多邊形內(nèi)角和外角和

多邊形內(nèi)角和外角和第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五92o60

o1

155°60°21245°35°32°求下列圖中各標(biāo)出角的度數(shù)。復(fù)習(xí)回顧∠1=32°∠1=115°∠2=65°∠1=80°∠2=112°第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五11.3.1多邊形第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五圖中有你認(rèn)識(shí)的多邊形嗎？第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五從這些圖形你能抽象出什么平面圖形？第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五三角形

長方形

六邊形

四邊形

八邊形在平面內(nèi)，由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。多邊形的定義你能仿照三角形的定義給出多邊形的定義嗎？第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五你能類比三角形的組成要素，說一說下面圖形各部分的名稱是什么？

邊內(nèi)角頂點(diǎn)外角對(duì)角線第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五了解一下頂點(diǎn)內(nèi)角邊可表示為：五邊形ABCDE或五邊形DCBAEABCDE外角第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五對(duì)角線對(duì)角線對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段。ABCDE讀出圖中所有的對(duì)角線第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五練習(xí)：畫出五邊形ABCDE的所有對(duì)角線.ABCED

連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五你能寫出每個(gè)圖形中對(duì)角線的總條數(shù)嗎？如果不行，請(qǐng)畫出所有對(duì)角線。0259

太難畫了，能不全畫出對(duì)角線而計(jì)算出來嗎？你能告訴我二十邊形的對(duì)角線條數(shù)嗎？五十邊形呢？一百邊形呢？n邊形呢？20第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引

條對(duì)角線,它將四邊形分成

個(gè)三角形從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引

條對(duì)角線,它將五邊形分成

個(gè)三角形.從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引

條對(duì)角線,它將六邊形分成

個(gè)三角形.問題探究一兩兩三三四從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引

條對(duì)角線,它將n邊形分成

個(gè)三角形.n-3n-21.2.3.…第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五歸納總結(jié)邊數(shù)34568…n從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)上述對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)…總的對(duì)角線條數(shù)…0101222353495620n-3n-2n(n-3)2…已知一個(gè)多邊形有35條對(duì)角線，你能求出它的邊數(shù)嗎？第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)為：條(n≥3)n邊形共有對(duì)角線條(n≥3)總結(jié)2(n－3)第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五（1）（2）ABCDEFGH你能說出這兩幅圖形的異同點(diǎn)嗎？探究3第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五多邊形的分類如圖，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在直線，整個(gè)四邊形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形。ABCD第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五ABDC四邊形ABCD是凹四邊形，因?yàn)楫嫵鲞匔D（或BC）所在直線，整個(gè)四邊形不都在這條直線的同一側(cè)。第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五問題5：觀察正三角形、正方形的特征，猜想滿足什么條件的多邊形是正多邊形？定義：如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形.第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五正多邊形各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的各個(gè)角都相等，各條邊都相等。例如：正三角形正方形正五邊形正六邊形第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五試一試

你會(huì)利用三角形的內(nèi)角和計(jì)算四邊形ABCD的內(nèi)角和嗎？請(qǐng)你與同學(xué)們交流你的證明思路.DCBA

連接對(duì)角線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五ABCD

四邊形ABCD的內(nèi)角和＝△ABC的內(nèi)角和﹢△ACD的內(nèi)角和=180°+180°=360°

已知：四邊形ABCD，試說明：∠A+∠B+∠C+∠D=360°分析:

觀察上圖：可以看出四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以做_____對(duì)角線，它們將四邊形分成_____個(gè)三角形，所以四邊形的內(nèi)角和為_____。1思考:2360°第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五ABCDEF同理：從五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以做_____對(duì)角線，它們將四邊形分成_____個(gè)三角形，所以四邊形的內(nèi)角和為_____。2

3

同理：從六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以做_____對(duì)角線，它們將四邊形分成_____個(gè)三角形，所以四邊形的內(nèi)角和為_____。3

4

第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五多邊形邊數(shù)一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)圖形分成三角形的個(gè)數(shù)計(jì)算規(guī)律三角形四邊形五邊形六邊形七邊形n邊形………………34567n0n-3123412345n-2(n－2)·180°5×180°4×180°3×180°2×180°1×180°第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五探究四邊形內(nèi)角和還有哪些方法？DCBADCBAODCBAODCBAO●●●4×180°-360°

=360°3×180°-180°=360°4×180°-360°=360°3×180°-180°=360°

共同點(diǎn)：找一個(gè)點(diǎn)，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。DCBAo第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五n邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用B

ACDGFEn邊形內(nèi)角和=(n－2)·180°第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五1.求下列圖形中x的值：∟(1)∟(2)(3)CABDE(4)AB∥CD做一做

第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五（1）十二邊形的內(nèi)角和是多少？解：（12-2）×180°=10×180°=1800°答：十二邊形的內(nèi)角和為1800°練一練第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五(2)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為2700°，求它的邊數(shù)。解：設(shè)這是一個(gè)n邊形，根據(jù)題意得：（n-2）·180°=2700°

解得：n=17答：它的邊數(shù)為17.第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A點(diǎn)出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各點(diǎn)之后回到點(diǎn)A.最后再轉(zhuǎn)回出發(fā)時(shí)的方向。在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和是多少？多邊形的外角和第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

例1

如圖，在五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．五邊形的外角和等于多少？1.任意一個(gè)外角和他相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？2.五個(gè)外角加上他們分別相鄰的五個(gè)內(nèi)角和是多少？3.這五個(gè)平角和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？

6EBCD1

2

3

4

5

A第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

例2

如圖，在五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．五邊形的外角和等于多少？5邊形外角和

結(jié)論：五邊形的外角和等于360°-(5-2)×180°=360°

6EBCD1

2

3

4

5

A=5個(gè)平角-5邊形內(nèi)角和=5×180°第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五探究在n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．n邊形外角和=結(jié)論：n邊形的外角和等于360°-(n-2)×180°=360°

A1EBCD

2

3

4

5F

nn個(gè)平角-n邊形內(nèi)角和=n×180

°第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度嗎？每個(gè)外角呢？每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是每個(gè)外角的度數(shù)是第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五練一練練習(xí)1：正五邊形的每一個(gè)外角等于____，每一個(gè)內(nèi)角等于_____。5X=360°X=72°72°108°解：設(shè)正五邊形的每一個(gè)外角度數(shù)為x，由多邊形的外角和等于360度可得：所以每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為108°第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。

解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n∵它的內(nèi)角和等于(n-2)?180°，多邊形外角和等于360o，∴(n-2)?180°=2×360o。解得:n=6

∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6。第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五1．下列不是凸多邊形的是（）ABCD2.下列圖形中∠1是外角的是（）

ABCD3．下列說法正確的是（）A．一個(gè)多邊形外角的個(gè)數(shù)與邊數(shù)相同B.一個(gè)多邊形外角的個(gè)數(shù)是邊數(shù)的2倍C．每個(gè)角都相等的多邊形是正多邊形D．每條邊都相等的多邊形是正多邊形一試身手

C

１１１１

DB第三十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五闖關(guān)一：基礎(chǔ)過關(guān)1、快速搶答，熟悉公式(1)、8邊形的內(nèi)角和是

。（10分）(2)、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°它是

邊形。（10分）(3)、正五邊形的每一個(gè)外角等于___.每一個(gè)內(nèi)角等于_____（10分）(4)、如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角等于30°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_____（10分）1080°101272°108°第三十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五闖關(guān)二：能力提升2、在四邊形ABCD中，∠A=120度，∠B：∠C：∠D=3：4：5，求∠B=

，∠C=

，∠D=

。（20分）3、如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角的關(guān)系是

。（20分）60°100°80°互補(bǔ)4、正n邊形的每一個(gè)外角等于___.每一個(gè)內(nèi)角等于

,5、一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是

邊形。（20分）360°n(n-2)×180°n6第三十