小學數(shù)學思想方法例談

小學數(shù)學思想方法例談第一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六背景數(shù)學課程標準【總目標】通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能：

1.獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。

2.體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。3.了解數(shù)學的價值，提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度。

第二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六教材哪些地方滲透著基本思想？倒底有哪些基本思想？怎樣教才能培養(yǎng)孩子們真正的數(shù)學思想?為什么要把這些基本思想作為教學目標？數(shù)學思想怎么檢測？什么是數(shù)學基本思想？第三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六你知道哪些數(shù)學思想？第四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六一、化歸思想

二、符號化思想三、類比思想四、分類思想五、模型思想六、數(shù)形結(jié)合思想七、對應思想八、極限思想九、集合思想十、統(tǒng)計思想十一、假設思想十二、代換思想十三、單位化思想十四、函數(shù)思想十五、運籌思想十六、抽象思想……第五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學的基本思想數(shù)學思想可以有許多，并且是有層次的。數(shù)學的基本思想則是其中帶有基本重要性的思想，處于較高的層次。其它思想都在基本思想中派生出來。第六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六什么是數(shù)學基本思想？第七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學的基礎(chǔ)知識和基本技能對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識、解決數(shù)學問題的基本觀點和根本想法人們運用這些數(shù)學思想解決問題過程中形成的一些程序、手段基礎(chǔ)、軀殼精髓數(shù)學學科精神數(shù)學方法數(shù)學思想表層知識與深層知識數(shù)學素養(yǎng)表層知識深層知識核心精神靈魂第八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六哪些是數(shù)學基本思想？首先要回答的問題是數(shù)學學科的思維特點什么是對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識、解決數(shù)學問題的基本觀點和根本想法？？？什么是數(shù)學學科精神第九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六什么是數(shù)學數(shù)學的對象：數(shù)、形、機會、算法、變化數(shù)學的特點：高度抽象性、應用廣泛性、體系嚴謹性數(shù)學的思考方式：抽象化、符號化、公理化、最優(yōu)化、模型第十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學學科的特點反映在學生身上1、抽象思維2、推理思維3、建模思維4、理性精神數(shù)學真正學得好的學生思維特點他究竟缺了什么？楊振寧的話貫穿數(shù)學學習始終核心精神第十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六這個學生缺的究竟是什么？“52型拖拉機，一天耕地150畝，問12天耕地多少畝？”一位學生是這樣解題的：52×150×12=……在他眼中，數(shù)字都是用來算的，而且都要放進去算。還沒有建立清晰的數(shù)量關(guān)系模型。第十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六接下來的對話“告訴我，你為什么這么列式？”“老師，我錯了?！薄昂玫?，告訴我，你認為正確的該怎么列式？”“除?！薄霸趺闯俊薄按蟮某孕〉??！薄盀槭裁词浅?？”“老師，我又錯了?！薄澳阏f，對的該是怎樣呢？”“應該把它們加起來?！笨只牛瑯O端不自信。解決問題的思路建立在計算經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，而不是建立在運算意義基礎(chǔ)上。第十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六啟而不發(fā)？“我們換一個題目，比如你每天吃兩個大餅，5天吃幾個大餅？”“老師，我早上不吃大餅的?！薄澳悄愠允裁?？”“我經(jīng)常吃粽子?！薄昂茫悄忝刻斐詢蓚€粽子，5天吃幾個粽子？”“老師，我一天根本吃不了兩個粽子?！睙o法脫離具體的事物演算。第十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六啟而不發(fā)？“那你能吃幾個粽子？”“吃半個就可以了。”“好，那你每天吃半個（小數(shù)乘法沒學）粽子，5天吃幾個粽子？”“兩個半?！薄霸趺此愠鰜淼模俊薄皟商煲粋€，5天兩個半。”……第十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六他究竟缺了什么？可憐的孩子，在數(shù)學面前他只有恐慌，沒有思考。他沒有辦法脫離具體的情境。這孩子數(shù)學入門了嗎？他究竟缺了什么？（1）運算意義的理解（2）數(shù)量關(guān)系（3）數(shù)學的基本思維——抽象第十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六我的一生很慶幸，因為我曾經(jīng)在兩個不同的國度生活過，一個國家注重演繹，一個國家注重歸納。

——楊振寧第十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六速度時間路程每小時80千米行了5小時一共行了400千米vtSS=vt抽象具體符號化模型80*5＝400（千米）30*9＝270（千米）……歸納推理路程＝速度*時間數(shù)學的學習過程處處也處處體現(xiàn)第十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六

人類通過數(shù)學抽象，從客觀世界中得到數(shù)學的概念和法則，建立了數(shù)學學科；

通過數(shù)學推理，進一步得到大量結(jié)論，數(shù)學科學得以發(fā)展；

通過數(shù)學建模，把數(shù)學應用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的效益，又反過來促進數(shù)學科學的發(fā)展。第十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六他們真的學好數(shù)學了嗎?他們數(shù)學成績很好,但：對概念不求甚解；對定理、公式、法則不考慮它們?yōu)槭裁闯闪?，在什么條件下成立；做練習時，對題型、套公式，不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì)。第二十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六他們真的學好數(shù)學了嗎?他們數(shù)學成績很好,但：缺乏自己的思考，特別不能進行長時間持續(xù)性的思考，淺嘗輒止。第二十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六他們真的學好數(shù)學了嗎?他們數(shù)學成績很好,但：對書中內(nèi)容趨之若鶩，對課外的數(shù)學題避而遠之。數(shù)學學得呱呱叫，生活中卻沒有用數(shù)學的沖動。第二十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六理性精神理性思辨，不感情用事。實事求是，不盲從權(quán)威。尊重數(shù)據(jù)，不弄虛作假?？茖W嚴謹，不隨欲而為。第二十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六西方文化的重要組成部分，也是中國文化最缺少的部分電影藝術(shù)的理性美——泰坦尼克號對數(shù)據(jù)的尊重：

哪里來的？可靠嗎？實證過嗎？

敬畏真實的數(shù)據(jù)

深入挖掘數(shù)據(jù)關(guān)于理性精神第二十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學的基礎(chǔ)知識和基本技能對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識、解決數(shù)學問題的基本觀點和根本想法人們運用這些數(shù)學思想解決問題過程中形成的一些程序、手段基礎(chǔ)、軀殼精髓數(shù)學學科精神數(shù)學方法數(shù)學思想表層知識與深層知識數(shù)學素養(yǎng)表層知識深層知識核心精神靈魂第二十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學的基礎(chǔ)知識和基本技能數(shù)學基本思想：基礎(chǔ)、軀殼精髓表層知識與深層知識數(shù)學素養(yǎng)表層知識深層知識核心精神靈魂抽象思想模型思想推理思想數(shù)學學科精神第二十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學的基礎(chǔ)知識和基本技能數(shù)學基本思想：基礎(chǔ)、軀殼精髓表層知識與深層知識數(shù)學素養(yǎng)表層知識深層知識核心精神靈魂抽象思想模型思想推理思想理性精神第二十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學的基本思想

抽象思想

推理思想

模型思想第二十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六基本思想一：抽象思想第二十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六國外的一則笑話幼兒園放學后，女兒告訴做數(shù)學家的父親：“我們今天學了‘集合’！”父親：“老師是怎么教的？”女兒：“女教師讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；“接著，她又讓所有的女孩子站起來，說這是女孩子的集合?！薄叭缓螅质前兹撕⒆拥募?，黑人孩子的集合，……”“最后，教師問全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答復?！钡谌?，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六國外的一則笑話父：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個集合？”……

遲疑了一會，女兒最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來！”第三十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六一、數(shù)學抽象的思想數(shù)學抽象的內(nèi)容現(xiàn)實對象抽象的數(shù)字具體的對象抽象的乘法算式男孩數(shù)目乘以蘋果數(shù)目直線（幾何）拉緊的繩子數(shù)學是從量的方面反映客觀實在的，即在數(shù)學的抽象中我們完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容而僅僅保留了他們的量的屬性?！@就是數(shù)學與一般自然科學的一個基本區(qū)別第三十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六具體事物符號化數(shù)的模型具體化直觀感性直觀形式化（模型）直觀思維直觀6的認識第三十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六第一次抽象第二次抽象舍去高矮長短寬窄等非本質(zhì)特征幾何模型第三十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六

數(shù)學抽象的思想派生出的有：

分類思想

集合思想

數(shù)形結(jié)合思想；

符號化思想；

對稱思想；

對應思想；

極限思想

……第三十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六分類思想數(shù)學分類思想，它是人們在研究數(shù)學對象時，常常采用的根據(jù)一定的標準，對事物進行有序劃分和組織，再進行研究分析的思想。既是一種重要的數(shù)學思想。又是一種重要的數(shù)學邏輯方法。一、數(shù)學抽象的思想第三十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六分類思想數(shù)學價值：應用分類討論，往往能使繁雜的問題清晰化。（三角形內(nèi)角和、一個非零正整數(shù)乘小數(shù)的結(jié)果判斷）教育價值：分類的過程，可培養(yǎng)學生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學生研究問題、探索規(guī)律的能力。（統(tǒng)計、編碼都是建立在分類思想的基礎(chǔ)上）一、數(shù)學抽象的思想第三十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六滲透分類思想的課例:圖形的分類四邊形、角的分類、三角形的認識數(shù)的分類認識奇數(shù)偶數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)算式的分類認識有余數(shù)除法等式的分類認識方程一、數(shù)學抽象的思想第三十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六以《三角形內(nèi)角和》為例選擇研究的三角形對象為什么要強調(diào)“不同類型”？1、在無法窮盡的情況下，選擇各種類型的樣本進行研究，用樣本反映整體。2、分類討論的思想。不同類型指的是哪幾種類型？除了各選一個銳、直、鈍的方法，還有其它的嗎？第三十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六分類思想滲透的研究:怎樣驅(qū)動學生有目的地分類；怎樣引導學生找到合適的標準；分類如何做到不重不漏；形成分類討論的意識……

一、數(shù)學抽象的思想第四十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六集合思想集合理論的創(chuàng)始者德國數(shù)學家康托夫這樣描述集合：集合：指把確定的、彼此可以區(qū)分的具體的或想象的對象（它們將稱為集合的元素）看成一個整體。集合思想：把一組對象放在一起，作為討論的范圍，這是人類早期就有的思想方法，繼而把一定程度抽象了的思維對象，如數(shù)學上的點、數(shù)、式放在一起作為研究對象，這種思想就是集合思想。一、數(shù)學抽象的思想第四十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六集合思想典型案例

加減法的意義——并集、差集數(shù)的認識——有限集、無限集長方形、正方形的關(guān)系——子集因數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)

2、3、5的倍數(shù)的特征——交集公因數(shù)和公倍數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)平行四邊形、長方形、正方形的關(guān)系三角形的分類重疊問題一、數(shù)學抽象的思想第四十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六（1）認識加法：很久很久以前，還沒有文明人類的時候，那時候還只有野人。在一座大森林里有野人一家，野人爸爸和野人媽媽。爸爸負責每天出去打獵找食物，媽媽負責在家里做家務帶寶寶。有一天早上，野人爸爸出門打獵，到了晚上，野人爸爸回來了。野人媽媽問：‘你今天打了什么獵物??？’野人爸爸說：‘我今天打到了一只兔子。我們今天晚上有兔肉吃咯。野人媽媽說：‘不行不行，我們前幾天還有很多東西沒吃完，先別急著吃。”集合思想典型案例第四十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六講到這里，我在黑板上貼一只兔子圖片，我問：“那怎么辦呢？”居然有學生想都不想說：“放到冰箱里?！蔽視灐＿€是把兔子養(yǎng)起來吧。野人媽媽說。于是野人爸爸就用樹枝編了個圍欄，把小兔子圈在里面。講到這里，我在兔子圖外畫了一個圈，寫上1（呵呵。。。。集合圈的雛形）第二天，野人爸爸又出去打獵，回來的時候，媽媽問，今天你又打了什么??？爸爸說，我今天運氣特別好，我打到了兩只兔子，今天晚上我們可以大吃一頓了。媽媽說，先別急著吃，我們先把前幾天食物吃完。這兩只兔子也養(yǎng)起來，準備過冬。于是野人爸爸又編了一個圍欄，把兔子養(yǎng)起來。一、數(shù)學抽象的思想集合思想典型案例第四十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六這時，我貼上兩只兔子，在外面畫一個圈。野人媽媽看到了，說，為什么不把這兩個圈的兔子，放到一個圈里養(yǎng)呢？于是野人爸爸就把這兩部分兔子合在一起，養(yǎng)在一個圈里?，F(xiàn)在一共養(yǎng)了多少只兔子呢？”講到這里，我用一個大圈把三只兔子都圈了起來。一、數(shù)學抽象的思想集合思想典型案例第四十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六(2)認識減法：動物都過冬了，兔子要遭殃了。大饑荒來了(3)0的認識：一、數(shù)學抽象的思想集合思想典型案例第四十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)形結(jié)合思想指通過數(shù)(數(shù)量關(guān)系)和形(空間形式)之間的對應關(guān)系來研究、解決問題的思想。讓學生有寫一寫、畫一畫的沖動。例：眾數(shù)一、數(shù)學抽象的思想第四十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用數(shù)形結(jié)合的思想解釋等差數(shù)列求和公式。如求1+2+3+4+5=（1＋5）*5/2

數(shù)形結(jié)合思想典型案例之二第四十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用數(shù)形結(jié)合的思想解釋（a+b）2=a2+2ab+b2ababa2ababb2數(shù)形結(jié)合思想典型案例之三第四十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用數(shù)形結(jié)合的思想解釋a2

－b2=(a＋b）（a－b)ababa－bab＋《周髀算經(jīng)》注解中記載趙爽的證明方法：數(shù)形結(jié)合思想典型案例之四第五十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六一種新思路

百科情境下的數(shù)學問題解決乘法分配律數(shù)形結(jié)合思想典型案例之五第五十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算前師：你是怎樣算的？生：個位二四得八，1×1=1；十位2×1=2，1×4=4數(shù)形結(jié)合思想典型案例之六第五十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六師：你是算出的？生：先二二得四，二三得六；再一二得二，一三得三。這個二是十位乘的，要和十位對齊。師：為什么可以這樣算？生：（停頓思考，搖搖頭）就是記住要乘四次。師：這個64表示誰與誰的乘積？生：就是2×2和2×3。課前熟練掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的同學。第五十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六表內(nèi)乘法的計算模型第五十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六12×10=12012×4=48120+48=1681234567891011121314123456789101112第五十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用兩個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第五十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用三個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第五十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用四個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第五十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用五個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第五十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用六個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用七個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用八個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用九個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用十二個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六計算：＝數(shù)形結(jié)合思想典型案例之八第六十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六計算：＝121418116132“1”數(shù)形結(jié)合思想典型案例之八第六十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六長寬面積長方形的面積=長×寬數(shù)量總價總價=單價×數(shù)量單價數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第六十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六（二）解決問題問題：學校食堂買來一些大米。計劃吃8天，實際每天比計劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？總千克數(shù)=每天吃的千克數(shù)×天數(shù)長方形的面積=長×寬數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第六十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六（二）解決問題問題：學校食堂買來一些大米。計劃吃8天，實際每天比計劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？總千克數(shù)=每天吃的千克數(shù)×天數(shù)提前2天吃完多吃5千克計劃吃8天AB原計劃每天吃多少千克？數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第六十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米減少20%2米數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米減少20%2米減少1/5，把正方形的邊長平均分成五份，減少其中1份，還剩下4份數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米1份2米4份BAC數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六A、B、C、D、E進行象棋比賽，每兩人之間都要賽一盤。到現(xiàn)在為止，A已經(jīng)賽了4盤，B賽了3盤，C賽了2盤，D賽了1盤，請問E已經(jīng)賽了幾盤？數(shù)形結(jié)合思想典型案例之十——邏輯推理第七十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)形結(jié)合詩數(shù)形本是相依偎，焉能紛作兩邊飛.數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離.華羅庚第七十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學語言所包含的信息量的大小，直接影響著數(shù)學思維的質(zhì)量。運用各種簡潔的符號對問題進行抽象表達，既能以濃縮的形式表達大量信息，大大簡化了數(shù)學運算或推理的過程，加快了數(shù)學思維的速度，更能去偽存真，抓住問題的本質(zhì)和關(guān)鍵。因此，在數(shù)學中，人們大量地運用符號。幾乎所有的數(shù)學表述用語，包括公理、定理、法則、公式、概念等都是一串串符號鏈，而數(shù)學研究的過程就是把一個符號鏈變換成另一個符號鏈。符號化思想一、數(shù)學抽象的思想第七十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六符號就是數(shù)學存在的具體化身。英國著名數(shù)學家羅素甚至說：“什么是數(shù)學?數(shù)學就是符號加邏輯?！?/p>

符號化思想一、數(shù)學抽象的思想第七十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六途徑之一1．認識已有的數(shù)學符號系統(tǒng)。符號化思想一、數(shù)學抽象的思想第七十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六小學階段的數(shù)學符號數(shù)值符號：

阿拉伯數(shù)字0－9數(shù)量符號：x、a、π……（常量、變量、未知數(shù)）關(guān)系符號：><=≈運算符號：

＋－×÷：（）[]符號組合：代數(shù)式、方程、字母公式、復合單位還有一些特例：統(tǒng)計領(lǐng)域：統(tǒng)計圖正字統(tǒng)計法、用分數(shù)表示可能性的大小

第八十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六（1）理解數(shù)學符號的含義和實質(zhì)。（2）經(jīng)歷符號化的過程。（3）適當滲透一些符號化通用規(guī)則。途徑之一1．認識已有的數(shù)學符號系統(tǒng)。例：速度時間路程例：負數(shù)符號化思想一、數(shù)學抽象的思想第八十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六倍的認識線段圖第八十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六第一小組得了5個笑臉，第二小組得的笑臉數(shù)是第一小組的3倍，第二小組得了多少個笑臉？符號化思想一、數(shù)學抽象的思想第八十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六（1）理解數(shù)學符號的含義和實質(zhì)。（2）經(jīng)歷符號化的過程。（3）適當滲透一些符號化通用規(guī)則。（1）尊重學生原發(fā)思維的同時，鼓勵符號的優(yōu)化。途徑之一1．認識已有的數(shù)學符號系統(tǒng)。途徑之二2．嘗試用符號化的思想進行數(shù)學思考。（2）強化符號化過程的規(guī)則意識。符號化思想一、數(shù)學抽象的思想第八十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六打電話第八十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六例：一下統(tǒng)計√√√√√√√2342正第八十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六典型案例

角的初步認識數(shù)學廣角：搭配的學問用字母表示數(shù)長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓、圓柱、圓錐的周長、面積和體積的計算公式推導比和比例用字母表示數(shù)解放程求未知數(shù)X

加法交換律、結(jié)合律、乘法。乘法交換律、結(jié)合律、分配律列方程解應用題解比例環(huán)形面積字母公式。第八十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六基本思想二：推理思想第八十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六什么是推理？推理是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。推理合情推理演繹推理歸納類比第八十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六

由某類事物的具有某些特征,推出該類事物的都具有這些特征的推理,或者由概括出的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).部分對象全部對象個別事實一般結(jié)論歸納推理第九十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六歌德巴赫猜想的提出過程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，

“任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和”即:偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)改寫為:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，…，歌德巴赫猜想:第九十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理。演繹推理第九十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學推理的思想派生出的有：

歸納推理；

演繹推理；

聯(lián)想與類比的思想；

公理化思想；

化歸思想；

逐步逼近的思想；

……第九十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六問題A問題A’解答A解答A’化歸還原化歸思想第九十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六除數(shù)是小數(shù)的除法——除數(shù)是整數(shù)的除法求多邊形內(nèi)角和——幾個三角形內(nèi)角總和多加的要減去，多減的要加上（1）改變形式的非恒等化歸（2）簡化問題的非恒等化歸恒等化歸在確保量不變的前提下，將求解問題通過改變形式使之成為已有解的問題非恒等化歸將求解問題通過改變形式成為已有解問題或是簡單的問題時，結(jié)果出現(xiàn)變化，此時返回值需要加以處理，才能得到問題的解（3）制造變化沖突的非恒等化歸化歸思想第九十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六直角三角形的內(nèi)角和是180度180+180-90-90=180（度）鈍角三角形的內(nèi)角和是180度360度所有三角形的內(nèi)角和都是180度180+180-90-90=180（度）銳角三角形的內(nèi)角和是180度第九十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六小學階段幾何圖形面積計算公式推導過程中的化歸思想（箭頭表示化歸方向）平面圖形面積計算立體圖形體積計算組合圖形的面積或體積計算兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形割圓術(shù)，化曲為直兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形切割拼補兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形圓錐體積是與它等底等高的圓柱體積的1/3化歸思想第九十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六面積法某修路隊搶修一段公路，原計劃36天可以完成任務，為了趕工程進度，開工時又調(diào)來一個修路隊，結(jié)果實際每天比計劃多搶修200米，只用了20天就完成了任務。這段公路長多少米？36天200米20天第九十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六找尋學生思維的路徑例：平行四邊形的面積計算1、產(chǎn)生錯誤的原因是什么？2、錯誤也是有價值的。第九十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六核心思想1、化歸并不是一種無目的的活動，因此，在實踐過程中，我們就應始終盯住目標，即應當始終考慮這樣的問題：怎樣才能達到解決原來問題的目的？以可變的觀點去看待問題，善于對所要解決的問題進行變換。注意：2、由于只有通過反復的實踐，才能找到正確的化歸方向與方法，因此在解題過程中，應保持一定的靈活性?；瘹w思想第一百頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學推理的思想派生出的有：

歸納推理；

演繹推理；

聯(lián)想與類比的思想；

公理化思想；

化歸思想；

逐步逼近的思想；

……第一百零一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六基本思想三：模型思想第一百零二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六模型思想模型是人們?yōu)榱四撤N特定的目的而將原型的某一部分信息加以簡略和提煉而構(gòu)建出來的這個原型的某個代替物。第一百零三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六典型案例

二年級上冊數(shù)學廣角：握手的次數(shù)、打乒乓球的次數(shù)

10以內(nèi)數(shù)的認識

20以內(nèi)進位加法、退位減法四則混合運算法則的總結(jié)四年級下冊植樹問題三年級上冊搭配、排列與組合數(shù)學的概念、定理、公式、法則探索、研究、提煉、總結(jié)的過程，都是一個數(shù)學建模的過程。第一百零四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六S=πr2計算公式是模型第一百零五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六方程是刻畫等量關(guān)系的模型第一百零六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學模型的思想派生出的有：

簡化的思想；量化的思想；

函數(shù)的思想；方程的思想；

優(yōu)化的思想；隨機的思想；

抽樣統(tǒng)計的思想等。第一百零七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六函數(shù)思想函數(shù)反映的是相關(guān)聯(lián)的量運動變化中的對應關(guān)系。函數(shù)思想即以運動變化的觀點去反映客觀世界中變量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律的。第一百零八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六函數(shù)思想盡管函數(shù)的定義沒有在小學數(shù)學教材中專門給出，但從低年級開始就有所滲透。如一個加數(shù)不變時，“和”隨“另一個加數(shù)”變化而變化；積變化的規(guī)律（討論“一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴大或縮小，引起的積的變化”）；正、反比例這部分內(nèi)容更是集中滲透了函數(shù)概念。再如利息隨著利率的變化而變化，綜合實踐活動內(nèi)容中出租車的票價隨著出租車運行的千米數(shù)而變化，進一步幫助學生加深對函數(shù)的認識與理解，畫龍畫晴地強調(diào)量的“變化”，突出“兩種相關(guān)聯(lián)的量”之間的對應關(guān)系。第一百零九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六口算60+60+60=80+50+50=100+45+35=150+20+10=170+5+5=180180180180180+=和不變+第一百一十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六ABCAAAAAAAA形狀不一樣的三角形，內(nèi)角和怎么會一樣？第一百一十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六∠A∠B∠CABCAAAA++形狀不一樣的三角形，內(nèi)角和怎么會一樣？第一百一十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六(1)對數(shù)或者圖形排列規(guī)律的探索

※探索圖形的排列規(guī)律第一百一十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六※探索數(shù)的排列的規(guī)律第一百一十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六(2)對數(shù)的運算規(guī)律的探索第一百一十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六(2)對數(shù)的運算規(guī)律的探索第一百一十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六用16根1厘米長的小棒圍成長方形或正方形，你能圍出多少個？其中面積最大的是多少？并填寫如下表格。

用16根1厘米長的小棒圍成長方形或正方形，你能圍出多少個？其中面積最大的是多少？并填寫如下表格(3)對圖形變化規(guī)律的探索序號長寬周長面積示意圖12…第一百一十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六2.對“關(guān)系”的體驗（1）感受“一一對應”的對應關(guān)系第一百一十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六（1）感受“一一對應”的對應關(guān)系第一百一十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六※乘法口訣：一個因數(shù)不變時，積與另一個因數(shù)“一一對應”※找規(guī)律填數(shù):數(shù)列中的每一個數(shù)與它的項數(shù)“一一對應”※折線統(tǒng)計圖：一組數(shù)據(jù)與統(tǒng)計圖中的一個點“一一對應”……第一百二十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六如：學習“四舍五入”，3.5至4.5(不含4.5)之間的無窮多個數(shù)四舍五入保留整數(shù)后都對應的是“4”又如：“找次品問題”，次品數(shù)在10至27個時，均需要稱量3次（2）感受“多對一”的對應關(guān)系第一百二十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六將對應關(guān)系以圖解的形式滲透，各冊教材中均有類似如下的練習：以上所列舉的內(nèi)容豐富了學生對于兩個集合“關(guān)系”的認識第一百二十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六（3）結(jié)合基本數(shù)量關(guān)系或圖形計算公式，

強化對變量之間關(guān)系的感受S=vt(路程=速度×時間)，當速度v固定時，S是t的函數(shù)。C=πd(圓的周長=圓周率×直徑)，C是d的函數(shù)。S=1/2ah(三角形面積=底×高÷2)，當a固定時，S是h的函數(shù)可以設計如下的訓練：學校有120名學生排隊做操，

，可以站幾排？第一百二十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六3.對多種數(shù)學語言的感受和初步使用※感受和使用字母語言※一般的函數(shù)解析式都是借助字母來表

達的。引進字母表

示，是用符號表示

數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)

律的基礎(chǔ)。解析式：S=πr2第一百二十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六（2）感受和使用表格語言第一百二十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六(3)感受和使用圖像語言圖像對于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，圖像表示以其直觀性有著其它表示方式所不能替代的作用，它是“看見”相應的關(guān)系和變化情況的途徑之一。學生最初看到的函數(shù)圖像是四年級學習的折線統(tǒng)計圖六年級成正比例的兩個量的圖像繪制第一百二十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六鼓勵學生將表格、圖像和關(guān)系式結(jié)合起來，談自己對正比例關(guān)系的認識第一百二十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六舉例：正比例的意義原來的設計：1.復習時說長方形的長、寬、高，速度、時間、路程等之間的關(guān)系2.出示例題，學生思考：（1）表中有哪幾種量？（2）它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎？（3）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？3.判斷練習，強調(diào)比值或商一定學生做判斷練習的正確率比較高。4.例2的圖像讓學生自主畫圖，集體交流答題情況后并沒有過多停留。過于重視判斷技巧的習得，忽略了圖像教學的價值。第一百二十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六化靜為動，感悟函數(shù)思想課始呈現(xiàn)：蠟燭燃燒（時間與被燒的長度的變化關(guān)系）汽車行駛（時間與速度的變化關(guān)系）股票行情正方形周長與邊長的變化關(guān)系兩人年齡情況正方形面積計算公式思考：1.觀察每個情景中的兩種變量，它們是怎樣變化的？2.在這些情景中，哪些量的變化具有相同的特點？

第一百二十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六分類：1.兩個變量，一個量增加，另一個量也增加（同時增加）2.兩個變量，一個量增加，另一個量卻減少。3.兩個變量，一個量增加，另一個量時增時減。對同時增加的一類再深入研究：分為直線上升、曲線上升經(jīng)歷：體會變化的量之間的關(guān)系——感受變量之間關(guān)系的不同——通過分類，關(guān)注正比例變化的情況※直觀感受變量之間的相互依存關(guān)系，預測動態(tài)變化趨勢第一百三十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六在小學數(shù)學教學中滲透函數(shù)思想，要把握以下兩條基本原則:（1）創(chuàng)設“變化”的過程，才能感受到函數(shù)思想。（2）激發(fā)學生“探究”的本性，于“變”中把握“不變”，滿足人的好奇本性。第一百三十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六典型案例

用字母表示數(shù)商不變的性質(zhì)正比例和反比例

“周長和面積”的練習課利用數(shù)量關(guān)系在解決實際問題，如單價、數(shù)量和總價之間的關(guān)系；路程、時間和速度的關(guān)系；工作量、工作效率和工作時間的關(guān)系……

統(tǒng)計與概率六年級上冊“位置”

一年級上冊《20以內(nèi)進位加法表》

一位數(shù)乘法口算

0和任何數(shù)相乘都得0的計算過程倍的認識；倍數(shù)應用題除數(shù)是一位數(shù)的除法自然數(shù)與直線上的點的關(guān)系乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法計算歸一、歸總應用題；除數(shù)是兩位數(shù)的除法差（和）對應兩步應用題相遇問題分數(shù)的初步認識小數(shù)與數(shù)軸上的點。第一百三十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六一個綜合性的例子第一百三十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

策略1：嘗試與猜想：1只雞，7只兔，腿的總條數(shù)是30，腿多了，減少兔子的數(shù)量，再嘗試；策略2：列表嘗試：雞兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加雞的數(shù)量，再嘗試；策略3：用畫圖的方法，先按照都是雞畫好，再在此基礎(chǔ)上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。第一百三十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六策略4：面積圖，利用長方形面積公式來計算組合圖形的面積。2只腳4只腳8個頭雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

第一百三十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六策略5：金雞獨立法。

所有的雞、兔都起立，兔子兩腿站立，雞一腳獨立，此時腿數(shù)是22÷2=11（支），此時雞的腿數(shù)和頭數(shù)相等，而兔子的腿數(shù)比頭數(shù)多1。因此11－8=3（個），就是兔子的只數(shù)。雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

第一百三十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

策略6：假設全是雞，也可以假設全是兔，也可以假設一半是雞一半是兔；策略7：方程思路：用□表示雞的只數(shù)，用○表示兔的只數(shù)，根據(jù)已知條件可以發(fā)現(xiàn)□＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○＝3。第一百三十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六引導與體驗第一百三十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六1、教師要深入理解每種思想的本質(zhì)，把握教學內(nèi)容滲透數(shù)學思想的機會。第一百三十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六我們通常會這樣問：等邊三角形的三個角分別是多少度？如果改成這樣呢：等邊三角形是否可能有直角？2、好問題才會有好思維,才能提升高級思維第一百四十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六幾年前，一位朋友問郭思樂教授：“什么是教學？”郭教授回答說：“如果你告訴學生，3乘以5等于15，這不是教學。如果你說，3乘以5等于什么？這就有一點是教學了。”“如果你有膽量說：‘3乘以5等于14’，那就更是教學了。這時候，打瞌睡的孩子睜開了眼睛，玩橡皮泥的學生也不玩了：‘什么什么？等于14？’”“然后他們就用各種方法，來論證等于15而不是14。比如4個3是12，再多加一個3，是15；數(shù)一數(shù)，5個3是15，等等?！边@一段小小的對話，閃爍著郭思樂教授“生本教育”理論的智慧之光。第一百四十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期六3、留一只眼睛審視思維過程。數(shù)學思考過程中的元認知——評估自己的數(shù)學思考（留一只眼睛給自己）：“我所面臨的是怎樣的問題？”“我所選擇的是怎樣的一條解題途徑？”“我為什么作出這樣的選擇？”“我現(xiàn)在已經(jīng)進行到了哪一階段？”“這一步的實施在整個解題過程中占有怎樣的地位？”“我目前所面臨的主要困難是什么？“解題的前景如何？”“我獲得了什