大學物理-機械振動

機械振動第六章廣義振動：任一物理量(如位移、電流等)在某一數值附近反復變化。機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。AAO

mKqqLi2021/5/91彈簧振子簡諧振動微分方程一、簡諧振動的基本特征6-1簡諧振動（simpleharmonicmotion)其通解為：諧振動運動方程運動學定義:動力學定義:1、簡諧振動的定義AAO

mk2021/5/92運動方程振幅A

物體離開平衡位置的最大距離,決定于初條件.頻率

單位時間內振動的次數.角頻率周期T

物體完成一次全振動所需時間.初相位相位t決定諧振動物體的運動狀態(tài)2、描述簡諧振動的特征量AAO

mk2021/5/933.振動速度及加速度簡諧振動的加速度和位移成正比而反向.x,v,aavx

TOt2021/5/944.振動初相及振幅由初始條件決定初始條件：當t=0時,x=x0

，v=v0代入得=

arctanAAO

mk2021/5/95例6-1.

一質點沿x

軸作簡諧振動，振幅A=0.12m，周期T=2s，當t=0時，質點對平衡位置的位移x0

=0.06m,

此時刻質點向x

正向運動。求此簡諧振動的表達式。解取平衡位置為坐標原點。由題設T=2s，則A=0.12m由初條件x0

=0.06m，v00得簡諧振動的表達式為設簡諧振動的表達式為2021/5/96例6-2.如圖所示，倔強系數為8×103N·m-1的輕質彈簧一端固定于A，另一端系一質量為M=4.99kg的木塊靜止于水平光滑桌面上。質量m=0.01kg的子彈以水平速度v=103m·s-1射入木塊使其作簡諧振動。若在木塊經過平衡位置且向右運動時開始計時。取平衡位置為坐標原點、向右為x軸正方向，求其振動方程。mvMA2021/5/97解：mv=(m+M)V0.01×103=(4.99+0.01)VV=2m.s-1A=0.05m2021/5/98二、簡諧振動的旋轉矢量表示法1.簡諧振動與勻速圓周運動t+OPmxyA勻速圓周運動在x軸上的投影（或分運動）為簡諧振動：2.簡諧振動的旋轉矢量表示法xO2021/5/993.兩同頻率簡諧振動的相位差（phasedifference）OxOxOx兩個諧振動相位差兩同頻率的諧振動的相位差等于它們的初相差。=2

10,x2超前x1=0,同相=，反相2021/5/910x,v,aavx

TOtx,v,aO4.諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系2021/5/911例6-3.

以余弦函數表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所示，求此簡諧振動的表達式。x(cm)Ot(s)12121t=1st=0Ox解設簡諧振動方程為x0=A/2，v00由旋轉矢量表示法v00旋轉矢量以勻角速由t=0到t=1s轉過了4/3t=1s角頻率的計算：t=1s時，對應圖示的旋轉矢量。2021/5/912例6-4.已知某簡諧振動的速度與時間的關系曲線如圖所示，試求其振動方程。解：方法1用解析法求解設振動方程為2021/5/913故振動方程為2021/5/914v的旋轉矢量與v軸夾角表示t時刻相位由圖知方法2：用旋轉矢量法輔助求解。2021/5/915固有角頻率三、簡諧振動實例1.彈簧振子(blockspringsystem)平衡位置：彈簧為原長時，振動物體所處的位置.x=0,F=0位移為x處:由牛頓第二定律角頻率完全由振動系統(tǒng)本身的性質決定。固有周期固有頻率AAO

mk2021/5/9162.單擺(simplependulum)當5(=0.0873rad)時，擺球相對于平衡位置的角位移為時，切向合外力:lmgsinmC平衡位置：擺線與豎直方向夾角

=0.由牛頓第二定律得或諧振動微分方程結論：單擺的小角度擺動是簡諧振動。2021/5/9173.復擺(compoundpendulum)繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體。令小幅擺動時角位移，回復力矩M=mghsinM=mgh由剛體的轉動定律或得諧振動微分方程結論：復擺的小角度擺動是簡諧振動。2021/5/918線性諧振動角諧振動簡諧振動的判斷及振動方程的確定歸納與總結例：判斷下列運動是否為簡諧振動1.乒乓球在地面上的上下跳動2021/5/9192.小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動mgO切向運動簡諧振動振動的角頻率和周期分別為：2021/5/920四、簡諧振動的能量諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep某一時刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數.系統(tǒng)的機械能守恒2021/5/921振動能量曲線xtotToEEk(t)Ep

(t)2021/5/922例:如圖m=2×10-2kg,彈簧的靜止形變?yōu)閘=9.8cm

t=0時x0=-9.8cm,v0=0(1)

取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；(2)若取x0=0，v0>0為計時零點，寫出振動方程,并計算振動頻率。x

Omx解：⑴確定平衡位置

mg=kl

取為原點

k=mg/l

令向下有位移x,則f=mg-k(l+x)=-kx作諧振動設振動方程為2021/5/923初條件:由x0=Acos0=-0.098<0cos0<0,取0=振動方程為：x=9.810-2cos(10t+)mx0=Acos0=-0.098mv0=-Asin0=0t=0時x0=-0.098m，v0=0x

Omx2021/5/924(2)按題意t=0時x0=0，v0>0x0=Acos0=0,cos0=0

0=/2,3/2

v0=-Asin>0,sin0

<0,取0=3/2

x=9.810-2cos(10t+3/2)

m對同一諧振動取不同的計時起點不同，但、A不變固有頻率x

Omx2021/5/925例:如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數為k的輕彈簧、一半徑為R、轉動慣量為J的定滑輪和一質量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.mm解：取位移軸ox，m在平衡位置時，設彈簧伸長量為l，則2021/5/926當m有位移x時聯(lián)立得物體作簡諧振動mm2021/5/927一、同方向、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動,其頻率仍為。合振動x1x212xO6-2簡諧振動的合成2021/5/928如A1=A2,則A=0，兩個等幅反相的振動合成的結果將使質點處于靜止狀態(tài)。合振動的振幅取得最大，兩分振動相互加強。合振幅最小，兩分振動相互減弱。分析若兩分振動同相：若兩分振動反相:2021/5/929二.兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成拍如果我們先后聽到頻率很接近的聲音，如552

和564

Hz，我們很難區(qū)分它們頻率的差異；如果這兩種聲音同時到達我們的耳朵，我們聽到聲音頻率為558Hz=(552+564)/2,其強度以12Hz(=564552)

的頻率變化。這種現(xiàn)象稱為拍，12Hz為拍頻。xtx1tx2t2021/5/930分振動合振動1.拍及拍頻令則T拍xtcos(t+)2Acost拍

=2=21,拍=

2

1拍:拍頻:單位時間內振動加強或減弱的次數.合振動忽強忽弱的現(xiàn)象.2021/5/931拍的現(xiàn)象常被用于校正樂器。例如我們可以利用標準音叉來校準鋼琴的頻率：因為音調有微小差別就會出現(xiàn)拍音，調整到拍音消失，鋼琴的一個鍵就被校準了。2.拍的應用2021/5/932三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動分振動合振動質點的軌跡方程2021/5/933合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內的直線質點離開平衡位置的位移討論2021/5/934合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內的直線質點離開平衡位置的位移2021/5/935合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓.質點沿橢圓的運動方向是順時針的。合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓.質點沿橢圓的運動方向是逆時針的。2021/5/93621=021=時，質點沿逆時針方向運動。時，質點沿順時針方向運動。2021/5/937四、兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成軌跡稱為李薩如圖形對于兩個頻率不相同的諧振動，其相位差不斷地隨時間變化，因而合振動不一定有穩(wěn)定的軌跡。yxA2A1o-A1-A2只有在兩振動的頻率成簡單的整數比時，才有穩(wěn)定的軌跡。2021/5/938若已知一個分振動的周期，可根據合振動的李薩如圖形求出另一個分振動的周期，這種方法常用來測定頻率。李薩如圖形T1:T2=

21

=01:21:32:32021/5/939*

五、簡諧振動的分解頻譜振動的分解：把一個復雜振動分解為若干個簡諧振動。若周期振動的頻率為:0則各分振動的頻率為:0、20、30(基頻,二次諧頻,三次諧頻,…)按傅里葉級數展開任何一個復雜的周期性振動，都可看作是若干個簡諧振動的合成。2021/5/940方波的分解t0x3t0x1+x3+x5+x0方波可按傅里葉級數展開為：例如：0tx10x0tt0x52021/5/9412021/5/9422021/5/943xot鋸齒波A03050鋸齒波頻譜圖例如：鋸齒波可按傅里葉級數展開為：2021/5/944一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動。xot阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖oA2021/5/945一、阻尼振動（dampedvibration)：阻尼振動1.阻尼振動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功，系統(tǒng)的動能轉化為熱能。輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。6-3阻尼振動受迫振動和共振簡諧振動是物體在回復力作用下的一種無阻尼自由振動。當振動系統(tǒng)受到阻力作用時，在回復力和阻力作用下振動，稱為阻尼振動。2021/5/946彈簧振子動力學方程系統(tǒng)固有角頻率阻尼因子物體以不大的速率在粘性介質中運動時,介質對物體的阻力與速度的一次方成正比—阻力系數2.阻尼振動的振動方程（以摩擦阻尼為例）2021/5/947(1)弱阻尼振動: