《電動力學(xué)》第13講

《電動力學(xué)》第13講第二章靜電場（5）§2.5格林函數(shù)法教師姓名：宗福建單位：山東大學(xué)物理學(xué)院2015年10月27日山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建2上一講復(fù)習(xí)拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分離變量法求出。先根據(jù)界面形狀選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后在該坐標(biāo)系中由分離變量法解拉普拉斯方程。最常用的坐標(biāo)系有球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系。這里我們寫出用球坐標(biāo)系得出的通解形式（見附錄Ⅱ）。球坐標(biāo)用（R，θ，φ）表示，R為半徑，θ為極角，φ為方位角。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建3上一講復(fù)習(xí)拉氏方程在球坐標(biāo)系中的通解為式中anm,bnm,cnm和dnm為任意常數(shù)，在具體問題中有邊界條件定出。Pmn(cosθ)為締和勒讓德(Legendre)函數(shù)。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建4上一講復(fù)習(xí)若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，則電勢φ不依賴于方位角φ，這情形下通解為

Pn（cosθ）為勒讓德函數(shù)，an和bn由邊界條件確定。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建5上一講復(fù)習(xí)Pn（cosθ）為勒讓德函數(shù)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建6上一講習(xí)題解答：補(bǔ)充題：用分離變量法求解接地金屬球外一個點(diǎn)電荷的勢，和電像法相比較，并證明其兩個解是完全相同的。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建7上一講習(xí)題解答：由Q和鏡像電荷Q‘

激發(fā)的總電場能夠滿足在導(dǎo)體面上φ=0

的邊界條件。因此是空間中電場的正確解答。球外任一點(diǎn)P的電勢為，式中r為由Q到P點(diǎn)的距離，r'為由Q'到P點(diǎn)的距離，R為由球心O到P點(diǎn)的距離，θ為OP與OQ的夾角。

r’rP山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建8上一講習(xí)題解答：如圖所示的球坐標(biāo)系，取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，球心到點(diǎn)電荷所在位置的連線為極軸，點(diǎn)電荷到球心的距離為a，空間任意一點(diǎn)P到點(diǎn)電荷的距離為r，到球心的距離為R，極角為θ。rP山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建9上一講習(xí)題解答：由于電勢具有軸對稱性，考慮到無窮遠(yuǎn)處的電勢為0，泊松方程的解為：rP山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建10上一講習(xí)題解答：在金屬球殼表面：rP山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建11上一講習(xí)題解答：考慮到：rP山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建12上一講習(xí)題解答：則：rP山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建13上一講習(xí)題解答：則：rP山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建14上一講習(xí)題解答：則：r’rP山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建15本講主要內(nèi)容

1、格林公式和邊值問題的解2、點(diǎn)電荷密度的δ函數(shù)表示3、格林函數(shù)無界空間的格林函數(shù)上半空間的格林函數(shù)球外空間的格林函數(shù)4、例題山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建16§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

由§2.2唯一性定理，

設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布，在V的邊界上S上給定（1）電勢φ

|s或（2）電勢的法向?qū)?shù)?φ

/?n|s

，則V內(nèi)的電場唯一確定。也就是說，在V內(nèi)存在唯一的解，它在每個均勻區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程，在兩均勻區(qū)域分界面上滿足邊值關(guān)系，并在V的邊界S上滿足該給定的φ或?φ

/?n值。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建17§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

對第1類邊值問題，給定電勢φ

|s，求V內(nèi)的勢：設(shè)區(qū)域V內(nèi)有兩個函數(shù)φ（x）和ψ（x），有格林公式，式中n為界面S上的外向法線。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建18§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

格林公式的證明如下：

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建19§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

格林公式對任意函數(shù)φ（x）和ψ（x）都適用。取φ（x）滿足泊松方程，ψ（x）為格林函數(shù)，得山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建20§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

得山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建21§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

得山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建22§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

只要知道格林函數(shù)G(x’,x)，以及在邊界上給定的φ|S值，就可以算出區(qū)域內(nèi)的φ(x)，因而第1類邊值問題完全解決。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建23§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

對第2類邊值問題，給定電勢?φ/

?n

|s，求V內(nèi)的勢：設(shè)區(qū)域V內(nèi)有兩個函數(shù)φ（x）和ψ（x），有格林公式，式中n為界面S上的外向法線。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建24§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

格林公式對任意函數(shù)φ（x）和ψ（x）都適用。取φ（x）滿足泊松方程，ψ（x）為無界空間單位點(diǎn)電荷的格林函數(shù)，得山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建25§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

滿足上式最簡單的邊界條件為：其中S是界面的總面積。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建26§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

其中<φ>S是電勢在界面上的平均值。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建27§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

只要知道格林函數(shù)G(x’,x)，以及在邊界上給定的φ|S值，或者?φ/

?n

|s，就可以算出區(qū)域內(nèi)的φ(x)，因而邊值問題完全解決。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建28§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

2、點(diǎn)電荷密度的δ函數(shù)表示

點(diǎn)電荷是電荷分布的極限情況，它可以看作一個體積很小而電荷密度很大的帶電小球的極限。若電荷分布于小體積ΔV內(nèi)，當(dāng)體積ΔV→0時，體積內(nèi)的電荷密度ρ→∞，而保持總電荷不變，所謂點(diǎn)電荷就是這種電荷分布。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建29§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

2、點(diǎn)電荷密度的δ函數(shù)表示

處于x'

點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷的密度用函數(shù)δ(x?x’)表示

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建30§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)一個處于x’點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷所激發(fā)的電勢ψ(x)滿足泊松方程設(shè)有包含x’

點(diǎn)的某空間區(qū)域V，在V的邊界S上由邊界條件解稱為泊松方程在區(qū)域V的第一類邊值問題的格林函數(shù)。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建31§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)一個處于x’點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷所激發(fā)的電勢ψ（x）滿足泊松方程設(shè)有包含x’點(diǎn)的某空間區(qū)域V，在V的邊界S上滿足另一邊界條件解稱為泊松方程在區(qū)域V的第二類邊值問題的格林函數(shù)。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建32§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)格林函數(shù)一般用G（x，x'）表示，其中x'

代表源點(diǎn)，即點(diǎn)電荷所在點(diǎn)，x

代表場點(diǎn)。格林函數(shù)所滿足的微分方程

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建33§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)（1）無界空間的格林函數(shù)。在x’

點(diǎn)上一個單位點(diǎn)電荷在無界空間中激發(fā)的電勢為式中r為源點(diǎn)

x'

到場點(diǎn)x的距離。因此，無界空間的格林函數(shù)為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建34§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)（1）無界空間的格林函數(shù)。選電荷所在點(diǎn)x’為坐標(biāo)原點(diǎn)，即x’=0。在求坐標(biāo)中，G（x，0）=1/4πε0r

，由直接計算得，G為無界空間的格林函數(shù)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建35§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)（2）上半空間的格林函數(shù)

一導(dǎo)體平面上任一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)電荷Q所在點(diǎn)的坐標(biāo)為（x'，y'，z'），場點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），則r為由x'

點(diǎn)到x點(diǎn)的距離，r'

為由鏡象點(diǎn)（x'，y'，?z'）到場點(diǎn)的距離。上半空間格林函數(shù)為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建36§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建37§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)（3）球外空間的格林函數(shù)。

以球心O為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)電荷所在點(diǎn)P’的坐標(biāo)為（x’，y’，z’），場點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z）。令

則a對應(yīng)于R’，b對應(yīng)于R02/R’

，鏡象電荷所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(b/a)x’=(R02/R’2）x'。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建38§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)（3）球外空間的格林函數(shù)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建39§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

3、格林函數(shù)式中α為x與x’的夾角。若P點(diǎn)的球坐標(biāo)為（R,θ,φ），P’

點(diǎn)的球坐標(biāo)為（R’,θ’,φ’），有球外空間格林函數(shù)

:山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建40§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

4、例

在無窮大導(dǎo)體表面上有半徑為a的圓，圓內(nèi)和圓外用極狹窄的絕緣環(huán)絕緣。設(shè)圓心電勢為V0，導(dǎo)體板其余部分電勢為0，求上半空間的電勢。解以圓心為柱坐標(biāo)系原點(diǎn)，z軸與平板垂直，R為空間點(diǎn)到z軸的距離。x點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（Rcosφ,Rsinφ,z），x'

點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（R'cosφ',R'sinφ',z'），上半空間格林函數(shù)適用柱坐標(biāo)表出為山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建41§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建42§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

上半空間格林函數(shù)適用柱坐標(biāo)表出為山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建43§2.5格林（GREEN）函數(shù)法

因為在上半空間ρ=0，因此這問題是拉普拉斯方程第一類邊值問題。上半