彈性力學(xué)講義例題

彈性力學(xué)講義例題第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六解:首先考察給定的應(yīng)力函數(shù)Φ是否滿足相容方程。代入后滿足，說明該函數(shù)可作應(yīng)力函數(shù)。當(dāng)體力不計(jì)時，將Φ代入應(yīng)力分量公式可得：第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六當(dāng)時，考察左、右兩端的分布情況：左端右端應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)時應(yīng)用圣維南原理能解決各種偏心拉伸的問題。因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載P的偏心距為e。則：第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例題3-2（習(xí)題3-7）設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計(jì)，圖3-2，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。圖3-2第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六解:

本題是較典型的例題,已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù)Φ,可按下列步驟求解。1.將Φ代人相容方程,顯然是滿足的。2.將Φ代入應(yīng)力關(guān)系式,求出應(yīng)力分量

3.

考察邊界條件:主要邊界y=±h/2上,應(yīng)精確滿足式(2-15),第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六在次要邊界x=O上,只給出了面力的主矢量和主矩,應(yīng)用圣維南原理,用三個積分的邊界條件代替。注意x=O是負(fù)x面,圖3-5中表示了負(fù)x面上σx

和τxy

的正方向,由此得

第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六最后一個次要邊界條件(x=l上),在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下,是必然滿足的,故不必再校核。代入應(yīng)力公式,得

第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例題3-3（習(xí)題3-11）擋水墻的密度為ρ1,厚度為b,圖3-6,水的密度為ρ2,試求應(yīng)力分量。

第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六解:

用半逆解法求解。

1.假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。因?yàn)樵趛=-b/2

邊界上,y=b/2邊界上,所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)為2.推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由推測Φ的形式,

第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六3.由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將Φ代得

代人Φ,即得應(yīng)力函數(shù)的解答,其中巳略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。

第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六4.由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。將φ代人式(2-24),注意體力

，求得應(yīng)力分量為

第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六5.考察邊界條件:在主要邊界y=±

b/2上,有第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六已知

試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)?解:

作為應(yīng)力函數(shù),必須首先滿足相容方程,

例題3-4將Φ代入,(a)其中A=0,才可成為應(yīng)力函數(shù);(b)必須滿足3(A+E)+C=0,才可成為應(yīng)力函數(shù)。

第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例題3-5圖3-7所示的矩形截面柱體,在頂部受有集中力F和力矩M=Fb/2的作用，試用應(yīng)力函數(shù)

求解圖示問題的應(yīng)力及位移,設(shè)在A點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。

圖3-7第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六解:

應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解: (1)校核相容方程 ,滿足。

(2)求應(yīng)力分量，在無體力時，得

(3)考察主要邊界條件,

均己滿足。

考察次要邊界條件,在y=0上,

第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例題3-6矩形截面的簡支梁上,作用有三角形分布荷載,圖3-8

試用下列應(yīng)力函數(shù)

求解應(yīng)力分量。圖3-8第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六解:

應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解:(1)將Φ代人相容方程,第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例題3-7矩形截面的柱體受到頂部的集中力和力矩的作用，