2021高中人教A版數學必修第2冊教學用書：6.4.1平面幾何中的向量方法-向量在物理中的應用舉例

6.4平面向量的應用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應用舉例素養(yǎng)目標·定方向素養(yǎng)目標學法指導1．掌握用向量方法解決簡單的幾何問題、力學問題等一些實際問題.(直觀想象)2．體會向量是一種處理幾何問題、物理問題的重要工具.(數學抽象)3．能夠將幾何問題和物理問題轉化為平面向量問題.(數學建模)4．培養(yǎng)運用向量知識解決實際問題和物理問題的能力.(數據分析)1．向量是工具，實現這一工具應用的關鍵是運算，平行與相交是平面幾何中的重要線性關系，線性運算常用于解決平行(共線)問題，數量積運算常用于解決相交問題.2．凡是涉及平行的問題都可以用數乘運算處理，而與相交有關的夾角、垂直、長度等問題則可以用數量積運算處理.其中基底法和坐標法能實現形與數的相互轉化，體現的是數形結合思想.3．速度、位移是向量，與線性運算掛鉤；功是數量，與數量積運算相連.凡涉及速度、位移均可以考慮用線性運算工具(向量加法的平行四邊形法則)，而功的問題則直接運用數量積處理.必備知識·探新知知識點1用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.知識點2向量在物理中的應用(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等.(2)向量的加減法運算體現在一些物理量的合成和分解中.(3)動量mv是向量的數乘運算.(4)功是力F與位移s的數量積.關鍵能力·攻重難題型探究題型一向量在平面幾何證明問題中的應用典例1如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F，連接DP，EF，求證：DP⊥EF.[證明]法一：設正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，∴eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))·(eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0．∴eq\o(DP,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即DP⊥EF.法二：設正方形的邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標系，設P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以eq\o(DP,\s\up6(→))＝(x，x－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1－x，x)，由于eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq\o(DP,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即DP⊥EF.[歸納提升]向量法解決平面幾何問題的兩種方法用向量法解決平面幾何問題，一般來說有兩種方法：(1)基底法：選取適當的基底(盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質計算；(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉化為代數運算.一般地，題目中已建好坐標系或易建坐標系的問題適合用坐標法.【對點練習】?如圖所示，在正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.[解析]方法一：設eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(b＋eq\f(a,2))·(－a＋eq\f(b,2))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0．故eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.方法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2).因為eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.題型二平面幾何中的長度問題典例2如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2．求對角線AC的長.[分析]把eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))看作一組基底，表示出eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))，利用|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，可求得eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值，進而求出|eq\o(AC,\s\up6(→))|.[解析]設eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，而|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).[歸納提升]利用向量法解決長度問題的策略向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點選擇基底，向向量的數量積轉化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標系，確定相應向量的坐標，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).【對點練習】?已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設AC＝m，BC＝n.(1)若D為斜邊AB的中點，求證：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E為CD的中點，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示).[解析](1)證明：以C為坐標原點，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0).∵D為AB的中點，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(m2＋n2)，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)∵E為CD的中點，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，設F(x,0)，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x，－m).∵A，E，F三點共線，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→)).即(x，－m)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))故λ＝eq\f(4,3)，即x＝eq\f(n,3)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2)，即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).題型三向量在物理中的應用典例3(1)在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°(如圖)，求重物平衡時，兩根繩子拉力的大小.(2)已知兩恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一質點，使之由點A(20,15)移動到點B(7,0)，求F1，F2分別對質點所做的功.[分析](1)向量在解決涉及速度、位移等物理量的合成與分解時，實質就是向量的線性運算.(2)物理上力的做功就是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一個實數，它可正可負，也可以為零.力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，它的實質是向量F與s的數量積.[解析](1)如圖，兩根繩子的拉力之和eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OG,\s\up6(→))|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，則∠OAC＝90°，從而|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·cos30°＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·sin30°＝150(N)，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝150(N).答：與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.(2)設物體在力F作用下的位移為s，則所做的功為W＝F·s.∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15).∴W1＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦).[歸納提升]用向量方法解決物理問題的“三步曲”【對點練習】?(1)河水自西向東流動的速度為10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的速度為10eq\r(3)km/h，求小船的實際航行速度.(2)兩個力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一質點，使該質點從點A(20,15)移動到點B(7,0)(其中i、j分別是與x軸、y軸同方向的單位向量).求：①F1、F2分別對該質點所做的功；②F1、F2的合力F對該質點所做的功.[解析](1)設a，b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內一點O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作矩形OACB，連接eq\o(OC,\s\up6(→))，如圖，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，并且eq\o(OC,\s\up6(→))即為小船的實際航行速度.∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋b2)＝20(km/h)，tan∠AOC＝eq\f(10\r(3),10)＝eq\r(3)，∴∠AOC＝60°，∴小船的實際航行速度為20km/h，按北偏東30°的方向航行.(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j，①F1所做的功W1＝F1·s＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；F2所做的功W2＝F2·s＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23．②因為F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F所做的功W＝F·s＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5．易錯警示做功問題因對角度認識不清而致錯典例4如圖所示，某人用1.5m長的繩索，施力25N，把重物沿坡度為30°的斜面向上拖了6m，拖拉點距斜面的垂直高度為1.2m.求此人對物體所的功.[錯解]記沿斜面向上方向的單位向量為e，則位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×eq\f(\r(3),2)＝75eq\r(3)(J)，所以此人對物體所做的功為75eq\r(3)J.[錯因分析]要求此人對物體所做的