數(shù)學(xué)選修推理與證明

數(shù)學(xué)選修推理與證明第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六一、合情推理與演繹推理1.歸納推理和類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納).由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比).特征歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理.類比推理是由特殊到特殊的推理.

第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.合情推理(1)定義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理.(2)對合情推理的認(rèn)識:歸納推理合情推理類比推理第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六3.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理(邏輯推理).(2)特點(diǎn)：由一般到特殊的推理.(3)演繹推理是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式.演繹推理的一般模式——“三段論”：①大前提：已知的一般原理(M是P);②小前提：所研究的特殊情況(S是M);③結(jié)論：根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷(S是P).第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六二、綜合法和分析法1.綜合法(1)定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．又叫順推證法或由因?qū)Ч?第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)其推理方式可用框圖表示為：其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，Q1,Q2,…表示中間結(jié)論．綜合法常用的表達(dá)格式為：∵P，∴Q1;又∵Q1，∴Q2;…;又∵Qn，∴Q.第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.分析法(1)定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法.又叫逆推證法或執(zhí)果索因法.(2)其推理方式可用框圖表示為：其中Q表示要證明的結(jié)論．第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【辨析】綜合法與分析法的比較綜合法與分析法是直接證明的兩種基本方法，兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法解題方向較為明確，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡便地解決問題，但不便于思考.實(shí)際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后用綜合法有條理地表述解題過程.第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六三、反證法1.反證法一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.反證法的證明過程包括以下三個步驟第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六四、數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法的含義證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立.(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.對數(shù)學(xué)歸納法的幾點(diǎn)認(rèn)識(1)數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用于與正整數(shù)有關(guān)的問題.(2)兩個步驟缺一不可，否則不能說明結(jié)論成立.(3)在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)，進(jìn)行恒等變換.(4)完成第(1)和(2)證明后，要對命題成立進(jìn)行總結(jié).

第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六請你根據(jù)下面的體系圖快速回顧本章內(nèi)容，從備選答案中選擇準(zhǔn)確選項(xiàng)，填在圖中的相應(yīng)位置，構(gòu)建出清晰的知識網(wǎng)絡(luò)吧！第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六AGCFEDBH【備選答案】A.歸納推理B.間接證明C.演繹推理D.分析法E.由因?qū)Ч鸉.結(jié)論G.由特殊到特殊的推理H.數(shù)學(xué)歸納法第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六一、合情推理1.類比可以是形式的類比，用于發(fā)現(xiàn)結(jié)論；也可以是方法的類比，用于尋找方法.常見的類比有平面空間，等差數(shù)列等比數(shù)列，實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)，向量點(diǎn)乘積實(shí)數(shù)積等.2.合情推理與演繹推理既有聯(lián)系又有區(qū)別，它們相輔相成，前者是后者的前提，后者又論證前者的可靠性.第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【例1】(1)設(shè)f(x)=又記f1(x)=f(x),f(k+1)(x)=f［fk(x)］,k=1,2,…，則f2012(x)等于()(A)(B)x(C)(D)(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*)，則類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}(bn＞0,n∈N*)，若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*)，則可以得到bm+n=__________.第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,則T4，_________，___________，成等比數(shù)列.第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【解析】(1)選B.計算歸納得f4k(x)=x,k∈N*，從而f2012(x)=x.第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)觀察等差數(shù)列{an}的性質(zhì)：am+n=則聯(lián)想nb-ma對應(yīng)等比數(shù)列{bn}中的而{an}中除以(n-m)對應(yīng)等比數(shù)列中開(n-m)次方.答案：(3)根據(jù)類比原理知此題順次應(yīng)填答案：第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【例2】寫出用三段論證明f(x)=x3+sinx(x∈R)為奇函數(shù)的步驟.【解析】滿足f(-x)=-f(x)的函數(shù)是奇函數(shù).(大前提)因?yàn)閒(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x).(小前提)所以f(x)=x3+sinx是奇函數(shù).(結(jié)論)第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六二、直接證明綜合法和分析法是直接證明常用的兩個方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候分析法和綜合法交替使用.【例3】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)Tn=S2n-Sn，求證：Tn+1＞Tn.第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【解析】(1)由bn=an-1,得an=bn+1,代入an-1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1.整理得bn-bn+1=bnbn+1,由題意知，bn≠0(否則an=1與a1=2矛盾),從而得∵b1=a1-1=1,∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.∴=n,即第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)∵Sn=方法一(綜合法):∵Tn+1-Tn=∴Tn+1＞Tn.第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六方法二(分析法)：Tn+1＞Tn?S2n+2-Sn+1＞S2n-Sn?S2n+2-S2n＞Sn+1-Sn???2n+2＞2n+1?2＞1,顯然成立，故Tn+1＞Tn.第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六三、間接證明——反證法1.用直接法證明，較難入手，用反證法證明則簡潔明了.題目中如果有“不是”“至少”“不可能”等詞語時，通?？紤]反證法.第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.反證法.反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證明問題的一般步驟是：(1)分清問題的條件和結(jié)論；(2)假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立(否定結(jié)論)；(3)從假定和條件出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事實(shí)相矛盾或自相矛盾(推導(dǎo)矛盾)；(4)因?yàn)橥评碚_，所以斷定產(chǎn)生矛盾的原因是“假設(shè)”錯誤.既然結(jié)論的反面不成立，從而證明了原結(jié)論成立(結(jié)論成立).第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【例4】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1+S3=9+3(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn;(2)設(shè)bn=(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.【解析】(1)由已知得∴d=2,故an=2n-1+Sn=n(n+).第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)由(1)得假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r互不相等，且p,q,r∈N*)成等比數(shù)列，則即∵p,q,r∈N*,∴∴∴=pr,∴(p-r)2=0,∴p=r，這與p≠r矛盾.所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六四、數(shù)學(xué)歸納法1.歸納、猜想、證明是一種重要的數(shù)學(xué)思想，一般是先根據(jù)通項(xiàng)的遞推關(guān)系或者前n項(xiàng)和公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)前幾項(xiàng)的聯(lián)系猜測其通項(xiàng)公式，猜測要合理，然后根據(jù)已知條件對猜測的公式給出證明，其證明方法一般是數(shù)學(xué)歸納法.第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.數(shù)學(xué)歸納法解題步驟(1)當(dāng)n取第一個值n0(例如n0=1)時，證明命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立，并證明當(dāng)n=k+1時，命題也成立.于是對一切n≥n0，n∈N*,命題都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分為兩步.第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，這兩步是缺一不可的.第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【例5】在數(shù)列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列，bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測{an},{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【解析】(1)由條件得2bn=an+an+1,=bnbn+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜測an=n(n+1),bn=(n+1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時，由以上知結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時，結(jié)論成立，即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么當(dāng)n=k+1時，ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1==(k+2)2.所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立.由①②可知an=n(n+1),bn=(n+1)2對一切正整數(shù)都成立.第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)當(dāng)n=1時，當(dāng)n≥2時，由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)＞2(n+1)n.故綜上，原不等式成立.第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【例6】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知對任意的n∈N*,點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b＞0且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值;(2)當(dāng)b=2時，記bn=2(log2an+1)(n∈N*)，證明對任意的n∈N*,不等式成立.第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【解析】(1)由題意：Sn=bn+r,當(dāng)n≥2時，Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),由于b＞0且b≠1,所以n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列.又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,即解得r=-1.第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),所證不等式為①當(dāng)n=1時，左式=右式=左式＞右式，所以結(jié)論成立,②假設(shè)n=k(k∈N*)時結(jié)論成立，即則當(dāng)n=k+1時，第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六要證當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立，只需證即證由基本不等式得成立，經(jīng)驗(yàn)證等號不成立.所以，當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立.由①②可知，n∈N*時，不等式成立.第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六1.用反證法證明“如果a＞b，那么”，假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是()(A)(B)(C)(D)【解析】選D.假設(shè)結(jié)論不成立，即的否定為第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為()(A)1∶2(B)1∶4(C)1∶8(D)1∶16【解析】選C.∵兩個正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方.同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為1∶8.第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六3.若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM，ON上分別有點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則三角形面積之比如圖，若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP，OQ和OR上分別有點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)Q1，Q2和點(diǎn)R1，R2，則類似的結(jié)論為______________.第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六【解析】考查類比推理問題，由圖看出三棱錐P1-OR1Q1及三棱錐P2-OR2Q2的底面面積之比為又過頂點(diǎn)分別向底面作垂線，得到高的比為故體積之比為答案：第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六4.觀察下列等式：(1+x+x2)1=1+x+x2,(1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x4,(1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,(1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19