平面任意力系的平衡條件和平衡方程

平面任意力系的平衡條件和平衡方程2023/5/281第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分條件

二、關(guān)于平面任意力系的例題

三、平面任意力系平衡方程的其他形式

四、平面平行力系

第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分條件第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

1．平面任意力系的充分條件現(xiàn)在討論靜力學(xué)中最重要的情形，即平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形

（3-6）第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程顯然，主矢等于零，表明作用于簡(jiǎn)化中心O的匯交力系為平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必為平衡力系。因此，式（3-6）為平面任意力系的充分條件。第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

2．平面任意力系平衡的必要條件由上一節(jié)分析結(jié)果可見(jiàn)：若主矢和主矩有一個(gè)不等于零，則力系應(yīng)簡(jiǎn)化為合力或合力偶；若主矢與主矩都不等于零時(shí)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)合力。上述情況下力系都不能平衡，只有當(dāng)主矢和主矩都等于零時(shí)，力系才能平衡，因此，式（3-6）又是平面任意力系平衡的必要條件。第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

3．平面任意力系平衡的必要和充分條件于是，平面任意力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零。這些平衡條件可用解析式表示。第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程將式（3-2）和（3-3）代入式（3-6），可得（3-7）

第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

結(jié)論:

平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零。式（3-7）稱(chēng)為平面任意力系的平衡方程

（為便于書(shū)寫(xiě)，下標(biāo)i

可略去）。第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程二、關(guān)于平面任意力系的例題第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3-2

起重機(jī)P1=10kN，可繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)；起重機(jī)的掛鉤上掛一重為P2=40kN的重物，如圖3-6所示。起重機(jī)的重心C到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為1.5m，其他尺寸如圖所示。求在止推軸承A和軸承B處的約束力。第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-6第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解：（1）以起重機(jī)為研究對(duì)象以起重機(jī)為研究對(duì)象，它所受的主動(dòng)力有P1和P2。由于對(duì)稱(chēng)性，約束力和主動(dòng)力都位于同一平面內(nèi)。止推軸承A處有兩個(gè)約束力FAx

，F(xiàn)Ay

，軸承B處只有一個(gè)與轉(zhuǎn)動(dòng)軸垂直的約束力FB

，約束力方向如圖3-6所示。第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（2）列平衡方程取坐標(biāo)系如圖3-6所示，列平面任意力系的平衡方程，即第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（3）求解方程求解以上方程，得

FB為負(fù)值，說(shuō)明它的方向與假設(shè)的方向相反，即應(yīng)指向左。第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3-3

圖3-7所示的水平梁AB，A端為固定鉸鏈支座，B端為一滾動(dòng)支座。梁的長(zhǎng)為4a，梁重P，作用在梁的中點(diǎn)C。在梁的AC段上受均布載荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。試求A和B處的支座約束力。第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-7第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解：（1）選梁AB為研究對(duì)象梁AB所受的主動(dòng)力有：均布載荷q，重力P和矩為M的力偶。梁AB所受的約束力有：鉸鏈A的兩個(gè)分力Fax和FAy

，滾動(dòng)支座B處鉛直向上的約束力FB。第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（2）列平衡方程取坐標(biāo)系如圖3-7所示，列出平衡方程：第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（3）解方程解上述方程，得第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3-4

自重為P=100kN的T字型剛架ABD，置于鉛垂面內(nèi)，載荷如圖3-8a所示。其中

M=20kN·m

，F(xiàn)=400kN

，q=20kN/m

，

l=1m

。試求固定端A的約束力。第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-8a第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解：（1）取T

字形鋼架ABD

為研究對(duì)象鋼架ABD上除主動(dòng)力外，還受有固定端

A處的約束力FAx

，F(xiàn)ay和約束力偶MA

。線(xiàn)性分布載荷可視為一組平行力系，將其簡(jiǎn)化為一個(gè)集中力F1

，其大小為

第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

其作用線(xiàn)可利用合力矩定理確定：第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程式中，h是點(diǎn)A到集中力F1的距離，由上式求得h=l，即集中力作用于三角形分布載荷的幾何中心。剛架受力圖如圖3-8b所示。第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-8b第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（2）按圖示坐標(biāo)列平衡方程第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（3）解方程解方程，求得負(fù)號(hào)說(shuō)明圖中所設(shè)方向與實(shí)際情況相反，即

MA為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解題技巧：

（1）從上述例題可見(jiàn)，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和力矩中心，可以減少每個(gè)平衡方程中的未知數(shù)的數(shù)目。

（2）在平面任意力系情形下，矩心應(yīng)取在多個(gè)未知力的交點(diǎn)上，而坐標(biāo)軸應(yīng)當(dāng)與盡可能多的未知力相垂直。第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程三、平面任意力系平衡方程的其他形式第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程在例3-3中，若以方程取代方程可以不解聯(lián)立方程直接求得Fay值。因此在計(jì)算某些問(wèn)題時(shí)，采用力矩方程往往比投影方程簡(jiǎn)便。下面介紹平面任意力系平衡方程的其他兩種形式。第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

1．二矩式平衡方程

（1）三個(gè)平衡方程中有兩個(gè)力矩方程和一個(gè)投影方程，即（3-8）第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程其中x軸不垂直于A，B兩點(diǎn)的連線(xiàn)。

（2）為什么上述形式的平衡方程也能滿(mǎn)足力系平衡的必要和充分條件呢？

a．這是因?yàn)?，如果力系?duì)點(diǎn)A的主矩等于零，則這個(gè)力系不可能簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶；但可能有兩種情形：這個(gè)力系或者是簡(jiǎn)化為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一個(gè)力，或者平衡。第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

b．如果力系對(duì)另一點(diǎn)B的主矩也同時(shí)為零，則這個(gè)力系或一合力沿A，B兩點(diǎn)的連線(xiàn)，或者平衡（圖3-9）。

c．如果再加上，那么力系如有合力，則此合力必與x軸垂直。第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-9第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程式（3-8）的附加條件（x軸不得垂直于連線(xiàn)AB）完全排除了力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力的可能性，故所研究的力系必為平衡力系。第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

2．三矩式平衡方程

（1）同理，也可寫(xiě)出三個(gè)力矩式的平衡方程，即，，

（3-9）其中A，B，C三點(diǎn)不得共線(xiàn)。第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

（2）為什么必須有

“A，B，C三點(diǎn)不得共線(xiàn)”這個(gè)附加條件？同學(xué)們可自行證明。第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

3．根據(jù)具體條件選擇三組平衡方程

（1）上述三組方程（3-7）、（3-8）、（3-9），究竟選用哪一組方程，須根據(jù)具體條件確定。

（2）對(duì)于受平面任意力系作用的單個(gè)剛體的平衡問(wèn)題，只可以寫(xiě)出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解三個(gè)未知量。第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

（3）任何第四個(gè)方程只是前三個(gè)方程的線(xiàn)性組合，因而不是獨(dú)立的。我們可以利用這個(gè)方程來(lái)校核計(jì)算的結(jié)果。