第一章-索洛增長模型

第一章 索洛增長模型一、索洛模型的介紹與一些前提假設(shè)條件該模型是經(jīng)濟學(xué)家傳統(tǒng)上用于分析經(jīng)濟增長的主要模型。幾乎對于所有有關(guān)增長的分析而言，索洛模型是其起點。理解該模型實質(zhì)上便是理解增長理論。但該模型也存在缺陷：它不能解釋不同時間上人均產(chǎn)出的巨大增長，也無法解釋地域上不同人均產(chǎn)出的巨大差距。(按邊際產(chǎn)品取得收益的傳統(tǒng)途徑)。Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))假設(shè)：(1)生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于兩個自變量是規(guī)模報酬不變的，即資本與有效勞動是規(guī)模報酬不變的(F(cK,cAL)=cF(K,AL),Vc>0)；(2)除資本、勞動與知識以外的其他投入是相對不重要的，特別地，模型忽略了土地與其他自然資源。規(guī)模報酬不變的假設(shè)可以讓我們利用緊湊形式的生產(chǎn)函數(shù)進行分析：當(dāng)c=1/AL,F(cK,cAL)=cF(K,AL)nF(K,1)=—F(K,AL)，其中，K是ALAL AL單位有效勞動的資本量，二F(K,AL)是單位有效勞動的產(chǎn)出(定義k=K，y=Y/AL，AL AL及y=F(k,1)ny=f(k)，即把單位有效勞動的產(chǎn)出寫成單位有效勞動的資本量的函數(shù)。[人均收入：Y/L=A(Y/AL)=Af(k)]緊湊型生產(chǎn)函數(shù)f(k)假定滿足f(0)=0，f'(k)>0，f"(k)<0(因為：F(K,AL)=ALf(K/AL)ndF(K,AL)/dK=ALf'(K/AL)(1/AL)=f(k)f(k)>0，f"(k)<0的假設(shè)意味著資本的邊際產(chǎn)品為正，但它隨每單位有效勞動的資本量的增加而下降。另f(?)被假設(shè)滿足稻田條件：Hm^of(k)=3,1血—8f(k)=0，其意思是在資本存量充分小量資本的邊際產(chǎn)品是十分大的，而當(dāng)資本存量變大時，資本的邊際產(chǎn)品變得十分小。，它是確保經(jīng)濟的路徑并不發(fā)散。(舉例柯布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，說明滿足稻田條件的意義)二、生產(chǎn)投入的時間變化描述資本、勞動與知識的初始水平給定的，勞動與知識以不變的增長率增長：L(t)=nL(t)，A(t)=gA(t)(n與g是外生參數(shù)，而變量上的一點表示關(guān)于時間的一個導(dǎo)數(shù)，L(t)=dL(t)/dt，為變量的變化率。而變量的增長率指其變化的速率，它等于其自然對數(shù)的變化率，如，n=dlnL(t)/dt='dL(Z)=_l_l()(曰然對數(shù)的變化率如 " dL(t)dt L(t)nInL(t)=InL(0)+ntnL(t)=L(0)e〃，(同理可得出A(t)=A(0)eg，)假設(shè)產(chǎn)出僅在消費與投資之間分配，其中投入投資的產(chǎn)出份額s是外生且不變的，投入投資的一單位產(chǎn)出可獲得一單位的新資本。現(xiàn)有資本以速率5折舊，即有：K(t)=sY(t)-5K(t)（索洛模型簡化：只存在一種單一的產(chǎn)品，政府不存在，就業(yè)波動被忽視，生產(chǎn)正好可用于三種投入的總生產(chǎn)函數(shù)描述，并且儲蓄率（s）、折舊（5）、人口增長（n）與技術(shù)進步（g）不變。）三、模型的動態(tài)學(xué)解釋1、k的動態(tài)學(xué)由于k=K/AL，求關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)，可得：?KK一,，?、KKLKAk=—— (AL+LA)=——AL(AL)2 ALALLALAsY-5K1 1 nk-gkAL=sf(k)-5k-nk-gk=sf(k)-k(n+g+5)它表示單位有效勞動的資本存量的變化率（k）為如下兩項的差：第一項sf（k）為每單位有效勞動的實際投資；第二項k（n+g+5）為持平投資，即為使k保持在現(xiàn)有水平上所必須進行的投資量。理由是現(xiàn)有資本正在折舊及有效勞動量正在以（n+g）的速率增長。（1）實際與持平投資圖：（稻田條件保證了上圖的實際投資曲線先陡峭，后下降，且只有相交一個點）（2）相位圖：用相位圖說明作為k的函數(shù)的k的變化：如果k初始小于k*，實際投資大于持平投資，因而k為正，反之，如果k大于k*，實際投資小于持平投資，因而k為負(fù)，如果k等于k*，則k為零。因此，無論k在哪里開始，它總會收斂于k*。

索洛模型中k的相圖平衡增長路徑：當(dāng)k收斂于k*，則勞動與知識正分別以速率n與g增加。資本存量K等于ALk，由于k在k*處不變，那么，K正以速度n+g增長，在資本與有效勞動正以速率n+g增長的條件下，規(guī)模報酬不變的假設(shè)意味著產(chǎn)出Y正以該速率增長。人均資本(K/L)及人均產(chǎn)出(Y/L)正以速率g增長。即意味著，無論其起點在何處，經(jīng)濟總會收斂于一個平衡增長路徑，模型的每個變量正以一個不變的速率增長，人均產(chǎn)出增長率只由技術(shù)進步惟一地決定。四、儲蓄率變化的影響政策最有可能影響索洛模型有參數(shù)是儲蓄率。1、對產(chǎn)出的影響。s的增加把實際投資線向上移動，因而k*上升，如圖:用于投資的儲蓄率增加的效應(yīng)k不會立即跳躍到k*的新值上。當(dāng)k初始等于k*的舊值，實際投資大于持平投資，k為正。因此，k開始上升，且持續(xù)上升，直到達到k*的新值才保持不變。如下圖所示:在這里，t0表示儲蓄率增加的時刻，依據(jù)假設(shè)，S在t0時刻跳躍，并且在此后保持不變。由于S的跳躍使實際投資以一個正的數(shù)量大于持平投資，k由0跳躍到一個嚴(yán)格的正的數(shù)量上。k逐漸由k*的舊值上升到其新值上，并且k逐漸地返回到零。此外，每個工人的平均產(chǎn)出Y/L等于Af(k)。當(dāng)k不變時，Y/L以A的增長率(g)增長。當(dāng)k正在增加時，Y/L的增長起因于A在增長，也起因于k在增加。因而Y/L的增長率大于g。然而，當(dāng)k達到k*新值時，只有A的增長對Y/L的增長產(chǎn)生作用。Y/L的增長率恢復(fù)到g。因此，儲蓄率的永久性增加產(chǎn)生了每個工人的平均產(chǎn)出增長率的暫時性增加。此時k的上升，最終會增加至新增儲蓄率被用于維持k的高水平。每個工人的產(chǎn)出增長率初始為g，在t0時刻向上跳躍，然后返回到其初始水平。因而每個工人的平均產(chǎn)出開始上升并且高于其處在平衡路徑上時的水平，并且接著逐漸返回到一個較高的路徑上，后者同第一個路徑平行。儲蓄率的變化具備水平效應(yīng)，但不具備增長效應(yīng)，它改變了經(jīng)濟的平衡增長路徑，因而也改變了任何時點上每個工人的產(chǎn)出水平。但這并不影響平衡路徑上每個工人的平均產(chǎn)出增長率。在索洛模型中，只有技術(shù)進步的增長率的變化具有增長效應(yīng)，所有其他變化只會產(chǎn)生水平效應(yīng)。2、對消費的影響每單位有效勞動的消費等于每單位有效勞動的產(chǎn)出乘以該產(chǎn)出用于消費的份額1-s。(1-s)f(k)。s在t0時刻處呈非連續(xù)的變化每單位有效勞動的消費初始發(fā)生向下跳躍。隨著k的上升與s仍處在較高水平上，消費逐漸地上升。儲蓄對消費的影響分析：假設(shè)c*表示均衡增長路徑上單位有效勞動的消費。 即c*=f(k*)-sf(k*)。在平衡增長路徑上，實際投資等于持平投資(n+g+8)k*。因此，c*=f(k*)-(n+g+8)k*，其中，k*是由s、n、g與8決定的。因此，可將k*表示為：k*=k*(s,n,g,8)。對上式求關(guān)于s的導(dǎo)數(shù)，得：與=[f(k*(s,n,g,8))-(n+g+8)]竺蘭件2ds ds由于s的增加會提高k*，即d*(s，：g,8)>0，那么，s的增加是否在長期內(nèi)提高或降ds低消費，這取決于資本邊際產(chǎn)品f'(k*)是否大于或小于(n+g+8)。當(dāng)k的上升，每單位有效勞動的投資的增加必定會等于(n+g+8)與k的乘積，以便使增加可被維持。如果f'(k*)是小于(n+g+8)，那么，由增加的資本所獲得的產(chǎn)出的增加并不足以把資本存量維持在較高水平上，消費必定下降以便保持較高的資本存量。如果f'(k*)是大于(n+g+8)，那么，由必存在相當(dāng)高的產(chǎn)出去保持k處在較高水平上，消費上升。(s的上升是否提高或降低消費取決于k*是處在f(k)的斜率的大小，如果f'(k*)大于持平投資的斜率(n+g+8)，則s的上升提高消費；f(k*)小于持平投資的斜率(n+g+8)，則s的上升降低消費，f'(k*)等于持平投資的斜率(n+g+8)一平行，則s的的邊際變動不會對消費產(chǎn)生影響，且在各種平衡增長路徑上，消費處在其最大的可能水平上。此時的k*值就是著名的資本存量的黃金律水平。3、儲蓄在長期內(nèi)對產(chǎn)出的影響(定量分析):(1)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dy*=廣(k*)6k*(s,n,g,8)ds ds(1)為求出華，需先求出華，我們知道，k*是由k=0的條件界定的，因此，k*滿足:ds dssf(k*(s,n,g,8))=(n+g+8)k*(s,n,g,8)對上式求關(guān)于s的導(dǎo)數(shù)，則得出：dk* dk*sf'(k*^—+f(k*)=(n+g+8)—ds ds

(2)dk* f(k(2)n——= ds (n+g+5)-sf(k*)把(2)式代入(1)式得到:dy*f(dy*f(k*)f(k*)ds (n+g+5)-sf(k*)(3)將(3)兩邊同乘以s/y*轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥?，另利用sf(k*)=(n+g+5)k*去替換s，得到:sdy*_s f(k*)f(k*)y*ds f(k*)(n+g+5)一sf(k*)_(n+g+5)k* f(k*)f(k*) (n+g+5)-sf'(k*)_(n+g+5)k* f'(k*)f(k*) (n+g+5)-(n+g+5)k*f'(k*)/f(k*)_ k*f'(k*)=f(k禾k*f(k*)1f(k舟由于k*f'(k*)/f(k*)是在k=k*處的產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性。用a《(k*)表示這個彈性，即可獲得：sdy* a(k*)y*ds 1-a(k*)K如果市場是競爭性的，并且不存在外部性，資本獲得其邊際產(chǎn)品，那么，在平衡增長路徑上的每單位有效勞動的資本獲得的總產(chǎn)出量是k*f'(k*)。因而，如果資本獲得其邊際產(chǎn)品，平衡增長路徑上分配給資本的總收入份額是k*f'(k*)/f(k*)或ak(k*)。(儲蓄率的產(chǎn)出彈性，ak(k*)較小意味著實際投資曲線更彎曲。結(jié)果，曲線的向上移動只會把它與持平投資線的交點向上移出一點；及k*的變化對y*產(chǎn)生較小的影響)。4、收斂速度k怎樣快地趨向k*。我們知道k是由k決定的，因為k=sf(k)-(n+g+5)k。因此，可寫出k=k(k)。當(dāng)k趨于k*，k趨于0。在k=k*附近，k(k)的一階泰勒展開式的近似值為：心［些dk設(shè)人表示-丑*|*，那么，上式可變?yōu)椋篸kk=k*kw-X(k(t)-k*)上式表示，在平衡增長路徑附近，k大致同k-k*的距離成比例的速度趨向k*，即k(t)-k*的增長率大致不變且等于-X，這意味著(微分方程解)：k(t)wk*+e-Xt［k(0)—k*］，其中k(0)是k的初始值。要求出X？，對k=sf(k)-(n+g+8)k求關(guān)于k的微分，并且在k=k*處所形成的表達式取值，得到：X=-3k(k)|~~dk k=k*=-[sf(k*)-(n+g+8)]=(n+g+8)-sf(k*)(n+g+8)k*f(k*)=(n+g+8) f(k*)=[1-以(k*)](n+g+8)K因此，k以速率[1-a(k*)](n+g+8)收斂于其平衡增長路徑值。同樣y以k趨向k*的K速率趨向y*，即y(t)-y*牝e永［y(0)—y*］。(假定n+g+8w6%，即nW1%-2%，gw1%~2%，即用每個工人的平均產(chǎn)出的增長率，8w3%~4%，ak(k*)=1/3nX=4%，k與y每年走完其各自k*與y*的剩余距離的4%，且大致花18年的時間走完與其平衡增長路徑值的一半距離)索洛模型的核心結(jié)論是：如果在市場中資本所要求的報酬是其對產(chǎn)出的貢獻，那么，物質(zhì)資本積累的變化并不能解釋世界范圍的經(jīng)濟增長的顯著部分或國家間的收入差別。例如，從直接方式看：如果兩個經(jīng)濟間每工人平均產(chǎn)出的差異為X倍，那么兩個經(jīng)濟間每工人平均產(chǎn)出對數(shù)的差為lnX，由于每工人平均產(chǎn)出關(guān)于每工人平均資本的彈性是ak,每工人平均資本對數(shù)必須有數(shù)量為(mX)/ak的差距。那么，每工人平均資本(k)的差異為e(lnX"aK或X1/aK｛由該式得到：(AX/X)/(AK/K)=a廣lnXwAX/X，InKwAK/K，如果X=10倍，ak=M3，那么，k差異為1000倍，這是不現(xiàn)實的。｝。從間接方式看，由于模型無法依據(jù)每工人平均資本的差異來解釋每工人平均產(chǎn)出的較大的變化，因此，考慮資本

所需要的差額意味著資本報酬率的巨大差異(盧卡斯，1990)。如果市場是競爭性的，資本的報酬率等于其邊際產(chǎn)品f'(k)減去折舊5。用柯布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)來說明這一點，即f(k)=ka,產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性為a，資本的邊際產(chǎn)品為：f'(k)=akaT=a暨一昨，即資本的邊際產(chǎn)品關(guān)于產(chǎn)出的彈性為-(1-a)/a。如果a=1/3，每個工人平均產(chǎn)出的10倍的差額來源于每個工人平均資本的差異，這意味著資本的邊際產(chǎn)品的100倍的差異(現(xiàn)實并不存在這種報酬率差異的證據(jù))。因此，每個工人平均實物資本的差異無法說明我們所觀察到的每個工人平均產(chǎn)出差異，或者我們所觀察到的每個工人平均產(chǎn)出差異能由每個工人平均實物資本的差異來解釋。當(dāng)然，索洛模型中，將每個工人平均產(chǎn)出變化的其他潛在來源是勞動的有效性。但這變量是外生的。A是什么？是雜物袋。五、經(jīng)驗性應(yīng)用在索洛模型中，第個工人平均產(chǎn)出的長期增長只依存于技術(shù)進步。但短期增長或者來源于技術(shù)進步或者來源于資本積累。1、增長因素分析法Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))dY(t)

dK(t)dY(t)

dK(t)K(t)+dY(t)

dL(t)L(t)+dY(t)

dA(t)A(t)(t)K(t)dY(t)K(t)L(t)dY(t)L(t)A(t)dY(t)A(t)—-=—————— —— + ————-(t) Y(t)dK(t)K(t)Y(t)dL(t)L(t)Y(t)dA(t)A(t)=a(t)^^+a(t)—+R(t)K K(t) LL(t)a(t)+a(t)=1Y(t)L(t) ,、「K(t)L(t)i^而-函=aKU可-面]+R(t)其中，R(t)是索洛剩余。上式是指每個工人平均產(chǎn)出的分解為每個工人平均資本的增長的貢獻與剩余項一索洛殘值，它有時被解釋為對技術(shù)進步貢獻的度量。2、收斂性鮑默爾(1986)檢驗16個工業(yè)化國家間由1870-1978年的收斂性模型，如下：TOC\o"1-5"\h\z、Y、Y ,Yln[(-) ]-ln[(-) ]=a+b[(-) ]+.Ni,1978 Ni,1870 N八⑻。 i上式中，如果b為負(fù)，則存在收斂性，否則不存在收斂性。六、環(huán)境與經(jīng)濟增長1、自然資源與土地：一種基本情形:Y(t)=K(t)aR(t)PT(t)y[A(t)L(t)]1-a-fMa>0,p>0,y>0,a+p+y<1其中，R表示生產(chǎn)中可利用的資源，T表示土地數(shù)量同樣，K(t)=sW)-6K(t),L(t)=nL(t),M)=gA(t)。由于土地數(shù)量是固定的，則T(t)=0，資源稟固定及在生產(chǎn)中被利用，資源使用必定會最終下降，則R(t)=-bR(t)，b>0。由于在生產(chǎn)函數(shù)中資源與土地的出現(xiàn)意味著K/AL不會收斂于某一值。考慮到資本運動方程：K(t)=sY(t)-6K(t)，意味著K的增長率為：￡({=sY^t)一6，為使k的增長率不變，Y/K必定不變，那么，Y與K的增長率必K(t) K(t)定相等。對Y(t)=K(t)aR(t)PT(t)y[A(t)L(t)]l-a-6-y兩邊