可線性化回歸分析

第一章——統(tǒng)計(jì)案例[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.進(jìn)一步體會(huì)回歸分析的基本思想.2.通過(guò)非線性回歸分析,判斷幾種不同模型的擬合程度.§1回歸分析1.3可線性化的回歸分析1知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)2題型探究重點(diǎn)突破3當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾對(duì)不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量做統(tǒng)計(jì)分析，通過(guò)變量代換，轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.知識(shí)點(diǎn)一非線性回歸分析思考有些變量間的關(guān)系并不是線性相關(guān)，怎樣確定回歸模型？答首先要作出散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，這時(shí)可以根據(jù)已有函數(shù)知識(shí)，觀察樣本點(diǎn)是否呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系或二次函數(shù)關(guān)系，選定適當(dāng)?shù)幕貧w模型.曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)y＝axbc＝lnav＝lnxu＝lny_____________u＝c＋bv知識(shí)點(diǎn)二非線性回歸方程y＝aebxc＝lnau＝lnyy＝aec＝lna

v＝u＝lnyu＝c＋bxu＝c＋bvy＝a＋blnxv＝lnxu＝y(tǒng)u＝a＋bv思考如果兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系，怎樣求出回歸方程？答可以通過(guò)對(duì)解釋變量進(jìn)行變換，如對(duì)數(shù)變換或平方變換，先得到另外兩個(gè)變量間的回歸方程，再得到所求兩個(gè)變量的回歸方程.例1

某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：題型一線性回歸分析廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元)4235銷售額y(萬(wàn)元)49263954(1)由數(shù)據(jù)易知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,若b＝9.4,求線性回歸方程y＝a＋bx；∴回歸直線方程為y＝9.1＋9.4x.(2)據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為4萬(wàn)元時(shí)的銷售額.解當(dāng)x＝4時(shí),y＝9.1＋9.4×4＝46.7,故廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為46.7萬(wàn)元.跟蹤訓(xùn)練1

為了研究3月下旬的平均氣溫(x)與4月20日前棉花害蟲(chóng)化蛹高峰日(y)的關(guān)系,某地區(qū)觀察了2006年到2011年的情況,得到了下面的數(shù)據(jù)：年份200620072008200920102011x/℃24.429.632.928.730.328.9y/日19611018i123456xi24.429.632.928.730.328.9yi19611018(1)對(duì)變量x,y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；解制表.故變量y和x存在很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.(2)據(jù)氣象預(yù)測(cè),該地區(qū)在2012年3月下旬平均氣溫為27℃,試估計(jì)2012年4月化蛹高峰日為哪天.例2

在一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中,化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān),現(xiàn)收集了8組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：題型二可線性化的回歸分析催化劑的量x/g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g·min－1)6830277020565350解根據(jù)收集的數(shù)據(jù),作散點(diǎn)圖(如圖),根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí),可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲數(shù)y＝c1ec2x的周圍,其中c1和c2是待定的參數(shù).令z＝lny,則z＝lny＝lnc1＋c2x,即變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z＝a＋bx(a＝lnc1,b＝c2)的周圍.由y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z與x的散點(diǎn)圖(如圖).由散點(diǎn)圖可觀察到,變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近,所以可用線性回歸方程來(lái)擬合.由z與x的數(shù)據(jù)表,可得線性回歸方程：z＝0.848＋0.81x,所以y與x之間的非線性回歸方程為y＝e0.848＋0.81x.反思與感悟

可線性化的回歸分析問(wèn)題,畫(huà)出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,選擇跟散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換,作出變換后樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖,用線性回歸模型擬合.跟蹤訓(xùn)練2

電容器充電后,電壓達(dá)到100V,然后開(kāi)始放電,由經(jīng)驗(yàn)知道,此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式U＝Aebt(b＜0)表示,現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程.(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題)解對(duì)U＝Aebt兩邊取對(duì)數(shù)得lnU＝lnA＋bt,令y＝lnU,a＝lnA,x＝t,則y＝a＋bx,得y與x的數(shù)據(jù)如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6由y＝lnU,得U＝ey,U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x,因此電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程為U＝e4.61·e－0.313x.題型三非線性回歸模型的綜合應(yīng)用例3

某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x/cm60708090100110體重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170體重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05試建立y與x之間的回歸方程.解根據(jù)題干表中數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示.由圖看出,樣本點(diǎn)分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍,于是令z＝lny.畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的線性回歸方程：z＝0.663＋0.020x,則有y＝e0.663＋0.020x.反思與感悟

根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí),可以發(fā)現(xiàn)樣本分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍,其中c1和c2是待定參數(shù)；可以通過(guò)對(duì)x進(jìn)行對(duì)數(shù)變換,轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練3

在試驗(yàn)中得到變量y與x的數(shù)據(jù)如下表：試求y與x之間的回歸方程,并預(yù)測(cè)x＝40時(shí),y的值.x1923273135y41124109325解作散點(diǎn)圖如圖所示,從散點(diǎn)圖可以看出,兩個(gè)變量x,y不呈線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí),樣本點(diǎn)分布的曲線符合指數(shù)型函數(shù)y＝c1ec2x,通過(guò)對(duì)數(shù)變化把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系,令z＝lny,則z＝bx＋a(a＝lnc1,b＝c2).列表：x1923273135z1.3862.3983.1784.6915.784作散點(diǎn)圖如圖所示,從散點(diǎn)圖可以看出,兩個(gè)變量x,z呈很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.由表中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為：z＝0.277x－3.998.所以y關(guān)于x的指數(shù)回歸方程為：y＝e0.277x－3.998.所以,當(dāng)x＝40時(shí),y＝e0.277×40－3.998≈1190.347.A123412342.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額(單位：百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)24568銷售額3040605070則廣告費(fèi)與銷售額間的相關(guān)系數(shù)為(

)A.0.819 B.0.919C.0.923 D.0.95B3.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,我國(guó)能源生產(chǎn)發(fā)展迅速.下面是我國(guó)能源生產(chǎn)總量(單位：億噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：1234年份1996200120062011產(chǎn)量12.916.119.322.3根據(jù)有關(guān)專家預(yù)測(cè),到2020年我國(guó)能源生產(chǎn)總量將達(dá)到27.6億噸左右,則專家所選擇的回歸模型是下列四種模型中的哪一種(

)A.y＝ax＋b(a≠0)B.y＝ax