第五章-一維定態(tài)問題

§5-5一維定態(tài)問在勢場V(r)中運動的粒子的薛定諤方程：. 3 力2 C房危&,t)=[-寸V2+V&)帥(r,t)，3t 2m對應(yīng)定態(tài)薛定諤方程：方2[-二V2+V(r)]w(r)=印(r)，2m(三維)力2d2[-:__T+V3)帥⑴=理3)，2mdx2(一維)用定態(tài)薛定諤方程來處理一些一維問題，量子體系的許多特征都可以在這些比較>0>0 （沿X方向）（a,c）jy>束縛其中簡單的問題中體現(xiàn)出來。一勢能曲線勢能是保守力場中只與位置相關(guān)的函數(shù)。勢能曲線給出了一個系統(tǒng)的勢能分布及描繪了保守力的分布。保守力=勢能的負值d5=-/dX區(qū)間 志Ep F（0,a）<0勢阱（a:不受力的平衡位置）：粒子將被0 <0 （反x方向）$/） >0 <0 （反X方向）勢壘（c：不穩(wěn)定平衡位置）：粒子易于 一）*（c,d） <0 >0 （沿，方向）

離開平衡位置E0=離開平衡位置E0=Ek+Ea粒越該，量恒- 在，：并若子過勢能守要E=E+EanEk<0 °所以，壘bd。研究一個量子體系(如氫原子，金屬中的自由電子的運動，雙原子分子，原子核的結(jié)構(gòu)，一個原子核與另一核的相互碰撞、散射等)，幾乎都可以從體系的能量關(guān)系出發(fā)進行分析，而繞開相互作用的力，研究一個波動的微觀粒子在一個勢場中運動規(guī)律。這就要解粒子在勢場中運動的薛定諤方程，得出相應(yīng)的運動規(guī)律二無限深方勢阱離散譜(1)無限深方勢阱

粒子處在無限深方勢阱中0,8.(0<x粒子處在無限深方勢阱中0,8.(0<x<a)3W0或xNa)(5.65)?勢阱外勢阱壁無限高在勢阱壁上及勢阱外波函數(shù)為零（粒子不可能穿透無限高的勢阱壁）w(x)=0. (xW0或xNa)?勢阱內(nèi)當(dāng)0<x<a時，一維定態(tài)薛定諤方程可化為生W+四=0.dx2 力2(5.66)令 \2mEk=，

方(5.67)則方程(5.66)的解可表示為W(x)=Asin(kx+5),(5.68)其中A,k和5是待定常量：A由歸一化條件確定，k和5由邊條件確定。?束縛態(tài)邊條件根據(jù)薛定諤方程所提出的關(guān)于波函數(shù)連續(xù)性的要求，勢阱內(nèi)粒子的波函數(shù)，必須滿足如下的邊界條件：W(0)=0,w(a)=0-(5.69)i.e.邊條件：W(0)=Asin(kx+5) =Asin(5)=0,5=0；W(a)=Asin(kx+5) =Asin(ka)=0,ka=n丸， (n=1,2,3,…)(5.70)我們舍去了n=0的情況，因為若n=0，必有W三0，沒有物理意義。?能量量子化和零點能由式(5.67)k=、2，可得利E=力2k2,(因為k=n兀/a)— 2m方2兀2n2. (n=1,2,3,..?)2ma2(5.71)能量本征值或能級能量量子數(shù)?當(dāng)粒子被束縛在勢阱中時，體系的能量是量子化的，即所構(gòu)成的能譜是離散的?粒子的最低能級 基態(tài)的能量E1A0，即粒子具有零點能。經(jīng)典物理中粒子的基態(tài)能量可為零。?能量本征函數(shù)及其歸一化J與能量本征值可相應(yīng)的波函數(shù)（式（5。71）說明，只有當(dāng)能量取離散值En時，相應(yīng)的波函數(shù)％才是滿足邊條件的、物理上可接受的。）

n兀xv(x)=Asin. (0<x<a)(5.72)利用歸一化條件fa0(5.73)A=；3.取A為實數(shù)，得Va?歸一化的能量本征函數(shù)—sia—sia0.?nnx、

sin(),a(0<x<a)(5.74)能級n=1,能級n=1,2,3,4的波函數(shù)vn以及3。概率密度|vn|2見圖53。?能量本征函數(shù)的正交性對于不同能級的波函數(shù)v和V，由式（5.mn

74）可得+3 a=.m兀心P.n兀心iJ-?m叩ndT=J0；aSin（a）.、；a頑a"usingusing-2sin以sinP=cos（以+Q）-cos（以一。））jWm叩ndT=0. （m豐n）（5.75）波函數(shù)W和W互相正交mn引入克羅內(nèi)克符號引入克羅內(nèi)克符號5mn5mn5mn0.（5.76）一維無限深方勢阱中粒子波函數(shù)一一能量本征函數(shù)的正交歸一性表為

Wm叩n血=8mn(5.77)|^u)l2i n=4AAA/\_X|歐3(Z)|2] 〃=3圖5-|歐3(Z)|2] 〃=3上述積分遍及粒子所能到達的空間。?節(jié)點（除端點工一°和x-a外，波函數(shù)為零的點）量子態(tài)n值節(jié)點數(shù)TOC\o"1-5"\h\z基態(tài) 1 0第1激發(fā)態(tài) 2 1第k激發(fā)態(tài) n—1) k才巴體系看成直線上的駐波： 節(jié)點越多波長越短A .頻率越高能量越高?！?駐波不形成粒子流的，總有j=0.這很自然：在波函數(shù)為實數(shù)的情況下，由于W*=w，概率流密度j總是為零的。對于一維定態(tài)，當(dāng)粒子處在束縛態(tài)時，可以證明能量本征函數(shù)具有常數(shù)相位，也總有j=0.若粒子處在散射態(tài)，例如自由粒子，無上述結(jié)論。二線，性諧振子(1)線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程I>量子力學(xué)中的重要物理模型受微小擾動的物理體系：分子和固體晶格等看成是諧振子系統(tǒng)發(fā)射電磁波的物質(zhì)：諧振子的集合量子場論中的場量子化：采用諧振子模型。線性諧振子或一維諧振子體系在一維空間中運動的粒子的勢能為V(x)=1Kx2=1m<?2x2，2 2(5.78)其中①是常量(振動角頻率)，K諧振子的勁度系數(shù)，m諧振子的質(zhì)量，K.w—， ■\:m(5.79)在量子力學(xué)中，將式(5.78)代入式[-:2d2+V(x)W(x)-硼(x) (一維)2mdx2得線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為方2d2 1(- +m①2x2)V(x)—Ev(x),項dx2Z(5.80)它是一個變系數(shù)二階常微分方程，可以精確求解。為簡潔起見，引進無量綱的參量&和元g—axa—:mw/h，(5.81)

(5.82)則線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程(5.80)化d2V+(人一&2)W=0.(5.83)(5.(2)波函數(shù)甲在&T土8時的漸近行為f 入=2E仿3(與&2=以2%2=m3x2/方相比)可以略去，方程(5.83)可近似表達為d2

d&2(5.84)其解(即方程(5.83)在&t±oo時的漸近解)是W?e±L/2O嚴格的諧振子勢是一個無限深的勢阱，只存在束縛態(tài)g—?±00時) —?0?(5.85)因此在上述漸近解中應(yīng)舍棄W~廣2/2解：\|/? 「2/2&T±8時)* e -(5.86)cP由此，方程 W+Q-&2)w=。的解為W=廠2/2u(S>)(5.87)u(g)=?(3)厄米多項式將解(5.87)代入方程(5.83)，得到u(g)應(yīng)的厄米微分方程d2 “du一及一u+(人一1)u=0.陌底*(5.88)?一般情況下，厄米微分方程的解是一個無窮級數(shù)，它在&T±8時的漸近解是u(&)也2，V不能滿足束縛態(tài)邊條件、?只有u(g)中斷為一個多項式，才能保證束縛態(tài)邊條件的成立，可以證明，級數(shù)只包含有限項的條件是.為奇數(shù)*—1=2n. (n=0,1,2,)(5.89)這時方程(5.88)有一個多項式解-厄米多項式TOC\o"1-5"\h\z.、 e,一、 dnu(&)=H(&)=(—1)ne&2 e-&2n dqn ,(5.90)前幾個：H0(q)=1，H蒞)=2&，H2&)=4&2—2，H3(&)=癸3—12g,H4&)=16g4—48g2+12，H5(g)=32g5—160g3+120g.(4)能量本征值和零點能?能量本征值人二2E/力3人-1=2 (n=0,1,2,)合并有1_E=E=(n+)加, (n=0,1,2,…)n2(5.91)說明使u(g)中斷為一個多項式的要求，就是對諧振子的能量E有一定的限制 線性諧振子的能量只能取離散值。振動能級是均勻分布的，兩相鄰能級間的間隔為*3〃'3En+1-En=扁；(5.92)?基態(tài)能量(零點能)(5.93)?零點能的實驗證明?光被晶體散射的實驗：當(dāng)溫度趨于絕對零度時，散射光的強度趨于某一個不為零的極限值。這說明，即使在絕對零度，原子仍有零點振動。?正常沸點只有幾開的液體4He和液體3He，都具有顯著的零點能效應(yīng)。例如，在常壓下，即使溫度降低到了絕對零度附近，液體氦也不會變成固體。(5)能量本征函數(shù)和宇稱對應(yīng)于不同的諧振子能量E/定態(tài)薛定諤方程方2d2 1(- +m①2x2)w(x)=Ew(x)2mdx22有不同的解W(x).n?正交歸一的定態(tài)波函數(shù)為Wn(x)=Anef2x2/2Hn(ax),(5.93)其中a=：「二， a=,塑.n￥2nn!擺 "[:力? 定態(tài)波函數(shù)和概率密度分布(圖5-4和圖5-5)?定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱當(dāng)n為偶數(shù)時，甲n(-x)=wn(x)，諧振子處在偶宇稱態(tài);

~0.6圖5-4線性諧振子的波函數(shù)~0.6圖5-4線性諧振子的波函數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時，寸n（-w=-wn（%），諧振子處在奇宇稱態(tài)。這是由于勢能函數(shù)V（x）在空間反演下的不變性V（-%）=V（%）-?經(jīng)典力學(xué)概率密度分布線性諧振子在%=0處速度最大，所以粒子在該處停留的時間最

圖5-6n=圖5-6n=11時的概率密度分布?量子力學(xué)位置概率密度當(dāng)n較小時，線性諧振子的位置概率密度分布與上述經(jīng)典結(jié)果完全不同；隨著量子數(shù)n的增大，相似性才逐漸增加。如圖5-6所示，當(dāng)n=11時量子和經(jīng)典的結(jié)果在平均上已比較符合。但量子諧振子的|w(x)|2是迅速振蕩的。?量子效應(yīng)即使在大量子數(shù)情況下，線性諧振子的位置概率密度分布，在經(jīng)典禁區(qū)中(即兩端豎直虛線以外)的概率密度仍不為零。

? 雙原子分子的轉(zhuǎn)動和振動這是包含兩個原子的系統(tǒng)：有兩個原子核，每一個原子核都被一群電子所圍繞著。兩個核的質(zhì)心相距r,與平衡距離r0始終十分接近。在經(jīng)典力學(xué)中始終無法理解這種平衡距離的存在：因為一個和核的電子群受該核吸引，又受另一核的電子群的排斥，卻能保持穩(wěn)定，無法理解。量子力學(xué)可處理這個