2016高三理數(shù)數(shù)學(xué)獨(dú)家秘笈二輪復(fù)習(xí)及高考沖刺第4補(bǔ)充講義

用放縮法處理數(shù)列和不等問一．先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理例1．正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn，滿足 an1，試求數(shù)列an的通 設(shè)b ，數(shù)列b的前n項(xiàng)的和為B，求證：Baan

變式訓(xùn)練1：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和

43

12n12，n1, S（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)TnSn

，n,,，證：i .222．等比數(shù)列aa1nSSSS a2a

1n設(shè)bn1n

前n項(xiàng)的和為TnTn3變式訓(xùn)練2：已知數(shù)列a滿足

1(n 求數(shù)列an的通

若數(shù)列b滿足4b114b214bn1a1)bn(nN*，證明：數(shù)列b n1a1a2ann(nN*

放縮后為“差比”數(shù)列，再求3．已知數(shù)列{a}

1，

n

3n

放縮后成等差數(shù)列，再求4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,且a2a2S a2 求證：Sn n1222

Sn1強(qiáng)化訓(xùn)練f(x)1x2bx3，已知不論f(cos0 f(2sin0.對于正數(shù)列annSf(a(nN 求實(shí)數(shù)b的值；（II）求數(shù)列an的通

nN，且數(shù)列cnT，試比較T1

n1 n

已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和SS2a1)n 寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a3；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)證明：對任意的整數(shù)m4

11

a2

1,nN 求證：（1）對于nN恒有 a成立；（2）當(dāng)n2且n a a

1成立；（3）1

1

nn12

22006

技巧積累 1 1

C1

(n1)n(n

n(n

n(nn1Tr

Crnn

r!(nr)!

1

r(r

r

1(rr(11)n11n

2

3

n(n

2n(2n

2n1 1nnn1nnnnn(7)

n)

n

n2nn

2n3

(2n3)

1

1 k(n1

n1

kn

n(n1

k1

n1k

1 22n1 2n22n1 2nn2n(11)1n2n

2n1) nn1 n22(2n1)2

(2n1)(2n

(2n1)(2n

2n(2n1)(2n1

2n1

(n2n1

nn(n1)(nnn(n1)(nn(nn(nn1 n n

nnnn1n1 n2

nn nn(14)

2

3

1)2

1

32n1

k

(k2)1n(nn n1n(nni2 j2 i2i2 j2(i(ij)(i21 j2i21 j2i答案與提示一、先求和再放1.解：（1）由已知得

1)2n2

1)2

a2

，所以

2)0，又因?yàn)?/p>

為正nnnn所以an2n

a11，得a11nb n

1

)，所以an

(2n1)(2n

22n

2nB1(1111 )1 2n 2n 2(2n n+1

解:(Ⅰ)由Sn=an－×2+,n=1,2,3，?,①得

a1－

所以 n

Sn－1an－1×2 4

(an－an－1)－×(2－2),n=2,3, 整理得:a+2n=4(a+2n－1),n=2,3,?,因而數(shù)列{a+2na1+2=44的等比數(shù)列,即a+2n=4×4n－14nn=1,2,3,因而a4n－2n 4 1 4 1

×(4－2)－

=

=3

Tn=S=

=×(

— 3

23

2

Ti

2(2i－1

)2

×( 2

2n11)<二、先放縮再求2.AA

a，A

a，a

a，∴公比qa91

1

∴

(1)n2

bn

1

n2n

4n

SAqnA猜想∴Bbb

3（I）解：

1(nan112(an1an1是以a112為首項(xiàng)，2

12n

a221(nnn（II）證法一：4k114k21...4kn1a1)knnn4(k1k2kn)n2nkn ②－①，得2(bn11n1)bn1nbn

即

b0,

b(nN*b

2k 2k （III）證明：k ,k1,2,...,

2k1

1) 2a1a2...ann

2k 1k ,k1,2,...,

2k1 2(2k1 3.2k2k 3a1a2...

n1(11...

1)n1(11)n1

3

n1a1a2...ann(nN

n

所以 與a同號又因?yàn)閍10所以

0

即

n

0，即an1

．所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以

即

na

1

n1 n

nSn222

2Sn2223

12

1

1

n1

2n1，所以

3n1故得

3n13．放縮后成等差數(shù)列，再求4．解：（1）在條件中，令n1，得a2a2S2a，a0a1 nn由條件a2nn

，上述兩式相減，注意到

Sn(an1an)(an1an1)

an

an1an

∴an1an

an11(n1)n，

n(n2n(n n2(n

a2 所以Sn 2

4n(nn(n2n(n2

2n2（2）因?yàn)閚

n1，所

1221222

n(n22232n2n2 1 n(n22232n22222222 2222222

強(qiáng)化訓(xùn)練解：(Ⅰ)b1（利用函數(shù)值

2n2（Ⅲ）∵c

1

(2n

22n 2n3Tccc?

11

2 2n3 ⑵由已知得：aS 2a(1)n

(1)n1 a

2,

2

故數(shù)列 }是以a 為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列 故 2( ∴a2[2n2(1)n ∴數(shù)列{a}的通 為：a2[2n2(1)n]

1

3

222 23 2m2 們把上式中的分母中的1去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和，由于-1與1交 22 23

123 124

122

即可求和。這里需要對m進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)m為偶數(shù)(m41

1(

1)

113(1

1 2

131(1 1

13 （2）當(dāng)m是奇數(shù)(m4m11

11

所以對任意整數(shù)m4，有

1

78n n1 n n n n1 n n n（2）由 a2a1得： 1n n1 n n n n1 n n n??a21a1(a1an1anan1a2a11

an11anan1a2a1(a11，又a1