陳鶴鳴激光原理習(xí)題與思考題3解答

習(xí)題與思考題二解答簡述光學(xué)諧振腔的作用CO2激光器的腔長L=100cm，反射鏡直徑D=1.5cm，兩鏡的光強(qiáng)反射系數(shù)分別為r1=0.985，r2=0.8。求由衍射損耗及輸出損耗分別引起的 &t解答1衍射損耗：、c10.610J、c10.610J1(0.7510-)210.1883108-0.188=1.7510」s輸出損耗:niV2=-0.5In(0.9850.8)=0.11980.11931080.1193108510s解答2:(解答2:(1)輸出損耗由腔鏡反射不完全引起。初始光強(qiáng)為衰減為I1，則:I0在無源腔內(nèi)往返一次后光強(qiáng)R1丄n」2r1r二^In2 0.985*0.8二0.119R1CQ1=2二?R1(2)衍射損耗:a2R2R1丄n」2r1r二^In2 0.985*0.8二0.119R1CQ1=2二?R1(2)衍射損耗:a2R2100cm0.12*3*108m/s「2.7810S8cV*108m/s

-10「6?m*2.78*10上s=4.94*106腔的菲涅耳數(shù)D24L4L4*100cm*10.6」mD2(1.5cm)21m二0.188；dC0.188*3*108m/s二1.77*10Q2二2二R2cc=2二—R2二3.15*10*利用往返矩陣證明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意近軸光線在其中可以往返無限多次，而且兩次往返即自行閉合。證明如下：(共焦腔的定義一一兩個(gè)反射鏡的焦點(diǎn)重合的共軸球面腔為共焦腔。共焦腔分為實(shí)共焦腔和虛共焦腔。公共焦點(diǎn)在腔內(nèi)的共 焦腔是實(shí)共焦腔，反之是虛共焦腔。兩個(gè)反射鏡曲率相等的共焦腔稱為對稱共焦腔，可以證明，對稱共焦腔是實(shí)雙凹腔。)根據(jù)以上一系列定義，我們?nèi)【邔ΨQ共焦腔為例來證明。設(shè)兩個(gè)凹鏡的曲率半徑分別是尺和R2，腔長為L,根據(jù)對稱共焦腔特點(diǎn)可知：R=R2二R=L因此，一次往返轉(zhuǎn)換矩陣為

T二A]c2LR22LR2-2LT二A]c2LR22LR2-2L-Ri2L1-I1-.Ri人2LR2丿把條件R1=R2二R=L帶入到轉(zhuǎn)換矩陣T,得到:共軸球面腔的穩(wěn)定判別式子一1::1AD:::121—(A+D)=-1 —(A+D)=1如果2 或者2 ，則諧振腔是臨界腔，是否是穩(wěn)定腔要根據(jù)情況來定。本題中，因此可以斷定是介穩(wěn)腔(臨界腔)，下面證明對稱共焦腔在2近軸光線條件下屬于穩(wěn)定腔。經(jīng)過兩個(gè)往返的轉(zhuǎn)換矩陣式 T，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為:坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為:其中等式左邊的坐標(biāo)和角度為經(jīng)過兩次往返后的坐標(biāo)，通過上邊的式子可以看出，光線經(jīng)過兩次往返后回到光線的出發(fā)點(diǎn)，即形成了封閉，因此得到近軸光線經(jīng)過兩次往返形成閉合，對稱共焦腔是穩(wěn)定腔。分別按下圖3-48(a)(b)中的往返順序，推導(dǎo)近軸光線往返一周的光學(xué)變換矩陣圖3-48圖3-48習(xí)題4圖(a)t=『12CR12011飛101Ca」R2(a)t=『12CR12011飛101Ca」R24L2R1R2—R1R24L24L4L2R1R2R1R2(b)t二IR2丫1lL〔ab)j01丿飛D丿A」24L4LR1D二R1R2 R22L1R1A"乂-竺-竺2R1R2 R1 R2激光器的諧振腔由一面曲率半徑為 1m的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成,工作物質(zhì)長0.5m，其折射率為1.52.求腔長L在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔？解答如下：設(shè)腔長為L1，腔的光學(xué)長度為L，已知R^-IM R2=2M Lo=0.5Mn1=1n2=1.52根據(jù)AD=1 旦AD=1 旦2R1R2 R1R2代入已知的凸凹鏡的曲率半徑，得到:TOC\o"1-5"\h\z2L 2L丄A D=1仝 2L1M 2M 1M 2M因此，這里 L因此，這里 L應(yīng)該是光程的大?。ɑ蛘哒f是.L.L1一L0一―L1-0.5 0.51.52代入上式，得到:0.52AD八八0.52AD八八1T1.52-0.5 0.51 1.52要達(dá)到穩(wěn)定腔的條件，必須是-1:1AD<1按照這個(gè)條件，得到腔的幾何長度為：1.17：：J：：2.17單位是米。解答完畢。設(shè)光學(xué)諧振腔兩鏡面曲率半徑R1=-1m，R2=1.5m，試問：腔長L在什么范圍內(nèi)變化時(shí)該腔為穩(wěn)定腔？0(1-丄)*(1-丄)1，0(1L)*(1-2L)1R1 R2 3所以:7.R=100cm,L=40cm的對稱腔，相鄰縱模的頻率差為多少?7.8.3*108Wq=2*L2*0.4二3.75*108Hz腔長為0.5m的氬離子激光器，發(fā)射中心頻率 v0=5.85X08.3*108Wq=2*L2*0.4二3.75*108Hz腔長為0.5m的氬離子激光器，發(fā)射中心頻率 v0=5.85X014Hz，熒光線寬？v=6X108Hz。問可能存在幾個(gè)縱模?相應(yīng)的q值為多少?解：縱模間隔為："qQc3108310Hz,2L210.5n=■■-q8Av 6乂1088=2,310則可能存在的縱模數(shù)有3個(gè)，它們對應(yīng)的q值分別為:145.8510 62」L q2」L qc108q+仁1950001,q—1=1949999

He-Ne激光器的中心頻率v0=4.74X1014Hz，熒光線寬？v=1.5X09Hz，腔長L=1m,問可能輸出的縱模數(shù)為多少？為獲得單縱模輸出，腔長最長為多少？解:cc3108(1)輸出縱模數(shù)為N=[iv：q]+1=[91.510981.510]+i=iiMq=2iL(1)輸出縱模數(shù)為N=[iv：q]+1=[91.510981.510]+i=iicc3108Avq=21L=2L=^L=1.5X108/L>1.5>109則L<0.1m,腔長最長不能超過0.1m有一個(gè)諧振腔，腔長L=1m，兩個(gè)反射鏡中，一個(gè)全反，一個(gè)半反。半反鏡反射系數(shù)r=0.99。求在1500MHz的范圍內(nèi)所包含的縱模個(gè)數(shù)，及每個(gè)縱模的線寬(不考慮其它損耗)。解：(1)c c3江1083q=2他=2L= 2" =1.5>108Hz輸出縱模數(shù)為1500106N=[ 'q]+1=[ 1.5108]+仁ii所以輸出縱模數(shù)為11.(2)透射損耗1 1:=-—lnhd：—[(1一”)(1—r2)]=0.01/22 2 =0.005

.二L/、.c=1/0.0053108 -10-51515 5 5：v=1/2 10=2.3910Hz線寬2兀線寬求方形鏡共焦腔鏡面上的TEMao模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎？(可以90s為參數(shù))目甘求岀方形鏡共隹腔面上TEM狽模的節(jié)線拉置這些節(jié)線是等距分布的嗎？絲J3(X)-8X3-1ZX令KJX)=0匚＞禺=0,爲(wèi)=Ub=T=厚％、＜3I?-Xj|=|xj-x＞|等何距分布解答2:方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程式為mnX,y二mnX,y二e" mnx,yeLdxdy_a_a經(jīng)過博伊德一戈登變換，在通過厄密 -高斯近似，可以用厄密-高斯函數(shù)表示鏡面上場的函數(shù)Hx3-12使'30x,y二Hx3-12使'30x,y二0就可以求出節(jié)線的位置。由上式得到:eL C'■30x,y=C30H3■-mnx,y二CmnHXiXi=0,X2,3=32二I'，這些節(jié)線是等距的。解答完畢。試寫出圓形鏡共焦腔TEM20和TEM02模在鏡面上場的分布函數(shù)v02(r,0)和v20(r,0)，并計(jì)算各節(jié)線的位置。解答：圓形鏡共焦腔場函數(shù)在拉蓋爾一高斯近似下，可以寫成如下的形式■-mn「J■-mn「J二Cmne兀cosmsinm(這個(gè)場對應(yīng)于TEMmn，兩個(gè)三角函數(shù)因子可以任意選擇，但是當(dāng) m為零時(shí)，只能選余弦，否則整個(gè)式子將為零)Ur,申C20對于TEM20:、2L2Ur,申C20對于TEM20:、2L22宀20ssin2L0并且2r22=1■，0s ，代入上式，得到20r,=C200ssin2取余弦項(xiàng)，根據(jù)題中所要求的結(jié)果，取20r,二20r,二C20iCO0s22r_2_GC0scoS2就能求出鏡面上節(jié)線的位置。既cos2=0=]對于TEM。2，可以做類似的分析。、?2r"Qsl、?2r"Qsl22r2"Os-C°2L0代入上式并使光波場為零，得到■-02r,:顯然，只要=C022?Os4r22r44''Os：Os ■'Os■'Os即滿足上式?代入上式并使光波場為零，得到■-02r,:顯然，只要=C022?Os4r22r44''Os：Os ■'Os■'Os即滿足上式?最后鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為:ri解答完畢解:fCOSmq>[will旳卩對于TEM対模;節(jié)線處：cos2^=0或$in2卩=0

=＞嚴(yán)±彳，土乎或伊=0彳即節(jié)線將整圓4等分從鏡面上的光斑大小來分析，當(dāng)它超過鏡子的線度時(shí)，這樣的橫模不可能存在。試估算在腔長l=3Ocm，鏡面線度2a=O.2cm的He-Ne激光方形鏡共焦腔中所可能出現(xiàn)的最高階橫模的階次是多大？

解:2=0.6328xl0_6m解:=2.46xIO-4/nV2m+1ixi(r32.46x10"=4*07a=OJtvn=1xlO訕V2m+1ixi(r32.46x10"=4*07二）機(jī)=7J6 叫和二刃噺二7穩(wěn)定雙凹球面腔腔長L=1m,兩個(gè)反射鏡的曲率半徑分別為 R仁1.5m,R2=3m，求它的等價(jià)共焦腔腔長，并畫出它的位置。解答:_厶(局-G1(L-Rf)+(L-局) -_L)「(丄—R1)+(L-/?2)2=厶(叱-L)(R1—0(心+尺2—厶)

口一&)+(—&)"/ 4得習(xí)二飛Z2/ 4得習(xí)二飛Z2等價(jià)共焦腔腔長L'=2/=對稱雙凹球面腔腔長為L,反射鏡的曲率半徑R=2.5L，光波長為入，求鏡面上的基模光斑半徑。解：因?yàn)闉閷ΨQ球面腔，所以假設(shè) Z1<0,Z2>0,并且z2=-z仁z,f為等價(jià)共焦腔焦距,所以

'R仁-R=R(z1)=-(Zl+f2/z1)=-(Z+f2/Z)'R2=R=R(z2)=z1f2/z仁zf2/z上二二L/2L=z2-z1=2z f=L等價(jià)共焦腔腔長L'=2f=2L。所以鏡面上基模光斑半徑為有一凹凸腔He-Ne激光器，腔長L=30cm，凹面鏡的曲率半徑R仁50cm，凸面鏡的曲率半徑R2=30cm.利用穩(wěn)定性條件證明此腔為穩(wěn)定腔。求此腔產(chǎn)生的基模高斯光束的腰斑半徑及束腰位置求此腔產(chǎn)生的基模高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角。(1)=0-8<1L(R2-L)債—垃屮丄-覽)=-0.45mS一(1)=0-8<1L(R2-L)債—垃屮丄-覽)=-0.45mS一Q=-0A5m億一島)*億-禺)卜(罠一匸)(島一 & -D=0.15/h>i=6328xl0'7J7?有一平凹腔，凹面鏡曲率半徑 R=5m,腔長L=1m，光波長社0.5m.求:兩鏡面上的基模光斑半徑；基模高斯光束的腰斑半徑及束腰位置;基模高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角。解：⑴解：⑴f2=L(R-L)=1(5-1)=4等價(jià)共焦腔腔長L'=2f=4m， '=0.5m⑵二0.1(z/f)2 0二\L'/2二二0.56m”z1=0時(shí)，b(z1)=b0=0.56m :z2=1m時(shí)，(z2)=oJ(1/2)2=0.63m(2)腰斑半徑0二'L''/2二=0.56m，束腰在z=0處，與平面鏡重合。二0=2\/f二=2廣0二0.564rad設(shè)計(jì)一對稱光學(xué)諧振腔，腔長 L=2m,波長Q10.6呵.如選擇凹面鏡曲率半徑R=L,試求鏡面上光斑尺寸。若保持L不變，選擇R>L，并使鏡面上光斑尺寸?0s=0.3cm,問此時(shí)鏡的曲率半徑和腔中心光斑尺寸多大？解:(1)鏡面光斑尺寸(此時(shí)可把它看作對稱共焦腔)：(1)鏡面光斑尺寸(此時(shí)可把它看作對稱共焦腔)：(2)此時(shí)不能當(dāng)作對稱共焦腔，但是仍然是對稱光學(xué)諧振腔，只是 R二R2二R…L根據(jù)(3-160)式可得鏡面光斑尺寸為(舍去一個(gè)與 L近似相等的解R=1.204m):1〕4二L R1〕4二L R2R-L~\ [\(R-L(2R-L)一L[R]4=2.5977[■:L(2R-L) 2(2R-2)R2丄]4=3二R:5.911m(3)LR-LR-L2R-L' (2R-2L)2((3)LR-LR-L2R-L' (2R-2L)2(25.911一2)=2.216m10.610-64.911-2.735mm某共焦腔Ne-Ne激光器，波長入=0.6328呵,若鏡面上基模光斑尺寸為0.5mm，試求共焦腔的腔長。若腔長保持不變，而波長 入=3.39口m，此時(shí)鏡面上光斑尺寸為多少？解：（1）因?yàn)殓R面上光斑尺寸為:所以等價(jià)共焦腔腔長I'=c2/0s當(dāng)’=0.6328"m，0s=0.5mm時(shí)，20s20s=1.24m⑵當(dāng)=3.39"m時(shí),圖3-49為四平面反射鏡（M1?M4）構(gòu)成的環(huán)形腔，在M1和M4之間放置一個(gè)薄透鏡，其焦距為f（＞0），整個(gè)腔長為L=2（2L1+L2）。（1） 確定該腔的穩(wěn)定性區(qū)間。（2） 畫出該腔的雙球面鏡等價(jià)腔，并標(biāo)出腔參數(shù)。（3）若f=20cm,L仁5cm,L2=10cm, 入=514.5nm.求該腔的束腰大小，位置和諧振頻率。解：(1)列出光在該戟軌很強(qiáng)中傳輸亠周期的變換矩陣:A町_「I0-■]LI LKD」J仃1」_01_由穩(wěn)上性條件町得:?JO7宙此可備穩(wěn)定性條件為：0<L/f<4⑵此腔可弄敦為對稱球面鏡腔’其光幔應(yīng)位「該M價(jià)腔的中心，因此光腰位世為Ml與M2中線處°(3)L」2(2L1