一元一次方程應(yīng)用題經(jīng)典講解

一元一次方程應(yīng)用題經(jīng)典講解知能點(diǎn)1：市場經(jīng)濟(jì)、打折銷售問題〔1〕商品利潤＝商品售價(jià)－商品本錢價(jià)〔2〕商品利潤率＝×100%〔3〕商品銷售額＝商品銷售價(jià)×商品銷售量〔4〕商品的銷售利潤＝〔銷售價(jià)－本錢價(jià)〕×銷售量〔5〕商品打幾折出售，就是按原價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原價(jià)的80%出售．1.*商店開，為了吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，*種皮鞋進(jìn)價(jià)60元一雙，八折出售后商家獲利潤率為40%，問這種皮鞋標(biāo)價(jià)是多少元？優(yōu)惠價(jià)是多少元？[分析]通過列表分析條件，找到等量關(guān)系式

進(jìn)價(jià)折扣率標(biāo)價(jià)優(yōu)惠價(jià)利潤率60元8折*元80%*40%等量關(guān)系：商品利潤率=商品利潤/商品進(jìn)價(jià)解：設(shè)標(biāo)價(jià)是*元，解之：*=105優(yōu)惠價(jià)為2.一家商店將*種服裝按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少？[分析]探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵，可直接設(shè)出本錢為*元進(jìn)價(jià)折扣率標(biāo)價(jià)優(yōu)惠價(jià)利潤*元8折〔1+40%〕*元80%〔1+40%〕*15元等量關(guān)系：〔利潤=折扣后價(jià)格—進(jìn)價(jià)〕折扣后價(jià)格－進(jìn)價(jià)=15解：設(shè)進(jìn)價(jià)為*元，80%*〔1+40%〕—*=15，*=125答：進(jìn)價(jià)是125元。3.一家商店將一種自行車按進(jìn)價(jià)提高45%后標(biāo)價(jià)，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每輛仍獲利50元，這種自行車每輛的進(jìn)價(jià)是多少元？假設(shè)設(shè)這種自行車每輛的進(jìn)價(jià)是*元，則所列方程為〔B.〕A.45%×〔1+80%〕*-*=50B.80%×〔1+45%〕*-*=50C.*-80%×〔1+45%〕*=50D.80%×〔1-45%〕*-*=504．*商品的進(jìn)價(jià)為800元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為1200元，后來由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折出售，但要保持利潤率不低于5%，則至多打幾折．解：設(shè)至多打*折，根據(jù)題意有×100%=5%解得*=0.7=70%答：至多打7折出售．5．一家商店將*種型號(hào)的彩電先按原售價(jià)提高40%，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠〞．經(jīng)顧客投拆后，拆法部門按已得非法收入的10倍處以每臺(tái)2700元的罰款，求每臺(tái)彩電的原售價(jià)．解：設(shè)每臺(tái)彩電的原售價(jià)為*元，根據(jù)題意，有10[*〔1+40%〕×80%-*]=2700，*=2250答：每臺(tái)彩電的原售價(jià)為2250元．知能點(diǎn)2：方案選擇問題6．*蔬菜公司的一種綠色蔬菜，假設(shè)在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當(dāng)?shù)匾患夜臼召忂@種蔬菜140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)展精加工，每天可加工16噸，如果進(jìn)展精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)展，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：方案一：將蔬菜全部進(jìn)展粗加工．方案二：盡可能多地對(duì)蔬菜進(jìn)展粗加工，沒來得及進(jìn)展加工的蔬菜，在市場上直接銷售．方案三：將局部蔬菜進(jìn)展精加工，其余蔬菜進(jìn)展粗加工，并恰好15天完成．你認(rèn)為哪種方案獲利最多？為什么？解：方案一：獲利140×4500=630000〔元〕方案二：獲利15×6×7500+〔140-15×6〕×1000=725000〔元〕方案三：設(shè)精加工*噸，則粗加工〔140-*〕噸．依題意得=15解得*=60獲利60×7500+〔140-60〕×4500=810000〔元〕因?yàn)榈谌N獲利最多，所以應(yīng)選擇方案三．7．*市移動(dòng)通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通〞使用者先繳50元月根底費(fèi)，然后每通話1分鐘，再付費(fèi)0.2元；“神州行〞不繳月根底費(fèi)，每通話1分鐘需付話費(fèi)0.4元〔這里均指市〕．假設(shè)一個(gè)月通話*分鐘，兩種通話方式的費(fèi)用分別為y1元和y2元．〔1〕寫出y1，y2與*之間的函數(shù)關(guān)系式〔即等式〕．〔2〕一個(gè)月通話多少分鐘，兩種通話方式的費(fèi)用一樣？〔3〕假設(shè)*人預(yù)計(jì)一個(gè)月使用話費(fèi)120元，則應(yīng)選擇哪一種通話方式較合算？解：〔1〕y1=0.2*+50，y2=0.4*．〔2〕由y1=y2得0.2*+50=0.4*，解得*=250．即當(dāng)一個(gè)月通話250分鐘時(shí)，兩種通話方式的費(fèi)用一樣．〔3〕由0.2*+50=120，解得*=350由0.4*+50=120，得*=300因?yàn)?50>300故第一種通話方式比擬合算．8．*地區(qū)居民生活用電根本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，假設(shè)每月用電量超過a千瓦時(shí)，則超過局部按根本電價(jià)的70%收費(fèi)?！?〕*戶八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a．〔2〕假設(shè)該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦時(shí)？應(yīng)交電費(fèi)是多少元？解：〔1〕由題意，得0.4a+〔84-a〕×0.40×70%=30.72解得a=60〔2〕設(shè)九月份共用電*千瓦時(shí)，則0.40×60+〔*-60〕×0.40×70%=0.36*解得*=90所以0.36×90=32.40〔元〕答：九月份共用電90千瓦時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)32.40元．9．*家電商場方案用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)．該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元．〔1〕假設(shè)家電商場同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，請(qǐng)你研究一下商場的進(jìn)貨方案．〔2〕假設(shè)商場銷售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)方案中，為了使銷售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案？解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機(jī)這三種方案分別計(jì)算，設(shè)購A種電視機(jī)*臺(tái)，則B種電視機(jī)y臺(tái)．〔1〕①中選購A，B兩種電視機(jī)時(shí)，B種電視機(jī)購〔50-*〕臺(tái)，可得方程1500*+2100〔50-*〕=90000即5*+7〔50-*〕=3002*=50*=2550-*=25②中選購A，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)購〔50-*〕臺(tái)，可得方程1500*+2500〔50-*〕=900003*+5〔50-*〕=1800*=3550-*=15③當(dāng)購B，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)為〔50-y〕臺(tái)．可得方程2100y+2500〔50-y〕=9000021y+25〔50-y〕=900，4y=350，不合題意由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機(jī)25臺(tái)；二是購A種電視機(jī)35臺(tái)，C種電視機(jī)15臺(tái)．〔2〕假設(shè)選擇〔1〕中的方案①，可獲利150×25+250×15=8750〔元〕假設(shè)選擇〔1〕中的方案②，可獲利150×35+250×15=9000〔元〕9000>8750故為了獲利最多，選擇第二種方案．10.小剛為書房買燈?，F(xiàn)有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦的節(jié)能燈，售價(jià)為49元/盞，另一種是40瓦的白熾燈，售價(jià)為18元/盞。假設(shè)兩種燈的照明效果一樣，使用壽命都可以到達(dá)2800小時(shí)。小剛家所在地的電價(jià)是每千瓦時(shí)0.5元。(1).設(shè)照明時(shí)間是*小時(shí)，請(qǐng)用含*的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈和用一盞白熾燈的費(fèi)用。〔費(fèi)用=燈的售價(jià)+電費(fèi)〕0.005*+49(2).小剛想在這種燈中選購兩盞。假定照明時(shí)間是3000小時(shí)，使用壽命都是2800小時(shí)。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種費(fèi)用最低的選燈照明方案，并說明理由。2000知能點(diǎn)3儲(chǔ)蓄、儲(chǔ)蓄利息問題(1〕顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅(2〕利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息利息稅=利息×稅率〔20%〕(3〕11.*同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？〔不計(jì)利息稅〕[分析]等量關(guān)系：本息和=本金×〔1+利率〕解：設(shè)半年期的實(shí)際利率為*，依題意得方程250〔1+*〕=252.7，解得*=0.0108所以年利率為0.0108×2=0.0216答：銀行的年利率是21.6%一年2.25三年2.70六年2.88

12.為了準(zhǔn)備6年后小明上大學(xué)的學(xué)費(fèi)20000元，他的父親現(xiàn)在就參加了教育儲(chǔ)蓄，下面有三種教育儲(chǔ)蓄方式：(1〕直接存入一個(gè)6年期；(2〕先存入一個(gè)三年期，3年后將本息和自動(dòng)轉(zhuǎn)存一個(gè)三年期；(3〕先存入一個(gè)一年期的，后將本息和自動(dòng)轉(zhuǎn)存下一個(gè)一年期；你認(rèn)為哪種教育儲(chǔ)蓄方式開場存入的本金比擬少？[分析]這種比擬幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計(jì)算出每種教育儲(chǔ)蓄的本金是多少，再進(jìn)展比擬。解：(1〕設(shè)存入一個(gè)6年的本金是*元,依題意得方程*〔1+6×2.88%〕=20000，解得*=17053(2〕設(shè)存入兩個(gè)三年期開場的本金為Y元，Y〔1+2.7%×3〕(1+2.7%×3〕=20000，*=17115(3〕設(shè)存入一年期本金為Z元，Z〔1+2.25%〕6=20000，Z=17894所以存入一個(gè)6年期的本金最少。13．小剛的爸爸前年買了*公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅后，共得本利和約4700元，問這種債券的年利率是多少〔準(zhǔn)確到0.01%〕．解：設(shè)這種債券的年利率是*，根據(jù)題意有4500+4500×2×*×〔1-20%〕=4700，解得*=0.03答：這種債券的年利率為0.03．14．〔海淀區(qū)〕白云商場購進(jìn)*種商品的進(jìn)價(jià)是每件8元，銷售價(jià)是每件10元〔銷售價(jià)與進(jìn)價(jià)的差價(jià)2元就是賣出一件商品所獲得的利潤〕．現(xiàn)為了擴(kuò)大銷售量，把每件的銷售價(jià)降低*%出售，但要求賣出一件商品所獲得的利潤是降價(jià)前所獲得的利潤的90%，則*應(yīng)等于〔〕．A．1B．1.8C．2D．10C[點(diǎn)撥：根據(jù)題意列方程，得〔10-8〕×90%=10〔1-*%〕-8，解得*=2，應(yīng)選C]15.用假設(shè)干元人民幣購置了一種年利率為10%的一年期債券，到期后他取出本金的一半用作購物，剩下的一半和所得的利息又全部買了這種一年期債券〔利率不變〕，到期后得本息和1320元。問叔叔當(dāng)初購置這咱債券花了多少元？22000元知能點(diǎn)4：工程問題工作量＝工作效率×工作時(shí)間工作效率＝工作量÷工作時(shí)間工作時(shí)間＝工作量÷工作效率完成*項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和＝總工作量＝116.一件工作，甲獨(dú)作10天完成，乙獨(dú)作8天完成，兩人合作幾天完成？[分析]甲獨(dú)作10天完成，說明的他的工作效率是乙的工作效率是等量關(guān)系是：甲乙合作的效率×合作的時(shí)間=1解：設(shè)合作*天完成,依題意得方程答：兩人合作天完成

17.一件工程，甲獨(dú)做需15天完成，乙獨(dú)做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨(dú)完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？[分析]設(shè)工程總量為單位1，等量關(guān)系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。解：設(shè)乙還需*天完成全部工程，設(shè)工作總量為單位1，由題意得，答：乙還需天才能完成全部工程。18.一個(gè)蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)丙排水管，單獨(dú)開甲管6小時(shí)可注滿水池；單獨(dú)開乙管8小時(shí)可注滿水池，單獨(dú)開丙管9小時(shí)可將滿池水排空，假設(shè)先將甲、乙管同時(shí)開放2小時(shí)，然后翻開丙管，問翻開丙管后幾小時(shí)可注滿水池？[分析]等量關(guān)系為：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。解：設(shè)翻開丙管后*小時(shí)可注滿水池，由題意得，答：翻開丙管后小時(shí)可注滿水池。19.一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí)，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作？解：設(shè)甲、乙一起做還需*小時(shí)才能完成工作．根據(jù)題意，得×+〔+〕*=1解這個(gè)方程，得*==2小時(shí)12分答：甲、乙一起做還需2小時(shí)12分才能完成工作．20.*車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè)．在這16名工人中，一局部人加工甲種零件，其余的加工乙種零件．每加工一個(gè)甲種零件可獲利16元，每加工一個(gè)乙種零件可獲利24元．假設(shè)此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個(gè)工人加工甲種零件．解：設(shè)這一天有*名工人加工甲種零件，則這天加工甲種零件有5*個(gè)，乙種零件有4〔16-*〕個(gè)．根據(jù)題意，得16×5*+24×4〔16-*〕=1440解得*=6答：這一天有6名工人加工甲種零件．21.一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做需要10天，乙需要12天，丙單獨(dú)做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事離去，乙參與工作，問還需幾天完成？設(shè)還需*天。知能點(diǎn)5：假設(shè)干應(yīng)用問題等量關(guān)系的規(guī)律〔1〕和、差、倍、分問題此類題既可有示運(yùn)算關(guān)系，又可表示相等關(guān)系，要結(jié)合題意特別注意題目中的關(guān)鍵詞語的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等，它們能指導(dǎo)我們正確地列出代數(shù)式或方程式。增長量＝原有量×增長率現(xiàn)在量＝原有量＋增長量〔2〕等積變形問題常見幾何圖形的面積、體積、周長計(jì)算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變．①圓柱體的體積公式V=底面積×高＝S·h＝r2h②長方體的體積V＝長×寬×高＝abc22.*糧庫裝糧食，第一個(gè)倉庫是第二個(gè)倉庫存糧的3倍，如果從第一個(gè)倉庫中取出20噸放入第二個(gè)倉庫中，第二個(gè)倉庫中的糧食是第一個(gè)中的。問每個(gè)倉庫各有多少糧食？設(shè)第二個(gè)倉庫存糧23.一個(gè)裝滿水的部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個(gè)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高〔準(zhǔn)確到0.1毫米，≈3.14〕．解：設(shè)圓柱形水桶的高為*毫米，依題意，得·〔〕2*=300×300×80*≈229.3答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米．24.長方體甲的長、寬、高分別為260mm，150mm，325mm，長方體乙的底面積為130×130mm2，又知甲的體積是乙的體積的2.5倍，求乙的高？設(shè)乙的高為知能點(diǎn)6：行程問題根本量之間的關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間時(shí)間＝路程÷速度速度＝路程÷時(shí)間〔1〕相遇問題〔2〕追及問題快行距＋慢行距＝原距快行距－慢行距＝原距〔3〕航行問題順?biāo)诧L(fēng)〕速度＝靜水〔風(fēng)〕速度＋水流〔風(fēng)〕速度逆水〔風(fēng)〕速度＝靜水〔風(fēng)〕速度－水流〔風(fēng)〕速度抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速〔靜不速〕不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系．25.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行90公里，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行140公里。〔1〕慢車先開出1小時(shí)，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時(shí)后兩車相遇？〔2〕兩車同時(shí)開出，相背而行多少小時(shí)后兩車相距600公里〔3〕兩車同時(shí)開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時(shí)后快車與慢車相距600公里〔4〕兩車同時(shí)開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時(shí)后快車追上慢車？〔5〕慢車開出1小時(shí)后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時(shí)追上慢車？此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析?！?〕分析：相遇問題，畫圖表示為：等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里解：設(shè)快車開出*小時(shí)后兩車相遇，由題意得，140*+90(*+1)=480解這個(gè)方程，230*=390答：快車開出小時(shí)兩車相遇分析：相背而行，畫圖表示為：等量關(guān)系是：兩車所走的路程和+480公里=600解：設(shè)*小時(shí)后兩車相距600公里由題意得，(140+90)*+480=600解這個(gè)方程，230*=120∴*=答：小時(shí)后兩車相距600公里?！?〕分析：等量關(guān)系為：快車所走路程－慢車所走路程+480公里=600解：設(shè)*小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(140－90)*+480=60050*=120∴答：2.4小時(shí)后兩車相距600公里。分析：追及問題，畫圖表示為：等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里解：設(shè)*小時(shí)后快車追上慢車。由題意得，140*=90*+480解這個(gè)方程，50*=480∴*=9.6答：9.6小時(shí)后快車追上慢車。分析：追及問題，等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里解：設(shè)快車開出*小時(shí)后追上慢車。由題意得，140*=90(*+1)+48050*=570∴*=11.4答：快車開出11.4小時(shí)后追上慢車。

26.甲乙兩人在同一道路上從相距5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時(shí)，乙的速度為3千米/小時(shí)，甲帶著一只狗，當(dāng)甲追乙時(shí)，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復(fù)，直至甲追上乙為止，狗的速度為15[分析]]追擊問題，不能直接求出狗的總路程，但間接的問題轉(zhuǎn)化成甲乙兩人的追擊問題。狗跑的總路程=它的速度×?xí)r間，而它用的總時(shí)間就是甲追上乙的時(shí)間解：設(shè)甲用*小時(shí)追上乙，根據(jù)題意列方程5*=3*+5解得*=2.5，狗的總路程：15×2.5=37.5答：狗的總路程是37.5千米27.*船從A地順流而下到達(dá)B地，然后逆流返回，到達(dá)A、B兩地之間的C地，一共航行了7小時(shí)，此船在靜水中的速度為8千米/時(shí)，水流速度為2千米/時(shí)。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、[分析]這屬于行船問題，這類問題中要弄清：〔1〕順?biāo)俣?船在靜水中的速度+水流速度；〔2〕逆水速度=船在靜水中的速度－水流速度。相等關(guān)系為：順流航行的時(shí)間+逆流航行的時(shí)間=7小時(shí)。解：設(shè)A、B兩碼頭之間的航程為*千米，則B、C間的航程為(*-10)千米，由題意得，答：A、B兩地之間的路程為32.5千米28．有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長．解：設(shè)第一鐵橋的長為*米，則第二鐵橋的長為〔2*-50〕米，過完第一鐵橋所需的時(shí)間為分．過完第二鐵橋所需的時(shí)間為分．依題意，可列出方程+=解方程*+50=2*-50得*=100∴2*-50=2×100-50=150答：第一鐵橋長100米，第二鐵橋長150米．29．甲、乙兩地相距120千米，乙的速度比甲每小時(shí)快1千米，甲先從A地出發(fā)2小時(shí)后，乙從B地出發(fā)，與甲相向而行經(jīng)過10設(shè)甲的速度為*千米/小時(shí)。則30．一隊(duì)學(xué)生去軍事訓(xùn)練，走到半路，隊(duì)長有事要從隊(duì)頭通知到隊(duì)尾，通訊員以18米/分的速度從隊(duì)頭至隊(duì)尾又返回，隊(duì)伍的行進(jìn)速度為14米/分。問：假設(shè)隊(duì)長320米，則通訊員幾分鐘返回？〔1〕設(shè)通訊員*分鐘返回.則*-90〔2〕設(shè)隊(duì)長為*米。則31．一架