24.3-正多邊形與圓講義-教師版

24.3正多邊形和圓【學(xué)習目標】1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系。2.知道正多邊形的對稱性。了解用量角器等分圓心角來等分圓，從而做出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形。3.會用圓規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形，能作圓內(nèi)接正三角形、正八邊形、正十二變形。知識點一正多邊形和圓的關(guān)系正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形正多邊形與圓的關(guān)系

把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．

【例題】如圖所示，六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，且AB=BC=CD=DE=EF=FA.求證：六邊形ABCDEF為正六邊形?！窘馕觥颗袛嘁粋€圓內(nèi)接多邊形是正多邊形，關(guān)鍵是判斷多邊形的各頂點都是等分圓的點即可【解】∵六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,且AB=BC=CD=DE=EF=FA.∴弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EF=弧FA∴A.B.C.D.E.F六等分⊙O∴六邊形ABCDEF為正六邊形【變式1】正多邊形的中心角是36°，那么這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．10 B．8 C．6 D．5【考點】正多邊形和圓．【分析】設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是n，再根據(jù)正多邊形的中心角是36°求出這個正多邊形的邊數(shù)即可．【解答】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是n，∵正多邊形的中心角是36°，∴=36°，解得n=10．故選A．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】正八邊形的中心角是（）A．45° B．135° C．360° D．1080°【考點】正多邊形和圓．【分析】根據(jù)中心角是正多邊形相鄰的兩個半徑的夾角來解答．【解答】解：正八邊形的中心角等于360°÷8=45°；故選A．【點評】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是牢記中心角的定義及求法．知識點二正多邊形的有關(guān)概念與計算正多邊形的有關(guān)概念

①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．

②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【例題】有一個亭子，它的地基是半徑為8m的正六邊形，求地基的周長和面積．（結(jié)果保留根號）【考點】正多邊形和圓．【分析】連接OB、OC求出圓心角∠BOC的度數(shù)，再由等邊三角形的性質(zhì)即可求出正六邊形的周長；過O作△OBC的高OG，利用等邊三角形及特殊角的三角函數(shù)值可求出OG的長，利用三角形的面積公式即可解答．【解答】解：連接OB、OC；∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC==60°，∴△OBC是等邊三角形，∴BC=OB=8m，∴正六邊形ABCDEF的周長=6×8=48m．過O作OG⊥BC于G，∵△OBC是等邊三角形，OB=8m，∴∠OBC=60°，∴OG=OB?sin∠OBC=8×=4m，∴S△OBC=BC?OG=×8×4=16，∴S六邊形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．【點評】本題考查的是正六邊形及等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，作出輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式】已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．【分析】根據(jù)正六邊形的半徑等于邊長即可得出正六邊形的周長，再由三角函數(shù)求出邊心距，即可求出正六邊形的面積．【解答】解：∵正六邊形的半徑等于邊長，∴正六邊形的邊長AB=OA=a；正六邊形的周長=6AB=6a；∵OM=OA?sin60°=a，正六邊形的面積S=6××a×a=a2．【點評】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積的計算，解答此題的關(guān)鍵是熟知正六邊形的邊長等于半徑．知識點三正多邊形的畫法要作半徑為R的正n邊形，只要把半徑為R的圓n等分，然后順次連接各等分點即可。正三角形的畫法第一步：用圓規(guī)畫一個圓，

第二步：半徑不變，把圓規(guī)的針腳放在圓周上任意一點P畫弧與圓交于兩點A、B，

第三步：半徑不變，把圓規(guī)的針腳放放在點A處再畫畫弧與圓交于兩點P、Q(P是第二步中的P)，

第四步：以A、B、Q為頂點作△ABQ，則△ABQ即為圓內(nèi)接等邊△。正四邊形的畫法取已知圓O上任一點A，以A為一個分點把⊙O六等分，分點依次為A、B、C、D、E、F。分別以A、D為圓心，AC、BD為半徑作圓交于G，以A為圓心，OG為半徑作圓，交⊙O于M、N，則A、M、D、N即四等分⊙O的圓周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因為是等邊三角形),以此類推,可得到六等分點可參考圖片正五邊形的畫法以O(shè)為圓心，r為半徑畫圓，并作互相垂直的直徑MN和AP。平分半徑ON，得OK=KN。以K為圓心，KA為半徑畫弧與OM交于H，AH即為正五邊形的邊長。④以AH為弦長，在圓周上截得A、B、C、D、E點，正七變形的畫法①以定長R為半徑作圓，并過圓心O作互相垂直的縱橫兩條直徑MN、HP.

②過N點任作一射線NS，用圓規(guī)取七等分，把端點T與M連結(jié)起來，然后過NT上的各點推出MT的平行線，把MN七等分.

③以M為圓心，MN為半徑畫弧，和PH的延長線相交于K點，從K向MN上各分點中的偶數(shù)點或奇數(shù)點（圖中是1、3、5、7各點）引射線，與交于A、B、C、M.再分別以AB、BC、CM為邊長，在圓周上從A點（或M點）開始各截一次，得到其他三點，把這些點依次連結(jié)起來，即得近似的正七邊形.

正八邊形的畫正九邊形的畫法內(nèi)接9邊形畫法：先畫一個圓。再畫兩個相互顛倒的內(nèi)接等邊三角形。再把6角星的對角兩兩相連。得到6個與兩個等邊三角形的底邊的6個交點。選擇每一個交點為圓心，到圓內(nèi)部正六邊形的底邊的任意一端點的距離為半徑，畫圓，與大圓產(chǎn)生2個交點。把所有交點畫出來再相連，就得到正九邊形。拓展點一圓內(nèi)接正多邊形的判斷【例題】如圖所示的圓，把⊙O分成相等的6段弧，依次連接各分點得到六邊ABCDEF，下面證明，它是正六邊形．∵AB=BC=CD=DE=EF∴AB=BC=CD=DE=EF又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD∴∠A=∠B同理可證：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A又六邊形ABCDEF的頂點都在⊙O上∴根據(jù)正多邊形的定義，各邊相等、各角相等、六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓．【變式】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接等腰三角形，頂角∠A=360，弦BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB.求證：五邊形AEBCD是正五邊形解：∵△ABC是等腰三角形，頂角∠A=360，∴∠ABC=720，∠ACB=720，又弦BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠BAC=360∴五邊形AEBCD是正五邊形拓展點二圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)計算【例題】已知，如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的外接圓半徑R，邊心距γ6，面積S6．【分析】連接OA，OB，過點O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等邊三角形，繼而可得正六邊形的外接圓半徑R，然后由勾股定理求得邊心距，又由S正六邊形=6S△ABC求得答案．【解答】解：連接OA，OB，過點O作OG⊥AB于G，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=6，即R=6，∵OA=OB=6，OG⊥AB，∴AG=AB=×6=3，∴在Rt△AOG中，r6=OG=cm，∴S6=×6×6×3=54cm2．【點評】此題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式】如圖，以正六邊形ABCDEF的邊AB為邊，在形內(nèi)作正方形ABMN，連接MC．求∠BCM的大?。痉治觥俊鰾CM是等腰三角形，只要求出頂角∠CBM就可以，這個角是正六邊形與正方形內(nèi)角的差．【解答】解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠ABC=120°，AB=BC．∵四邊形ABMN為正方形，∴∠ABM=90°，AB=BM．（2分）∴∠MBC=120°﹣90°=30°，BM=BC．∴∠BCM=∠BMC．∴∠BCM=×（180°﹣30°）=75°．（5分）【點評】本題就是一個求正多邊形的內(nèi)角的問題，注意到△BCM是等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵．拓展點三與圓內(nèi)接正多邊形有關(guān)的證明【例題】已知⊙O和⊙O上的一點A．（1）作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD和內(nèi)接正六邊形AEFCGH；（2）在（1）題的作圖中，如果點E在弧AD上，求證：DE是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的作法畫出圖形即可；（2）先求出∠DOE的度數(shù)，進而可得出結(jié)論．【解答】（1）解：作法：①作直徑AC；②作直徑BD⊥AC；③依次連結(jié)A、B、C、D四點，四邊形ABCD即為⊙O的內(nèi)接正方形；④分別以A、C為圓心，以O(shè)A長為半徑作弧，交⊙O于E、H、F、G；⑤順次連結(jié)A、E、F、C、G、H各點．六邊形AEFCGH即為⊙O的內(nèi)接正六邊形．（2）證明：連結(jié)OE、DE．∵∠AOD==90°，∠AOE==60°，∴∠DOE=∠AOD﹣∠AOE=90°﹣60°=30°．∴DE為⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一邊．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，熟知圓內(nèi)接正四邊形及正六邊形的作法是解答此題的關(guān)鍵．【變式】如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD=5cm，求⊙O的半徑R．【分析】首先連接OB，OC，OD，由等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，可求得∠BOC，∠BOD的度數(shù)，繼而證得△COD是等腰直角三角形，繼而求得答案．【解答】解：連接OB，OC，OD，∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，∵OC=OD，∴∠OCD=45°，∴OC=CD?cos45°=5×=5（cm）．即⊙O的半徑R=5cm．【點評】此題考查了正多邊形與圓以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．拓展點四實際應(yīng)用題【例題】如圖①有一個寶塔，他的地基邊緣是周長為26m的正五邊形ABCDE（如圖②），點O為中心．（下列各題結(jié)果精確到0.1m）（1）求地基的中心到邊緣的距離；（2）已知塔的墻體寬為1m，現(xiàn)要在塔的底層中心建一圓形底座的塑像，并且留出最窄處為1.6m的觀光通道，問塑像底座的半徑最大是多少？【分析】（1）構(gòu)造一個由正多邊形的邊心距、半邊和半徑組成的直角三角形．根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到半邊所對的角是=36°，再根據(jù)題意中的周長求得該正五邊形的半邊是26÷10=2.6，最后由該角的正切值進行求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論、塔的墻體寬為1m和最窄處為1.6m的觀光通道，進行計算．【解答】解：（1）作OM⊥AB于點M，連接OA、OB，則OM為邊心距，∠AOB是中心角．由正五邊形性質(zhì)得∠AOB=360°÷5=72°．又AB=×26=5.2，∴AM=2.6，∠AOM=36°，在Rt△AMO中，邊心距OM=≈3.6（m）；（2）3.6﹣1﹣1.6=1（m）．答：地基的中心到邊緣的距離約為3.6m，塑像底座的半徑最大約為1m．【點評】本題主要考查三角函數(shù)應(yīng)用，解決簡單的實際問題．

課后鞏固作業(yè)1．一元錢硬幣的直徑約為24mm，則用它能完全覆蓋住的正六邊形的邊長最大不能超過（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm2．如圖，已知點A，B，C，D，E，F(xiàn)是邊長為1的正六邊形的頂點，連接任意兩點均可得到一條線段．在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，取到長度為的線段的概率為（）A． B． C． D．3．已知圓的半徑是2，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（）A．3 B．9 C．18 D．364．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A．2， B．2，π C．， D．2，5．如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點G、H，則的值是（）A． B． C． D．26．如圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個扳手的開口a的值應(yīng)是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm7．已知正三角形的邊長為12，則這個正三角形外接圓的半徑是（）A． B． C． D．8．已知等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑和高的比是（）A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：39．有一個邊長為50cm的正方形洞口，要用一個圓蓋去蓋住這個洞口，那么圓蓋的直徑至少應(yīng)為（）A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm10．）如圖，在正六邊形ABCDEF中，△BCD的面積為4，則△BCF的面積為（）A．16． B．12 C．8 D．6二．填空題（共5小題）11．如圖，將正六邊形ABCDEF放在直角坐標系中，中心與坐標原點重合，若A點的坐標為（﹣1，0），則點C的坐標為．12．已知⊙O的內(nèi)接正六邊形周長為12cm，則這個圓的半經(jīng)是cm．13．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2cm，點P為六邊形內(nèi)任一點．則點P到各邊距離之和為cm．14．如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓