銳角三角函數(shù)（鞏固篇）-人教版九年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練

文檔來源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專題28.3銳角三角函數(shù)（鞏固篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．在△ABC中，∠C＝90°，，則（）A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝2．已知在RtABC中，C90°，AC8,BC15，那么下列等式正確的是（

）A． B．cosA= C．tanA= D．cotA=3．如果等腰三角形的底角為30°，腰長為6cm，那么這個三角形的面積為（）A．4.5cm2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm24．若菱形的周長為，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

）A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，連結(jié)CD．下列各組線段的比值一定與cosA相等的是（

）A． B． C． D．6．如圖，在等腰三角形ABC中，，點D為BC的中點，于點E，則的值等于（

）A． B． C． D．7．如圖，菱形的對角線與相交于點，，將沿著方向平移的長度得到，連接，則等于（

）A． B． C． D．8．如圖，A(4，0)、B(0，3)，在第一象內(nèi)作Rt△ABC，其中∠BAC=90°且tan∠ABC=2，點P是直線AC上的動點，點Q是直線BC上的動點，則PB+PQ的最小值是(

)A．5 B．10 C． D．9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點H是高AD和BE的交點，∠CAD＝30°，CD＝4，則線段BH的長度為（

）A．6 B． C．8 D．10．如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，AE交BF于點H，交BF于點G，下列結(jié)論，①；②；③；④其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④二、填空題11．若，那么的形狀是_____．12．已知是銳角，那么cos=_________．13．如圖，△ABC的頂點是正方形的格點，則sin∠BAC的值為_____________14．如圖，在矩形ABCD中，連接AC，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN分別交AC于點E，交AB于點F，若，，則線段BF的長為______．15．如圖，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)的圖象上，第二象限內(nèi)的點B在反比例函數(shù)的圖象上，且OA⊥OB，tanA=，則k的值為_________．16．如圖，在等邊三角形ABC中，E為AB邊上的一個動點，連接CE，將AC沿著CE折疊得到，A的對應(yīng)點為，連接，當(dāng)時，的值為__________．17．如圖，在四邊形中，連接，，，．若，，則______．18．如圖，木工師傅在板材邊角處做直角時，往往使用“三弧法”，其做法是：（1）作線段AB，分別以為A、B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧的交點為C；（2）以C為圓心，仍以AB長為半徑做弧，交AC的延長線于點D；（3）連接BD、BC．下列說法正確的是：_____（把所有正確的序號都寫出來）①∠CBD＝30°；②S△BDC＝AB2；③點C是的外心；④sin2A+cos2D＝1三、解答題19．計算：（1）；（2）．20．如圖，已知在中，，垂足為點，點是邊的中點．(1)求邊的長；(2)求的正弦值．21．將矩形紙片沿翻折，使點落在線段上，對應(yīng)的點為，若，求的長.22．如圖，點P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點，點P的縱坐標(biāo)為4，軸，垂足為點B．（1）求m的值；（2）點M是函數(shù)圖象上一動點，過點M作于點D，若，求點M的坐標(biāo)．23．如圖，直線經(jīng)過上的點，直線與交于點和點，與交于點，與交于點，，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求圖中陰影部分面積．24．如圖，拋物線交軸于、兩點，其中點坐標(biāo)為，與軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖①，連接，點在拋物線上，且滿足．求點的坐標(biāo)；（3）如圖②，點為軸下方拋物線上任意一點，點是拋物線對稱軸與軸的交點，直線、分別交拋物線的對稱軸于點、．請問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．參考答案1．D【分析】設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項排查即可．解：設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝＝，故A錯誤；sinB＝＝，故B錯誤；tanA＝，故C錯誤；tanB＝＝，故D正確．故選：D．【點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行作答.解：由勾股定理知，AB=17；A.,所以A錯誤；B.，所以，B錯誤；C.，所以，C錯誤；D.=，所以選D.【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是本題解題關(guān)鍵.3．B【分析】作底邊上的高運用等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)定義分別求三角形的高和底邊長，代入公式計算求解．解：如圖，作底邊上的高AD，∵∠B＝30°，AB＝6cm，AD為高，∴AD＝ABsinB＝ABsin30°＝3，BD＝ABcosB＝6×＝3，∴BC＝2BD＝6，∴S△ABC＝，故選：B．【點撥】此題考查了等腰三角形的面積的求法和三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形中底邊上的高也是底邊上的中線求解．4．D【分析】如圖，為菱形的高，，利用菱形的性質(zhì)得到，利用正弦的定義得到，則，從而得到的比值．解：如圖，為菱形的高，，菱形的周長為，，在中，，，，，．故選：D．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．5．C【分析】根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可求出答案．解：∵是的中位線∴點、分別是、的中點∵∴∴∴故選：C【點撥】本題考查三角形綜合問題，涉及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，中位線的性質(zhì)以及特殊角銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．6．B【分析】如圖所示，連接，由為中點得出，，從而根據(jù)勾股定理得出，然后由，得出，最后根據(jù)三角函數(shù)定義即可得出答案．解：如圖所示，連接，，，為中點，，，，，，，．故選：B．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過等量代換得出，進(jìn)而得出答案．7．C【分析】過點C作CF⊥ED交ED的延長線于點F，沿著方向平移的長度得到，得到AODE，AO＝ED＝AC，再證明四邊形OCFD是矩形，OC＝DF＝AC，CF＝OD＝BD，得到EF＝ED＋DF＝AC＋AC＝AC，由tan∠DEC＝即可求得答案．解：過點C作CF⊥ED交ED的延長線于點F，∵四邊形ABCD為是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OD＝BD，∵沿著方向平移的長度得到，∴AODE，AO＝ED＝AC，∵AC⊥BD，∴DO⊥DE，∵CF⊥ED，∴∠COD＝∠ODF＝∠CFD＝90°，∴四邊形OCFD是矩形，∴OC＝DF＝AC，CF＝OD＝BD，∴EF＝ED＋DF＝AC＋AC＝AC，在Rt△CFE中，∴tan∠DEC＝，故選：C【點撥】此題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等知識，證明四邊形OCFD是矩形是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】延長BA到，使，過點作于點Q，交AC于點P，此時，即的最小值為，根據(jù)求的值即可．解：延長BA到，使，過點作于點Q，交AC于點P如圖所示：∵A(4，0)、B(0，3)，∴，，在Rt△OAB中根據(jù)勾股定理可知，，∴，∵∠CAB=90°，∴，∴垂直平分，∴，∴，∵直線外一點與直線上各個點的連線中垂線段最短，此時最小，即最小，∵，∴設(shè)，則，∵在中，根據(jù)勾股定理可知，，∴，解得：，（舍去），則，∴最小值為，故D正確．故選：D．【點撥】本題主要考查了勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，作出輔助線，找出什么情況下最小是解決本題的關(guān)鍵．9．C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)直角三角形兩銳角互余、三角函數(shù)、分式方程的性質(zhì)，得，再根據(jù)等腰三角形和三角函數(shù)的性質(zhì)分析，即可得到答案．解：根據(jù)題意，得∴∴∵CD＝4∴∴經(jīng)檢驗，是的解∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，∴∴∴∴∴∴∴經(jīng)檢驗，是的解故選：C．【點撥】本題考查了三角函數(shù)、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．10．D【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)求證是直角三角形即可得到結(jié)果；②由①求證，利用其對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論；③由①求證即可得出結(jié)論；④利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；解：∵在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC，CD的中點，∴，∴，∵CG∥AE，∴，∴，∴，即△CGF為直角三角形，∵CG∥AE，∴△BHE也是直角三角形，∴．故①正確；由①得，∴，∴，故②正確；由①得，∴BH=CG，而不是BH=FG，故③錯誤；∵，∴，即，同理可得：，可得，∴，∴④正確；綜上所述，正確的有①②④．故答案選D．【點撥】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義判斷，準(zhǔn)確結(jié)合相似三角形性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．銳角三角形【分析】根據(jù)二次根式和絕對值的非負(fù)數(shù)性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值可求出∠A和∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠C的度數(shù)，即可得到答案．解：∵，∴cos2A-=0，tan-=0，∴cosA=（負(fù)值舍去），tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°-45°-60°=75°，∴△ABC是銳角三角形，故答案為：銳角三角形【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長，由三角函數(shù)的定義直接解答即可．解：由sinα==知，如果設(shè)a=x，則c=2x，結(jié)合a2+b2=c2得b=x.∴cos==.故答案為：.【點撥】本題考查的知識點是同角三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系.13．【分析】找到方格點D，連接CD，由直角三角形逆定理得出三角形ADC為直角三角形，然后根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解即可．解：：找到方格點D，連接CD，根據(jù)題意可得：AD2=12+12=2，，AC2=12+32=10，，CD2=22+22=8，，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴，故答案為：．【點撥】題目主要考查勾股定理及其逆定理，求角的正弦等，理解題意，找準(zhǔn)直角三角形求解是解題關(guān)鍵．14．【分析】連接CF，MN為AC的垂直平分線，則可得，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可得DC、BC的長，再設(shè)，利用勾股定理列方程求解即可．解：連接CF，由題意可知：MN為AC的垂直平分線，，∵矩形ABCD，，，在中，AC=10，，，在中，，設(shè)，則，在中，，即：，解得：，．故答案為：．【點撥】本題考查了垂直平分線的畫法和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)以及勾股定理，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)以及應(yīng)用勾股定理列方程是本題的關(guān)鍵．15．-12【分析】作軸于，軸于，如圖，利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得到，再根據(jù)正切的意義得到，接著證明，利用相似三角形的性質(zhì)得，所以，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定的值．解：作軸于，軸于，如圖，則，在中，，，，，∴，，，，而，．故答案為-12．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標(biāo)的積是定值，即．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．16．【分析】根據(jù)折疊對稱性把各邊和角表示出來，利用等邊三角形性質(zhì)把OB表示出來即可求出．解：C沿著CE折疊得到，與AB交于O．設(shè)AE=x，則=x．∵AC沿著CE折疊得到，A的對應(yīng)點為，∴∠ECA==60°∴，EO=∴AO=AE+EO=又∵等邊三角形ABC，∴AO=OB=∴tan==故答案為：．【點撥】本題考查了正切值、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形并把各邊表示出來．17．【分析】過點C作BD垂線，垂足為E，設(shè)BE為x，DE為y，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，以及可證，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)列方程求出x、y的值，即可求得BD的值．解：如圖：過點C作BD垂線，垂足為E，在中，，，設(shè)BE為x，DE為y，則根據(jù)勾股定理可得：，即：，，，，，，，即；根據(jù)，解得：，則，故答案為：．【點撥】本題主要考查銳角三角函數(shù)，相似三角形，勾股定理等知識點，根據(jù)相似三角形性質(zhì)以及勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．18．①②③【分析】①根據(jù)尺規(guī)作圖的過程即可得結(jié)論；②根據(jù)①和勾股定理即可得結(jié)論；③根據(jù)直角三角形的外接圓的性質(zhì)即可得結(jié)論；④根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得結(jié)論．解：①根據(jù)題意的作圖過程，可知是等邊三角形，∠ABD＝90°，∴∠CBD＝30°．故①正確．②∵∠ABD＝90°，∠CBD＝30°．∴2AB＝AD，根據(jù)勾股定理，得∵BC是的中線，∴S△ABC＝S△BCD＝故②正確．③∵點C是直角三角形ABD斜邊AD的中點，∴點C是的外心．故③正確．④在Rt中，∴sin2A+cos2D＝≠1．故④不正確．故答案為：①②③．【點撥】本題考查了尺規(guī)作圖、三角形的外接圓、直角三角形、勾股定理、三角形的面積、銳角三角函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．19．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)二次根式與特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．解：（1）原式＝＝＝．（2）原式．【定睛】此題主要考查實數(shù)的運算。解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．20．(1)(2)【分析】（1）由求出，在中由勾股定理可求出的長；（2）過點作于點F，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF，DF的長，根據(jù)勾股定理求出AE的長，再根據(jù)正弦的定義求解即可．解：（1）∵∴和均為直角三角形，∵∴∵∴∵由勾股定理得，（2）過點作于點F，如圖，∵，∴//∴∴∵點是邊的中點∴∴∵∴∴∴在中，∵∴∴【點撥】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．21．10【分析】設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)表示出其它線段，最終表示出BE、AB，然后在三角形ABE中根據(jù)勾股定理即可求出AB.解：∵是矩形，沿翻折∴，BE=EF，∠AFE=∠B=∠D=，∴∠AFD+∠DAF=∠AFD+∠EFC=,∴∠DAF=∠EFC,∴,設(shè)，則∴,∴,∴AD=8k，∴，∴，∴,∴,∵,∴，∴,∴.【點撥】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.22．（1）24；（2）M點的坐標(biāo)為【分析】(1)根據(jù)交點坐標(biāo)的意義，求得點P的橫坐標(biāo)，利用k=xy計算m即可；（2）利用分類思想，根據(jù)正切的定義，建立等式求解即可.解：（1）∵點P縱坐標(biāo)為4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，設(shè)，則，當(dāng)M點在P點右側(cè)，∴M點的坐標(biāo)為，∴（6+2t）（4-t）=24，解得：，（舍去），當(dāng)時，，∴M點的坐標(biāo)為，當(dāng)M點在P點的左側(cè)，∴M點的坐標(biāo)為，∴（6-2t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．綜上，M點的坐標(biāo)為．【點撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)解析式的確定，三角函數(shù)，一元二次方程的解法，熟練掌握函數(shù)圖像交點的意義，靈活運用三角函數(shù)的定義，構(gòu)造一元二次方程并準(zhǔn)確解答是解題的關(guān)鍵．23．（1）見分析；（2）【分析】（1）連接，證明即可；（2）由已知條件得出，利用特殊角銳角三角函數(shù)求出OD、OG的長度，再由扇形面積公式以及三角形面積公式求即可．解：.（1）證明：連接．∵，．∴．∵是的半徑，∴是切線．（2）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，在中，，∴，∴．【點撥】本題