高中數(shù)學(xué)第五章平面向量專題講義及高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換章末測試B

PAGEPAGE1第1講平面向量的概念及線性運算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.

第2講平面向量基本定理及坐標表示知識梳理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.平面向量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.

第3講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用知識梳理1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，記＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos__θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘積.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

第1講平面向量的概念及線性運算基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A.a與λa的方向相反 B.a與λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a3.如圖，在正六邊形ABCDEF中，＋＋＝()A.0B.C. D.4.設(shè)a0為單位向量，下述命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.35.設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則＋＋＋等于()A. B.2 C.3 D.46.在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，則等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)b C.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c7.(2017·溫州八校檢測)設(shè)a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為()A.－2 B.－1 C.1 D.28.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，＝a，＝b，則＝()A.a－eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a－bC.a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋b二、填空題9.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量相等的向量有________個.10.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________.11.向量e1，e2不共線，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，給出下列結(jié)論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中所有正確結(jié)論的序號為________.能力提升題組13.(2017·延安模擬)設(shè)e1與e2是兩個不共線向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為()A.－eq\f(9,4) B.－eq\f(4,9) C.－eq\f(3,8) D.不存在14.已知點O,A,B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2＝2＋，則()A.點P在線段AB上B.點P在線段AB的反向延長線上C.點P在線段AB的延長線上D.點P不在直線AB上16.若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________.

第2講平面向量基本定理及坐標表示基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.(必修4P118A組2(6))下列各組向量中，可以作為基底的是()A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))2.(2016·沈陽質(zhì)監(jiān))已知在?ABCD中，＝(2，8)，＝(－3，4)，則＝()A.(－1，－12) B.(－1，12)C.(1，－12) D.(1，12)3.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件4.如右圖，向量e1，e2，a的起點與終點均在正方形網(wǎng)格的格點上，則向量a可用基底e1，e2表示為()A.e1＋e2B.－2e1＋e2C.2e1－e2D.2e1＋e25.已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三點共線，則k的值是()A.－eq\f(2,3) B.eq\f(4,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)6.在△ABC中，點D在BC邊上，且＝2，＝r＋s，則r＋s等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3) C.－3 D.07.在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若＝(4，3)，＝(1，5)，則等于()A.(－2，7) B.(－6，21)C.(2，－7) D.(6，－21)8.已知點M是△ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且＝2，則向量＝()A.eq\f(1,2)＋eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)C.eq\f(1,6)＋eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)＋eq\f(3,2)二、填空題9.(2017·廣州綜測)已知向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，則x＋y＝________.10.若三點A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為________.11.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數(shù)x的值為________.12.在平行四邊形ABCD中，＝e1，＝e2，＝eq\f(1,4)，＝eq\f(1,2)，則＝________(用e1，e2)表示.能力提升題組13.(2017·長沙調(diào)研)如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，＝x＋y，且＝2，則()A.x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B.x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C.x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D.x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)14.已知||＝1，||＝eq\r(3)，·＝0，點C在∠AOB內(nèi)，且與的夾角為30°，設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，則eq\f(m,n)的值為()A.2 B.eq\f(5,2) C.3 D.415.已知點A(－1，2)，B(2，8)，＝eq\f(1,3)，＝－eq\f(1,3)，則的坐標為________.

第3講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.(2016·蘭州診斷考試)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|a－b|＝()A.0 B.1 C.2 D.eq\r(5)2.(2015·陜西卷)對任意平面向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b23.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，則|b|＝()A.2eq\r(5) B.eq\r(5) C.10 D.54.(2015·廣東卷)在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，＝(1，－2)，＝(2，1)，則·等于()A.5 B.4 C.3 D.25.(2015·重慶卷)已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2) C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)二、填空題6.(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，則x＝________.7.(2016·北京卷)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(eq\r(3)，1)，則a與b夾角的大小為________.8.已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC為銳角，則實數(shù)m的取值范圍是________.三、解答題9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面積.10.(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若a＝4eq\r(2)，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影.能力提升題組11.(必修4P1201(6)改編)若平面向量a，b，c兩兩所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，則|a＋b＋c|等于()A.2 B.5 C.2或5 D.eq\r(2)或eq\r(5)12.(2015·山東卷)已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則·等于()A.－eq\f(3,2)a2 B.－eq\f(3,4)a2 C.eq\f(3,4)a2 D.eq\f(3,2)a213.(2016·洛陽統(tǒng)考)已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|＋|＝|－|(O為坐標原點)，則銳角θ＝________.14.在直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且＝m＋n(m，n∈R).(1)若m＝n＝eq\f(2,3)，求||；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.第三章三角恒等變換測評B(時間：90分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2013江西高考)若sin＝，則cosα＝()A．－B．－C．D．2．(2013課標全國Ⅱ高考)已知sin2α＝，則cos2＝()A．B．C．D．3．(2013浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，則tan2α＝()A．B．C．－D．－4．(2012四川高考)如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE＝1，連結(jié)EC，ED，則sin∠CED＝()A．B．C．D．5．(2012重慶高考)＝()A．－B．－C．D．6．(2012重慶高考)設(shè)tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則tan(α＋β)的值為()A．－3B．－1C．1D．37．(2012陜西高考)設(shè)向量a＝(1，cosθ)與b＝(－1,2cosθ)垂直，則cos2θ等于()A．B．C．0D．－18．(2012江西高考)若tanθ＋＝4，則sin2θ＝()A．B．C．D．9．(2012大綱全國高考)已知α為第二象限角，sinα＝，則sin2α＝()A．－B．－C．D．10．(2012山東高考)若θ∈，sin2θ＝，則sinθ＝()A．B．C．D．二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)11．(2013上海高考)若cosxcosy＋sinxsiny＝，則cos(2x－2y)＝________．12．(2013江西高考)函數(shù)y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T為________．13．(2013山東煙臺適應(yīng)性練習(xí))已知cos4α－sin4α＝，α∈，則cos＝__________．14．(2013四川高考)設(shè)sin2α＝－sinα，α∈，則tan2α的值是__________．15．(2012江蘇高考)設(shè)α為銳角，若cos＝，則sin的值為__________．三、解答題(本大題共4小題，共25分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題6分)(2013廣東高考)已知函數(shù)f(x)＝cos，x∈R．(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f．17．(本小題6分)(2013湖南高考)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2eq\f(x,2)．(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．18．(本小題6分)(2013北京高考)已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)·sin2x＋cos4x．(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．19．(本小題7分)(2012四川高考)已知函數(shù)f(x)＝cos2－sincos－．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝，求sin2α的值．

參考答案一、選擇題1．解析：cosα＝1－2sin2＝1－2×＝．故選C．答案：C2．解析：由半角公式可得，cos2＝＝＝＝．答案：A3．解析：由sinα＋2cosα＝得，sinα＝－2cosα．①把①式代入sin2α＋cos2α＝1中可解出cosα＝或，當cosα＝時，sinα＝；當cosα＝時，sinα＝－．所以tanα＝3或tanα＝－，所以tan2α＝－．答案：C4．解析：因為四邊形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝．在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC＝，cos∠BEC＝．sin∠CED＝sin＝cos∠BEC－sin∠BEC＝＝．答案：B5．解析：因為sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°，所以原式＝＝sin30°＝，故選C．答案：C6．解析：因為tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的兩根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝＝＝－3，故選A．答案：A7．解析：由a⊥b可得，－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0．答案：C8．解析：因為tanθ＋＝4，所以＋＝4．所以＝4，即＝4．所以sin2θ＝．答案：D9．解析：因為sinα＝，且α為第二象限角，所以cosα＝－＝－．所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－．故選A．答案：A10．解析：由θ∈，得2θ∈．又sin2θ＝，故cos2θ＝－．故sinθ＝＝．答案：D二、填空題11．解析：cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝?cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝－．答案：－12．解析：因為y＝sin2x＋(1－cos2x)＝2sin＋，所以T＝＝π．答案：π13．解析：由cos4α－sin4α＝，得cos2α＝，又α∈，所以sin2α＝．所以cos＝cos2α－sin