小升初奧數(shù)方程的妙用用方程解決應用題

小升初奧數(shù)方程的妙用用方程解決應用題第一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六對應法(消去法)【知識要點】“對應”是解決數(shù)學問題時常用的一種方法，有很多應用題，給定的量所對應的數(shù)量關系是在變化的，為了使變化的數(shù)量看得更清楚些，可以把已知條件按照它們之間的對應關系排列出來，進行觀察和分析，從而找到解題方法，這種解題的思維方法叫對應法?！穑?△，△＋△＋△=□，則□=（）個○。像這樣的應用題，有兩個或兩個以上的未知量，解題時通過一定的方法，消去一個未知量，只保留一個未知量，叫做消去問題。分析消去問題時可以先整理條件，比較出兩個未知量的聯(lián)系和區(qū)別，再解答。

1．把兩個未知量中其中一個未知量轉化成相等的量。

2．用消元的方法消去一個量。

3．先求出保留的未知量，再求出消去的未知量。第二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六

第四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六例1：解方程組3x+2y=14①X=y+3②所以原方程組的解是x=4y=1解：將②代入①，得3（y+3）+2y=143y+9+2y=145y=5y=1將y=1代入②，得x=4

把求出的解代入原方程組，可以知道你解得對不對。

第十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六

2x+3y=16①

x+4y=13②解：由②，得x=13-4y③將③代入①，得2（13-4y）+3y=1626–8y+3y=16-5y=-10y=2將y=2代入③，得

x=5。所以原方程組的解是x=5，y=2。第十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六練習：解下列方程組y=2x①X+y=12②1.2.x+y=11①X-y=7②

做一做看看你掌握了嗎？第十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六同學們：你從上面的學習中體會到解方程組的基本思路是什么嗎？主要步驟有那些嗎？主要步驟：

4.寫解3.解2.代分別求出兩個未知數(shù)的值寫出方程組的解1.變用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)消去一個未知數(shù)基本思路:消元:二元一元第十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六⑴

x+y=5①x-y=1②⑵2x+3y=40①x-y=-5②第十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六隨堂練習：y=2x⑴x+y=12⑵x=—y-524x+3y=65⑶x+y=11x-y=7⑷3x-2y=9x+2y=3x=4y=8x=5y=15x=9y=2x=3y=0你解對了嗎？第十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六

實驗中學共有2576名學生，其中男生比女生多76名。問學校內有男、女學生各多少名？用一元一次方程解解：設女生有X名，則男生為（X+76）名。X+（X+76）=25762X+76=25762X=2576–762X=2500X=1250（名）X+76=1250+76=1326（名）經(jīng)檢驗符合題意。答：學校內有男學生1325名，女學生1250名。用二元一次方程組解男+女=2576兩個等量關系男-女=76解：設男生有X名，女生有Y名。X+Y=2576X–Y=76解得：X=1326Y=1250一、創(chuàng)設情境經(jīng)檢驗符合題意。答：學校內有男學生1325名，女學生1250名。第二十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六小芳在玩具廠上班,做3只小狗、5只小貓用3小時30分;做4只小狗、7只小貓用4小時50分,求平均做1只小狗與1只小貓各用多少時間?時間做1只小狗X分鐘做一只小貓Y分鐘共花時間第一次第二次次數(shù)3X4X5Y7Y3小時30分二、探求新知4小時50分第二十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六兩個等量關系：做3只小狗的時間+做5只小貓的時間=3小時30分做4只小狗的時間+做7只小貓的時間=4小時50分二元一次方程組解應用題的步驟：

分析求解問題

方程（組）

解答抽象檢驗第二十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六家具廠生產(chǎn)一種餐桌，1m3木材可做5張桌面或30條桌腿?，F(xiàn)在有25m3木材，應怎樣分配木材，才能使生產(chǎn)出來的桌面和桌腿恰好配套（一張桌面配4張桌腿）？共可生產(chǎn)多少張餐桌？解：設用xm3木材生產(chǎn)桌面，用ym3木材生產(chǎn)桌腿，根據(jù)題意得x+y=255x×4=30y第二十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第二十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第二十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六1.行程問題:1.相遇問題:甲的路程+乙的路程=總的路程(環(huán)形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈長2.追及問題:快者的路程-慢者的路程=原來相距路程(環(huán)形跑道):快者的路程-慢者的路程=一圈長3.順逆問題:順速=靜速+水(風)速逆速=靜速-水(風)速第二十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六1.小強和小明做算術題,小強將第一個加數(shù)的后面多寫一個零,所得和是2342;小明將第一個加數(shù)的后面少寫一個零,所得和是65.求原來的兩個加數(shù)分別是多少?2.A、B兩地相距36千米，甲從A地步行到B地，乙從B地步行到A地，兩人同時相向出發(fā)，4小時后兩人相遇，6小時后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？第二十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六某人要在規(guī)定的時間內由甲地趕往乙地,如果他以每小時50千米的速度行駛,就會遲到24分鐘,如果他以每小時75千米的速度行駛,就會提前24分鐘到達乙地,求甲、乙兩地間的距離.、解：設甲、乙兩地間的距離為S千米，規(guī)定時間為t小時,根據(jù)題意得方程組第二十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六甲、乙二人以不變的速度在環(huán)形路上跑步,如果同時同地出發(fā),相向而行,每隔2分鐘相遇一次;如果同向而行,每隔6分鐘相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每分鐘各跑多少圈?解：設甲、乙二人每分鐘各跑x、y圈，根據(jù)題意得方程組解得答:甲、乙二人每分鐘各跑、圈，第二十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六5、小明騎摩托車在公路上勻速行駛，12:00時看到里程碑上的數(shù)是一個兩位數(shù)，它的數(shù)字之和是7；13:00時看里程碑上的兩位數(shù)與12:00時看到的個位數(shù)和十位數(shù)顛倒了；14:00時看到里程碑上的數(shù)比12:00時看到的兩位數(shù)中間多了個零，小明在12:00時看到里程碑上的數(shù)字是多少？解:設小明在12:00時看到的數(shù)的十位數(shù)字是x，個位的數(shù)字是y，那么x+y=7(10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x)答:小明在12:00時看到的數(shù)字是16.x=1y=6解之:第三十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六某學?，F(xiàn)有甲種材料3５㎏,乙種材料29㎏,制作A.B兩種型號的工藝品,用料情況如下表:需甲種材料需乙種材料1件A型工藝品0.9㎏0.3㎏1件B型工藝品0.4㎏

1㎏(1)利用這些材料能制作A.B兩種工藝品各多少件?(2)若每公斤甲.乙種材料分別為8元和10元,問制作A.B兩種型號的工藝品各需材料多少錢?2.圖表問題第三十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六國內各汽車企業(yè)展開價格大戰(zhàn)，汽車價格大幅下降，有些型號的汽車供不應求。某汽車生產(chǎn)廠接受了一份訂單，要在規(guī)定的日期內生產(chǎn)一批汽車，如果每天生產(chǎn)35輛，則差10輛完成任務，如果每天生產(chǎn)40輛，則可提前半天完成任務，問訂單要多少輛汽車，規(guī)定日期是多少天？3.總量不變問題解:設訂單要輛x汽車，規(guī)定日期是y天,根據(jù)題意得方程組解這個方程組，得答：訂單要220輛汽車，規(guī)定日期是6天第三十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六入世后，國內各汽車企業(yè)展開價格大戰(zhàn)，汽車價格大幅下降，有些型號的汽車供不應求。某汽車生產(chǎn)廠接受了一份訂單，要在規(guī)定的日期內生產(chǎn)一批汽車，如果每天生產(chǎn)35輛，則差10輛完成任務，如果每天生產(chǎn)40輛，則可提前半天完成任務，問訂單要多少輛汽車，規(guī)定日期是多少天？3.總量不變問題解:設訂單要輛x汽車，規(guī)定日期是y天,根據(jù)題意得方程組解這個方程組，得答：訂單要220輛汽車，規(guī)定日期是6天第三十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第三十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六4.銷售問題:標價×折扣=售價售價-進價=利潤利潤率=第三十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六已知甲.乙兩種商品的標價和為100元,因市場變化,甲商品打9折,乙商品提價5﹪,調價后,甲.乙兩種商品的售價和比標價和提高了2﹪,求甲.乙兩種商品的標價各是多少?答：甲種商品的標價是20元，乙種商品的標價是80元.解：設甲、乙兩種商品的標價分別為x、y元，根據(jù)題意，得解這個方程組，得第三十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第三十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第三十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第三十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六5、配套問題例：某車間每天能生產(chǎn)甲種零件120個，或者乙種零件100個，或者丙種零件200個，甲，乙，丙3種零件分別取3個，2個，1個，才能配一套，要在30天內生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，問甲，乙，丙3種零件各應生產(chǎn)多少天？第四十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第四十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第四十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第四十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六

小明手頭有12張面額分別是1元、2元、5元的紙幣，共計22元，其中1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍．求1元、2、5元的紙幣各多少張？

解：設1元、2元、5元的紙幣分別是x張、y張、z張，根據(jù)題意可以得到下列三個方程:

x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.

第四十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六

解：設1元、2元、5元的紙幣分別是x張、y張、z張，根據(jù)題意可以得到下列三個方程:

x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.

活動1第四十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第四十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第四十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第四十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第四十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第五十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第六十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第七十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六第八十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六

知識點梳理1、列方程解應用題的方法

（1）綜合法：先把應用題中已知數(shù)（量）和所設未知數(shù)（量）列成有關的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關系，進而列出方程，這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方向是從已知到未知。

（2）分析法：先找出等量關系，再根據(jù)具體建立等量關系的需要，把應用題中已知數(shù)（量）和所設的未知數(shù)（量）列成有關的代數(shù)式，進而列出方程，這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知。第八十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六2、列方程解應用題的步驟：

（1）審題：弄清題意．找出等量關系：找出能夠表示本題含義的相等關系．（2）設出未知數(shù)，列出方程：設出未知數(shù)后，表示出有關的含字母的式子，（3）列出方程：然后利用已找出的等量關系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．（5）檢驗：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，（6）答案：檢驗后寫出答案．第八十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六一、根據(jù)數(shù)量關系找相等關系。好多應用題都有體現(xiàn)數(shù)量關系的語句,即“…比…多…”、“…比…少…”、“…是…的幾倍”、“…和…共…”等字眼，解題時只要找出這種關鍵語句，正確理解關鍵語句的含義，就能確定相等關系。例1：某校女生占全體學生數(shù)的52%，比男生多80人，這個學校有多少學生？相等關系：女生人數(shù)－男生人數(shù)＝80例2合唱隊有80人，合唱隊的人數(shù)比舞蹈隊的3倍多15人，則舞蹈隊有多少人？相等關系：舞蹈隊的人數(shù)×3＋15＝合唱隊的人數(shù)第八十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六例3在甲處勞動的有27人，在乙處勞動的有19人，現(xiàn)在另調20人去支援，使在甲處人數(shù)為在乙處的人數(shù)的2倍，應調往甲、乙兩處各多少人？

審題：相等關系：調動后甲處人數(shù)＝調動后乙處人數(shù)×2

設未知數(shù)：解：設調x人到甲處，則調（20-x）人到乙處，由題意得：列方程

：

27+x=2(19+20-x)，解方程：解得x＝17檢查：所以20-x＝20－17＝3（人）作答

：答：應調往甲處17人，乙處3人。第八十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六二、根據(jù)熟悉的公式找相等關系單價×數(shù)量＝總價，單產(chǎn)量×數(shù)量＝總產(chǎn)量，路程＝速度×時間，工作總量＝工作效率×工作時間，售價＝基本價×打折的百分數(shù)，利潤＝售價－進價，利潤＝進價×利潤率，幾何形體周長、面積和體積公式，都是解答相關方程應用題的工具。第八十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六例1：一件商品按成本價提高100元后標價，再打8折銷售，售價為240元。求這件商品的成本價為多少元？

相等關系：（成本價＋100）×80%=售價例2：用一根長20cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長是多少？

相等關系：正方形的周長＝邊長×4例3：一個梯形的下底比上底多2厘米，高是5厘米，面積是40c平方厘米，求上底。

相等關系：梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2第八十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六例4：商品進價1800元，原價2250元，要求以利潤率為5%的售價打折出售，則此商品應打幾折出售？

相等關系：售價－進價＝進價×利潤率解：設最低可打x折。據(jù)題意有：2250x-1800=1800×5%解得x＝0.84

答：此商品應打8.4折。審題設未知數(shù)列方程解方程檢查作答第八十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六三、根據(jù)總量等于各分量的和找相等關系即根據(jù)總量等于各分量之和來列出方程，用此法要注意分量不可有所遺漏。例1：甲種鉛筆每支0.3元，乙種鉛筆每支0.6元，用9元錢買了兩種鉛筆共20支，兩種鉛筆個買了多少支？相等關系：買甲種鉛筆花的錢＋買乙種鉛筆花的錢＝總共花的錢例2：把1400元獎學金按照兩種獎項發(fā)給22名學生，其中一等獎每人200元，二等獎每人50元，獲得一等獎的學生有多少？相等關系：發(fā)一等獎學金用的錢＋發(fā)二等獎學金用的錢＝總共的錢第八十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六例3：希臘數(shù)學家丟番圖，他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年。再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數(shù)的一半。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年。請你算一算，丟番圖活到多大和死神見面？”相等關系：總年齡＝各部分年齡的和解：設丟番圖活了x年。據(jù)題意可得：x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4解得x＝84答：丟番圖共活了84歲。第八十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六四、用不同方法表示不變量找相等關系這類題目的解題原理是：如果一個不變的量能用兩個不同的代數(shù)式表達，則這兩個代數(shù)式必然相等。這就要求我們找到這個量，可以根據(jù)題中的“比值一定”、“積一定”、“速度一定”等相關語句來找。例1：汽車勻速行駛途徑王家莊、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米。王家莊到翠湖的路程有多遠？相等關系：王家長到秀水路段的速度＝青山到秀水路段的行車速度例2：種一批樹苗，如果每人種10棵，則剩6棵樹苗未種；如果每人種12棵，則缺6棵樹苗，有多少人種樹？例3：把一些糖果分給某班學生，如果每人分3個，則剩余20個，如果沒人分4個，則還缺25個。這個班共有多少學生？第九十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六五、根據(jù)事情發(fā)展的順序找相等關系有些題目的相等關系需要根據(jù)事情發(fā)展順序才可以找到相等關系。比如：原有的－用去的=還剩的，又如：付出的－用去的=還剩的，原有的＋運來的=現(xiàn)在的。例1：一臺計算機已使用1700小時，預計每月再使用150小時，經(jīng)過多少月這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450小時？相等關系：已使用時間＋預計使用時間＝規(guī)定檢修時間第九十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六例2：今年我國城鎮(zhèn)居民平均可支配收入為5109元，比去年增長8.3%，去年這項收入為多少？相等關系：

去年這項收入＋增加的收入＝今年這項收入例3：一輛汽車已行駛了12000km，計劃每月在行駛800km，幾個月后這輛汽車將行使20800km？相等關系：已行駛路程＋預計行駛路程＝20800第九十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六未知數(shù)的設法

一、有比較關系時，如甲比乙多8，我們一般設較小的為x，這樣計算時主要用的是加法不易出錯；二、有倍數(shù)關系時，如數(shù)學小組人數(shù)是英語小組的5倍，我們設一倍量為x，用乘法表示其余量利于計算；三、在分數(shù)應用題中，我們設單位“1”為x；四、在有比的問題中，我們設一份數(shù)為x；五、在有和的問題中，我們設其中任意一個為x都可以，比如說兩個班共有50人，設其中一個班有x人。第九十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六典型例題精講（生活中問題）例1.有兩根繩子，第一根長56cm，第二根長36cm,同時點燃后，平均每分鐘都燒掉2cm,多少分鐘后，第一根繩子的長度是第二根繩子長度的3倍。

解：設X分鐘后第一根繩子的長度是第二根繩子長度的3倍。根據(jù)題意列方程得：56-2X=3(36-2X)X=13

答：13分鐘后第一根繩子的長度是第二根繩子長度的3倍。第九十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六趣味數(shù)學例2.同學們參加野炊，一位同學到負責后勤的老師領碗，老師問他領多少，他說領55個，又問他多少人吃飯，他說一人一個飯碗，兩人一個菜碗，三人一個湯碗，問這名同學給多少人領碗？

解:設這名同學給X個同學領碗.根據(jù)題意列方程得：

X=30答：這名同學給30個同學領碗。第九十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期六

雞兔同籠問題例3.雞兔同籠，雞比兔多10只，共有腳110只，求雞兔各有幾只？方法一：雞比兔多10只，假設兔加上10只就和雞一樣多了，這樣要加上40只腳，總共150只腳。然后一對一配對，每對里有一只雞和一只兔子，共6只腳。共配