新課標(biāo)卷Ⅰ高考文科數(shù)學(xué)真題及答案

2014年高考試題全國課標(biāo)1

(文科數(shù)學(xué)word解析版)

第I卷

選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

(1)已知集合知={%卜1<X<3},N={XH<X<1},則A/nN=()

A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)

【答案】：B

【解析】：在數(shù)軸上表示出對應(yīng)的集合，可得MAN=(-1,1),選8

(2)若tana>0,則

A.sina>0B.cosa>0C.sin2a>0D.

cos2a>0

【答案】：c

【解析】：由tan0可得:kk*

2),故2〃22k(k2),

正確的結(jié)論只有sin20.選C

(3)設(shè)Z=^—+i,則|zh

1+z

A.-B.—C.—D.2

222

【答案】：B

【解析】：z*+i卡,目=超+(￡|=與，選B

22

(4)已知雙曲線二--=l(a>0)的離心率為2,則。=

a3

L2B.旦C.正D.1

22

【答案】：D

【解析】：由雙曲線的離心率可得叵9=2,解得”=1,選D.

a

(5)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域?yàn)镽,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù),

則下列結(jié)論中正確的是

A.7(x)g(x)是偶函數(shù)B."(x)lg(x)是奇函數(shù)

C.f(x)\g(x)\是奇函數(shù)D."(x)g(x)|是奇函數(shù)

【答案】：c

【解析】：設(shè)“c)=/(x)|g(x)|,則H-x)=/(-x)|g(-x)|,,「/(x)是奇函數(shù),

g(x)是偶函數(shù)，2r)=-/(x)|g(x)|=-*c),尸(x)為奇函數(shù)，選G

(6)設(shè)分別為的三邊BC,CAA8的中點(diǎn)，貝I］而+斤=

A.ADB.-ADC.-BC

22

【答案】：A

【解析】

EB+FC=(EC-BC)+(FB+BC>j=EC+FB

三通+；而=g(而+硝=而，選A.

(7)在函數(shù)①y=cos|2x\,②y=|cosxI,③y=cos(2x+—),④

6

y=tan(2x-1)中，最小正周期為乃的所有函數(shù)為

4

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

【答案】：A

【解析1：由y=cosx是偶函數(shù)可知_v=cos|2x|=cos2x，最小正周期為萬，

即①正確；yIcosx|的最小正周期也是，即②也正確；

y=cos(2x+工］最小正周期為乃，即③正確；y=tan(2x-g)的最小正周期

I6；4

為T=f,即④不正確.

即正確答案為①②③，選A

8.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的事一個(gè)幾何體的

三視圖，則這個(gè)幾何體是()

A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

【答案】：B

【解析】：根據(jù)所給三視圖易知，對應(yīng)的幾何體是一個(gè)橫放著的三棱

柱選B

9.執(zhí)行下圖的程序框圖，若輸入的見仇女分別為1,2,3,則輸出的加二

I開始入a,瓦化/?|%=牛-------------->出M/乙》|結(jié)束

L?z?±lH

【答案】：D

【解析】：輸入。=1,。=2,々=3;〃=1時(shí)：M=l+—=—,a=2,b=—i

222

cl",c283,8n-L^33158,15

n=2trj：M=2+—=—,a=—,b=—;n=3tfojsM=—+—=—,a=—,b=—;

332328838

〃=4時(shí)：輸出M=".選D.

8

10.已知拋物線c：丁=》的焦點(diǎn)為尸，心”）是。上一點(diǎn)，河=竟°,

則x0=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】：A

【解析】：根據(jù)拋物線的定義可知|AF|=%+；=：/,解之得瓦=1.選

A.

11.設(shè)一y滿足約束條件jA+3-Cl.且z=x+紗的最小值為7,貝l]a=

x-y<-\,

(

(B)3

C)一5或

(D)5或-3

【答案】：B

【解析】：畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示.

在平面區(qū)域內(nèi)，平移直線x+ay=0,可知在點(diǎn)處，Z取

得最值，故—+。胃=7,解之得a5或a3.但a5

22

時(shí)，z取得最大值，故舍去，答案為a3.選B.

(12)已知函數(shù)/(幻=/-3/+1,若/(x)存在唯一的零點(diǎn)品，且不>0,

則a的取值范圍是

(A)(2,^o)(B)(1,-FW)(C)(^O,-2)(D)(F,—1)

【答案】：C

【解析1］：由已知"0,f\x)=3ax2-6x,令1(x)=0,得x=0或x=2,

a

當(dāng)〃>()時(shí),xe(-oo,0),/,(x)>0;xef0,—\/\x)<0;xG—,4-00,fr(x)>0;

IajlaJ

且7(0)=l>0,/(x)有小于零的零點(diǎn)，不符合題意。

當(dāng)a<0時(shí)，xw(-oo,2),八?<0;xe—,0^,/r(x)>0;XG(0,-KO),/\X)<0

要使/(x)有唯一的零點(diǎn)X。且小>0,只需/(2)>0,即/>4,〃<-2.選

a

C

【解析2］：由已知"()，/(%)=加-3/+1有唯一的正零點(diǎn)，等價(jià)于

a=3d--y

xx

有唯一的正零根，令f=L則問題又等價(jià)于4=-尸+3/有唯一的正零根,

X

即y=a與丁=_-+攵有唯一的交點(diǎn)且交點(diǎn)在在y軸右側(cè)，記

f(t)=-e+3t

r?)=—3/+3,由廣⑴=0,r=±1,/G(-?>-1),f'(t)<0;/G(-1,1),f'(t)>0;,

re(l,+oo),/r(z)<0,要使a=-H+3r有唯一的正零根，只需a</(-l)=-2,

選C

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分

(13)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則

2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為.

【答案】：|

【解析】設(shè)數(shù)學(xué)書為A,B,語文書為C,則不同的排法共有(A,B,

C),(A,C,B),(B,C,A),(B,A,C),(C,A,B),(C,B,A)

共6種排列方法，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的情況有4種情況，故所求

概率為P=j=3

63

(14)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A、B、C三個(gè)城市時(shí)，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過8城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市；

由此可判斷乙去過的城市為.

【答案】：A

【解析「??丙說：三人同去過同一個(gè)城市，甲說沒去過B城市，乙說:

我沒去過c城市

，三人同去過同一個(gè)城市應(yīng)為A,.“.乙至少去過A,若乙再去城市B,

甲去過的城市至多兩個(gè)，不可能比乙多，.?.可判斷乙去過的城市為A.

上,》<1,

(15)設(shè)函數(shù)〃x)=,則使得/(x)<2成立的x的取值范圍是

【答案】：(9,8]

【解析】當(dāng)x1時(shí)，由ei<2可得x1In2,即xIn2

1,故x1;

當(dāng)x1時(shí)，由尸(x)/2可得x8,故1x8,綜

上可得x8

(16)如圖，為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀

測點(diǎn).從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角NMAN=60。，C點(diǎn)的仰角NCAB=45°以

及ZMAC=75°;從C點(diǎn)測得NMCA=60。.已知山高=100m,則山高

MN=m.

【答案1150

【解析】在直角三角形ABC中，由條件可得AC=100夜，在4MAC中,

由正弦定理可得當(dāng)r=▼商工一故AM=^AC=100g,

sin60°sin（180°-60°-75°）O

在直角△MAN中，MN=AM整in60。=150.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

（17）（本小題滿分12分）

已知｛4｝是遞增的等差數(shù)列，%,4是方程x2-5x+6—0的根。

（I）求?。耐?xiàng)公式；

（ID求數(shù)列修｝的前〃項(xiàng)和.

【解析】：（I）方程-5x+6=。的兩根為2,3,由題意得4=2,4=3,

設(shè)數(shù)列｛叫的公差為&,則/-%=2*故d弓，從而a-=1，

所以｛《,｝的通項(xiàng)公式為：

1.......6分

(II)設(shè)求數(shù)列圖的前〃項(xiàng)和為s〃,由(I)知》費(fèi)

345〃+1〃+2

貝U：S“?,H------------1------------

級+/呼+2"2"+,

1_345〃+1n+2

c兩式相減得

/S“=/+呼+?+■??+2"+】+2〃+2

〃+2

2〃+2

〃+4

所以S,=2-12分

2/,+,

(18)(本小題滿分12分)

從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)

質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表:

質(zhì)量指標(biāo)值[75,85)[85,95)[95,105)[105,[115,

分組115)125)

頻數(shù)62638228

(I)在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

(11)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(III)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)

品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)

定？

【解析】：(I)

4分

(II)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為

嚏=80x0.06+90x0.26+100x0.38+110x0.22+120x0.08=100.

質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為

222

5=(-20)2X006+(—10)2X0.26+0x0.38+(10)x0.22+(20)x0.08=104?"10

分

(川)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為

0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計(jì)值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生

產(chǎn)的這種產(chǎn)品“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”

的規(guī)定...........12分

19(本題滿分12分)

如圖，三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面34GC為菱形，4c的中點(diǎn)為。,

且AOJ.平面他”.

(I)證明：B}C1AB;

(II)若NCB4=6(T,BC=1,

求三棱柱ABC-A4G的高.

【解析】：(I)連結(jié)8G，則。為BG與

4。的交點(diǎn)，因?yàn)閭?cè)面84第7為菱形，所以4C_L8G,又AO，平面

BB?C,故4C_LAOgC,平面ABO,由于A3u平面ABO,

故4C_LAB6分

(II)作OD_LBC,垂足為D,連結(jié)AD,作OH

±AD,垂足為H,

由于BC_LAO,BC±OD,故BCJ■平面AOD,所以O(shè)H_LBC.

又OH_LAD,所以O(shè)HJ■平面ABC.

因?yàn)镹CBB]=60。,,所以△C明為等邊三角形,又BC=1,可得0D二￥,由

于AC_LA4,所以0A=ggc=g,由OH?AD=OD■0A,且

AD=y/OD2+OA2,得0H二亙

414

又0為B1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面ABC的距離為孚，故三棱柱

ABC-A1B1C1的高為正I

7

..........................12分

20.(本小題滿分12分)

已知點(diǎn)P(2,2),圓C：Y+y2_8y=0,過點(diǎn)p的動(dòng)直線/與圓C交于兩

點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)求M的軌跡方程；

(II)當(dāng)10Pl=|OM|時(shí)，求/的方程及APOM的面積

【解析】：(I)圓C的方程可化為必+(>-4)2=16,所以圓心為C(0,4),

半徑為4.

設(shè)N(x,y),貝I]詼=(x,y-4),兩=(2-x,2-y),,由題設(shè)知商標(biāo)=0,

故

x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(工-廳+(>-3『=2

由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是

(xTp+U-3『=26分

(II)由(I)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)

為圓心，2為半徑的圓.

由于|OP|=10M|,故0在線段PM的垂直平

分線上，又P在圓N上，從而ON_LPM.

因?yàn)镺N的斜率為3,所以/的斜率為-；，

直線/的方程為：產(chǎn)-1+|

又|OM|=|OP|=20,。到/的距離為生?，儼蛆=理,

所以APOM的面積為：y.....................12

分

21(12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=alnx+g^f一爾”1),曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切

線斜率為0

(I)求b;

(II)若存在使得求a的取值范圍。

【解析】：(I)r(x)=-+(l-a)x-b,由題設(shè)知廣⑴=0,解得b

X

1.....................4分

2

(II)/(x)的定義域?yàn)?0,)，由(I)知，/(X)=a\nx-^--^x-x9

xxVl-a7

⑴若。則旦W1,故當(dāng)X(1,)時(shí)，尸'(X)0,fU)

2l-a

在(1,)上單調(diào)遞增.

所以,存在％1,使得〃/)44的充要條件為川)<義，即

l-a\-a

所以a1aV21;

(ii)若!<a<l,則故當(dāng)x(1,T^-)時(shí)，/’(x)<0,x

2l-a\-a

(JL，+8)時(shí)，八幻〉0"J)在a,F)上單調(diào)遞減，尸J)在

\-al-a

F，+8單調(diào)遞增.

l-a

所以,存在％1,使得/(/”義的充要條件為八義二號，而

l-a\-ai-a

2

f(—^—)=a\n—+-^—,所以不和題意.

l-al-a2(1-a)l-al-a

(iii)若a〉l,貝I]/⑴==一1=十<三。

22a-1

綜上，a的取值范圍為：^-A/2-1,A/2-lju(l,+oo)

請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所

做的第一題記分，解答時(shí)請寫清題號.

____D

(22)(本小題滿分10分)選修4-1,幾

何證明選講I

如圖，四邊形ABCD是口O的內(nèi)接四邊形，￥---------送一

A\Z

A3的延長線與。C的延長線交于點(diǎn)E,且'—一

CB=CE.

⑴證明：ZD=ZE;

(II)設(shè)A。不是□。的直徑，AO的中點(diǎn)為例，且=證明：ZV18C

為等邊三角形.

【解析】：.(I)由題設(shè)知得A、B、C、D四點(diǎn)

共圓，所以ND=NCBE,由已知得，NCBE=NE,

所以ND=NE....................5分

(II)設(shè)BCN中點(diǎn)為，連接MN,則由MB=MC,

知MN_LBC所以。在MN上，又AD不是。的直徑，M為AD中點(diǎn)，

故OM±AD,即MN±AD,所以AD//BC,故NA=NCBE,又NCBE=NE,

故NA=NE由(I)(1)知ND=NE,所以4ADE為等邊三角

形..........10分

(23