎn):第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五在P1

處:P1=(0,0)是鞍點(diǎn)在P2

處:P2=(0,2)是鞍點(diǎn)在P3

處:P3=(2,0)是鞍點(diǎn)在P4

處:

f

在P4

處取得極大值:第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五3o最值問(wèn)題條件極值最值問(wèn)題設(shè)z=f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f

在D上可取得最值(最小值及最大值)設(shè)PD

為f

的最值點(diǎn)(1)若P

在D

的內(nèi)部,則P

為f的局部極值點(diǎn),從而可用求局部極值的方法求得(2)若PD,若設(shè)D:(x,y)=0,則需解(1)第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五其中,f(x,y)稱為目標(biāo)函數(shù);(x,y)=0稱為約束條件;

問(wèn)題(1)

稱為f(x,y)的條件極值問(wèn)題(或等式約束極值問(wèn)題

)所以,求f在D

上的最值問(wèn)題必須求解下面的兩個(gè)問(wèn)題:(1)求f在D

內(nèi)部的局部極值點(diǎn)(2)求f在D

上的條件極值點(diǎn)第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例求在直線x+y=6,x軸,y軸所界閉區(qū)域D

上的最大值和最小值解(2)再求f

在D

上的最值穩(wěn)定點(diǎn)P1=(2,1)(1)先求f

在D

內(nèi)部的極值點(diǎn)1)在x=0(0y6)上,f(0,y)=0第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五2)在y=0(0x6)上,f(x,0)=03)在x+y=6上,即y=6xx=0,x=4在x+y=6上可能的最值點(diǎn)為所以,f

在D上的最大值第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五說(shuō)明:以上解條件極值問(wèn)題的方法從(x,y)=0確定y=y(x),代入f,解一元問(wèn)題即將二元條件極值問(wèn)題通過(guò)消元化為一元函數(shù)的極值問(wèn)題來(lái)解問(wèn)題:從(x,y)=0解得y=y(x)是困難的拉格朗日提出了一種不解y=y(x)的方法第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五4o拉格朗日乘數(shù)法(乘子法)(x,y)=0及等值線f(x,y)=c如圖所示(1)在f(x,y)=c與(x,y)=0的交點(diǎn)處(非切點(diǎn))f(x,y)不能取得最優(yōu)值(2)在f(x,y)=c與(x,y)=0的切點(diǎn)A,B

處f(x,y)取得最優(yōu)值可以看到:考慮下面的條件極值問(wèn)題(1)

第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以,在最優(yōu)值點(diǎn)A,B

處:(x,y)=0與某等值線f(x,y)=c有公共的切線(x,y)=0與f(x,y)=c有公共的法線在最優(yōu)值點(diǎn)A,B

處的法向在最優(yōu)值點(diǎn)A,B

處的法向與在A,B

處共線第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五存在

λR,使

即在最優(yōu)點(diǎn)(x0,y0)處應(yīng)滿足:存在

λ0

使(3)(2)

即第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五令L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x,y)(拉格朗日函數(shù))則上式(3)

可等價(jià)地表示為(4)第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五條件極值的必要條件:如果點(diǎn)(x0,y0)是問(wèn)題(1)的最優(yōu)點(diǎn),則存在常數(shù)λ0R

使(4)第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于一般的等式約束的極值問(wèn)題(或規(guī)劃問(wèn)題)引入拉格朗日函數(shù):其中(5)第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果點(diǎn)是問(wèn)題(5)

的解,則存在常數(shù),使條件極值(5)

的必要條件:第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例求f(x,y,z)=x+y+z

在圓上的極值解構(gòu)造拉格朗日函數(shù)z=1μ=1(6)(8)(7)(10)(9)y=x第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五代入(9)

得所以,可能的極值點(diǎn):注意到f

在圓上的最小值,最大值此時(shí)即為f

在圓上的極小值,極大值,所以極小值:極大