9.1分式及其基本性質(zhì)講解與例題

9.1分式及其基本性質(zhì)1．了解分式產(chǎn)生的背景和分式的概念，理解分式與整式概念的區(qū)別與聯(lián)系．2．了解分式的定義，會(huì)求一個(gè)分式有意義、無(wú)意義、值為零的條件．3．理解分式的基本性質(zhì)及其內(nèi)涵要點(diǎn)，能靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式的變形．4．增強(qiáng)數(shù)學(xué)的符號(hào)感，感受類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)中的巨大作用．1．分式(1)分式及有理式的概念一般地，如果a，b表示兩個(gè)整式，并且b中含有字母，那么式子eq\f(a,b)叫做分式，其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母．分式是兩個(gè)整式相除的一種表達(dá)方式，正如分?jǐn)?shù)可看成兩個(gè)整數(shù)相除的一種表達(dá)方式一樣．理解分式的概念還應(yīng)弄清兩個(gè)問(wèn)題：一是分式是兩個(gè)整式相除的商，那么分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)作用；二是分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分式的分母必須有字母并且不能為0.整式和分式統(tǒng)稱(chēng)為有理式，即有理式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(整式,分式))整式和分式的區(qū)別在于分式的分母中含有字母．因此，在判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式時(shí)，只需看未化簡(jiǎn)的代數(shù)式的分母中是否含有字母即可．【例1－1】在下列代數(shù)式中，哪些是分式？哪些是整式？eq\f(x,3)，eq\f(4,x)，eq\f(y－2,y)，eq\f(y,x－y)，eq\f(ab,2)，eq\f(3,π)，－eq\f(x－y,x＋y).解：分式有：eq\f(4,x)，eq\f(y－2,y)，eq\f(y,x－y)，－eq\f(x－y,x＋y)；整式有：eq\f(x,3)，eq\f(ab,2)，eq\f(3,π).分式是形式定義，判斷一個(gè)代數(shù)式是否為分式，只看形式，不能看化簡(jiǎn)后的結(jié)果．如雖然eq\f(y2,y)化簡(jiǎn)之后為y，但是eq\f(y2,y)是分式．(2)分式有意義、無(wú)意義的條件分式的分母相當(dāng)于除式中的除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即分式eq\f(a,b)有意義的條件是分母b≠0；分式eq\f(a,b)無(wú)意義的條件是分母b＝0.【例1－2】(1)當(dāng)x__________時(shí)，分式eq\f(x－2,x2－4)有意義．(2)當(dāng)x__________時(shí)，分式eq\f(1,x－1)沒(méi)有意義．解析：(1)當(dāng)x2－4≠0，即x≠±2時(shí)，分式eq\f(x－2,x2－4)有意義；(2)當(dāng)x－1＝0，即x＝1時(shí)，分式eq\f(1,x－1)沒(méi)有意義．答案：(1)≠±2(2)＝1使一個(gè)分式有意義或無(wú)意義，只看分母，可令分母等于零，列出方程，求出未知數(shù)的值，若使分式有意義則該字母不等于求出的數(shù)值，若使分式無(wú)意義則該字母等于求出的數(shù)值．(3)分式值為零的條件分式值為零有兩個(gè)條件：一是分子等于零，二是分母的值不為零．兩者必須同時(shí)滿(mǎn)足，缺一不可．【例1－3】已知分式eq\f(x－1,x＋1)的值是零，那么x的值是()．A．－1B．0C．1D．±1解析：由題意知，當(dāng)x－1＝0，x＋1≠0時(shí)，分式的值等于0，因此x＝1.故選C．答案：Ca＝0，且b≠0時(shí)，分式eq\f(a,b)值為0.2．分式的基本性質(zhì)(1)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．即eq\f(a,b)＝eq\f(a·m,b·m)＝eq\f(a÷m,b÷m)(a，b，m都是整式，且m≠0)．(2)理解分式的基本性質(zhì)的注意事項(xiàng)：①性質(zhì)中的a，b，m表示整式．②m≠0，因?yàn)樽帜溉≈凳侨我獾?，所以m有可能等于零，應(yīng)用性質(zhì)時(shí)應(yīng)著重考查m值是否為零．③應(yīng)用基本性質(zhì)時(shí)，要充分理解“都”和“同”這兩個(gè)字的含義，避免犯只乘分子或分母一項(xiàng)的錯(cuò)誤．【例2－1】判斷下列各式中從左邊得到右邊的變形是否正確．(1)eq\f(n,m)＝eq\f(3n,2m)()；(2)eq\f(b,a)＝eq\f(bc,ac)()；(3)eq\f(x－y2,x2－y2)＝eq\f(x－y,x＋y)()；(4)eq\f(2,xy)＝eq\f(4,x2y2)()．解析：(1)中的變換分子、分母不相同；(2)中的分子、分母同乘以字母c，但是題目中無(wú)法確定字母c是否為0，故不一定正確；(3)中的分式有意義，隱含條件x－y≠0，因此變換正確；(4)中的分子的變換與分母的變換不相同，不符合分式的基本性質(zhì)，故錯(cuò)誤．答案：(1)錯(cuò)誤(2)錯(cuò)誤(3)正確(4)錯(cuò)誤解答這類(lèi)問(wèn)題，主要考慮三方面：(1)分子和分母是否進(jìn)行了同樣的乘除；(2)所同乘以(或同除以)的數(shù)(或整式)是否確保不為0；(3)變換前后分式的值是否發(fā)生了變化，只有值不變的才可能正確．【例2－2】填空：(1)eq\f(y,3x)＝eq\f(,3x2y)；(2)eq\f(x,x＋y)＝eq\f(x·,x＋y·)＝eq\f(xy＋x2,)；(3)eq\f(7xy,5x2y)＝eq\f(7,)；(4)eq\f(1,a－b)＝eq\f(,a－b·)＝eq\f(a＋b,).解析：(1)將分式eq\f(y,3x)的分母乘以xy，才能得到3x2y，因此只有分子也同乘以xy，分式的值才能不變；(2)根據(jù)分式的基本性質(zhì)分子分母同時(shí)乘以(x＋y)，值不變，且最后結(jié)果的分子是xy＋x2；(3)分子分母同時(shí)除以xy；(4)分子分母同時(shí)乘以(a＋b)．答案：(1)xy2(2)x＋yx＋yx2＋2xy＋y2(3)5x(4)a＋ba＋ba2－b23．分式的約分(1)約分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去叫做分式的約分．即約分時(shí)分式的分子和分母都同除以分子和分母的公因式．(2)約分的方法：①當(dāng)分子、分母是單項(xiàng)式時(shí)，約去分子、分母的公因式；②當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，要先將分子、分母因式分解，將其轉(zhuǎn)化為因式相乘的形式，然后進(jìn)行約分；③當(dāng)分子或分母的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，一般先把負(fù)號(hào)提到分式本身的前邊．(3)最簡(jiǎn)分式分子與分母只有公因式1的分式，叫做最簡(jiǎn)分式．一個(gè)分式約分的結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或者整式．【例3】約分：(1)eq\f(x2－6x＋9,x2－9)；(2)eq\f(x2－4xy＋4y2,4y2－x2).分析：(1)分子是一個(gè)完全平方式，可以分解，分母符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，也可以分解．(2)分子、分母是多項(xiàng)式，要先將分子、分母因式分解，將其轉(zhuǎn)化為因式相乘的形式，然后進(jìn)行約分，還應(yīng)注意分母中符號(hào)的處理．解：(1)eq\f(x2－6x＋9,x2－9)＝eq\f(x－32,x＋3x－3)＝eq\f(x－3,x＋3).(2)eq\f(x2－4xy＋4y2,4y2－x2)＝eq\f(x－2y2,－x＋2yx－2y)＝－eq\f(x－2y,x＋2y).(1)能熟練地分解因式，是進(jìn)行約分的關(guān)鍵，一般一個(gè)一次多項(xiàng)式，不能提取公因式的話(huà)就不能再分解；二次二項(xiàng)式，且符號(hào)相反，每一項(xiàng)都是平方項(xiàng)，考慮用平方差公式分解；二次三項(xiàng)式，有兩項(xiàng)是平方項(xiàng)，且符號(hào)相同，另外一項(xiàng)是兩個(gè)底數(shù)積的2倍或者2倍的相反數(shù)，考慮用完全平方公式分解．(2)切記約分是對(duì)于分子、分母是乘積形式時(shí)進(jìn)行的變形，分子、分母不是乘積形式的不能進(jìn)行約分．諸如eq\f(ab－1,ac－1)＝eq\f(b－1,c－1)，eq\f(x2＋y,x3)＝eq\f(1＋y,x)，eq\f(a＋x,b＋x)＝eq\f(a＋1,b＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或等于\f(a,b)))都是錯(cuò)誤的．4．分式有意義、無(wú)意義的條件及分式值為零的條件的綜合運(yùn)用分式有意義、無(wú)意義的條件及分式值為零的條件的考查，常與絕對(duì)值、乘方等知識(shí)一起綜合出題，特別是考查分式值為零的題目，在利用分子求出字母的取值后，一定要代入分母中進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否使分母為零，把使分母為零的值舍去．【例4】(1)如果分式eq\f(|a|－2,a－2a＋3)的值為0，則a＝__________；(2)若分式eq\f(x2－9,x2－4x＋3)的值為零，則x的值為_(kāi)_______．解析：分式的值為零的條件是：分子等于零，且分母不等于零．(1)由條件可得|a|－2＝0，且(a－2)(a＋3)≠0，解得a＝－2.(2)由條件可得x2－9＝0，且x2－4x＋3≠0，解得x＝－3.答案：(1)－2(2)－35．分式的求值由已知條件，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，適當(dāng)把分式進(jìn)行變形，然后把已知條件代入變形后的分式，來(lái)求分式的值．若是已知條件是分式的形式，常常把要求值的分式的分子、分母同除以一個(gè)適當(dāng)式子進(jìn)行變形，使要求值的分式出現(xiàn)已知的形式．有的還要把已知條件變形．【例5】已知eq\f(x,y)＝3，求eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－xy＋y2)的值．分析：由已知條件可知y≠0.利用分式的基本性質(zhì)，用y2去除待求式的分子與分母，再將其變形，使之出現(xiàn)條件式eq\f(x,y)，把eq\f(x,y)＝3代入即可求解．解：由題意可知y≠0，eq\f(x,y)＝3，因此eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－xy＋y2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))2＋2\f(x,y)－3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))2－\f(x,y)＋1)＝eq\f(9＋6－3,9－3＋1)＝eq\f(12,7).6．分式基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用分式的變形是多樣的，但無(wú)論哪一種變形，其依據(jù)都是分式的基本性質(zhì)．分式基本性質(zhì)的應(yīng)用主要有以下幾種情況：(1)分式的分子、分母改變符號(hào)的問(wèn)題分式的分子、分母和分式本身的符號(hào)，改變其中任意兩個(gè)，分式的值不變．它是處理分式的分子、分母和它本身的符號(hào)問(wèn)題的主要依據(jù)，在使用時(shí)，可以分為以下三種情況，分列為三條法則：①分式的分子、分母同時(shí)改變符號(hào)，分式的值不變；②分式的分子、分母中有一個(gè)改變符號(hào)，僅當(dāng)分式本身的符號(hào)也改變，分式的值不變；③分式的本身若改變符號(hào)，僅當(dāng)分子、分母中的一個(gè)也改變符號(hào)，分式的值不變．例如，根據(jù)①有eq\f(m,n)＝eq\f(－m,－n)，eq\f(－m,n)＝eq\f(m,－n)，eq\f(m,－n)＝eq\f(－m,n)；根據(jù)②和③，有eq\f(m,n)＝－eq\f(－m,n)，eq\f(m,n)＝－eq\f(m,－n).應(yīng)用這個(gè)法則時(shí)，應(yīng)注意：當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，它們的第一項(xiàng)的符號(hào)并不一定是分子或分母的符號(hào)．因此應(yīng)注意添括號(hào)法則的應(yīng)用．如把分式eq\f(－2x2＋3x－5,x＋5)的分子、分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)時(shí)，應(yīng)有添括號(hào)的步驟，eq\f(－2x2＋3x－5,x＋5)＝eq\f(－2x2－3x＋5,x＋5)，再應(yīng)用法則②，同時(shí)改變分子及分式本身的符號(hào)，則分式的值保持不變，即eq\f(－2x2＋3x－5,x＋5)＝eq\f(－2x2－3x＋5,x＋5)＝－eq\f(2x2－3x＋5,x＋5).又如eq\f(－y3＋y2－1,1－y－y2)＝eq\f(－y3－y2＋1,－y2＋y－1)＝eq\f(y3－y2＋1,y2＋y－1).把分式的分子與分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)的一般方法是：先將分子、分母降冪排列；若分子(或分母)的最高次項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，則將整個(gè)分子(或分母)放入帶有“－”的括號(hào)內(nèi)(注意：放入括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要變號(hào))；再根據(jù)分式的符號(hào)變化法則調(diào)整即可．(2)分式中系數(shù)化整問(wèn)題把分式中的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，只要找各項(xiàng)系數(shù)的最小公倍數(shù)即可．(3)分式中字母倍增問(wèn)題當(dāng)分式中的字母有倍數(shù)變化時(shí)，要分別觀察分子、分母的倍數(shù)變化，方可探究整個(gè)分式的變化．【例6－1】不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含負(fù)號(hào)：(1)eq\f(－5xy,2a)；(2)eq\f(x＋2y,－x＋y)；(3)－eq\f(－ax－3y,－bx).分析：由分式的基本性質(zhì)可得，分式的分子、分母以及分式本身的符號(hào)改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變．(1)需將分子的負(fù)號(hào)去掉，則分式本身的符號(hào)要改變；(2)只改變分母的符號(hào)，則分式本身的符號(hào)也要改變；(3)同時(shí)改變分子和分母的符號(hào)，分式本身不改變符號(hào)．解：(1)eq\f(－5xy,2a)＝－eq\f(5xy,2a).(2)eq\f(x＋2y,－x＋y)＝－eq\f(x＋2y,x＋y).(3)－eq\f(－ax－3y,－bx)＝－eq\f(－ax＋3y,－bx)＝－eq\f(ax＋3y,bx).【例6－2】下列各式從左到右的變形正確的是()．A．eq\f(x＋\f(1,2)y,\f(1,2)x＋y)＝eq\f(2x＋y,x＋2y)B．eq\f(0.2a－b,a＋0.2b)＝eq\f(2a－b,a＋2b)C．－eq\f(x＋1,x－y)＝eq\f(x－1,x－y)D．eq\f(a＋b,a－b)＝eq\f(a－b,a＋b)解析：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式的分子和分母擴(kuò)大相同的倍數(shù)，不能漏乘分子、分母中的任何一項(xiàng)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤．同時(shí)在分式的變形中，還要注意符號(hào)法則，即分式的分子、分母及分式的符號(hào)，只有同時(shí)改變其中的兩個(gè)符號(hào)其值才不變，故C，D兩項(xiàng)也錯(cuò)誤．A項(xiàng)是分式的分子、分母都乘以2得到的，是正確的．故選A．答案：A【例6－3】不改變分式的值，把分式eq\f(\f(4,3)－\f(1,4)a3＋a2,\f(1,2)a2－a＋\f(1,3))中的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，并使次數(shù)最高項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)．分析：分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)的分母的最小公倍數(shù)是12，利用分式的基本性質(zhì)，分式的分子、分母同乘以12，得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(1,4)a3＋a2))×12,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a2－a＋\f(1,3)))×12)＝eq\f(16－3a3＋12a2,6a2－12a＋4)，再利用分式的符號(hào)變化法則，改變分式及分式分子的符號(hào)，結(jié)果不變．解：分式eq\f(\f(4,3)－\f(1,4)a3＋a2,\f(1,2)a2－a＋\f(1,3))中的分子、分母同時(shí)乘以12，得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(1,4)a3＋a2))×12,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a2－a＋\f(1,3)))×12)＝eq\f(16－3a3＋12a2,6a2－12a＋4).分式本身及分式分子的符號(hào)都變?yōu)椤埃?，得eq\f(16－3a3＋12a2,6a2－12a＋4)＝－eq\f(－16－3a3＋12a2,6a2－12a＋4)＝－eq\f(3a3－12a2－16,6a2－12a＋4).【例6－4】若分式eq\f(x＋2y,xy)中的x，y的值都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則此分式的值()．A．不變B．?dāng)U大為原來(lái)的3倍C．縮小為原來(lái)的eq\f(1,3)D．縮小為原來(lái)的eq\f(1,6)解析：當(dāng)x，y都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍時(shí)，分母xy的值相應(yīng)地?cái)U(kuò)大為原來(lái)的9倍，分子x＋2y相應(yīng)地?cái)U(kuò)大為原來(lái)的3倍，故分式的值縮小為原來(lái)的eq\f(1,3).具體化簡(jiǎn)過(guò)程如下：eq\f(3x＋23y,3x3y)＝eq\f(3x＋2y,9xy)＝eq\f(x＋2y,3xy).答案：C7．分式的實(shí)際應(yīng)用分式的知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活、經(jīng)濟(jì)生活及生產(chǎn)實(shí)際中都有廣泛應(yīng)用．主要是利用分式表示現(xiàn)