智能儀器的典型數(shù)據(jù)處理功能

智能儀器的典型數(shù)據(jù)處理功能第一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回5.1概述

數(shù)據(jù)處理是指對智能儀器的測試數(shù)據(jù)進(jìn)行加工和處理，以便進(jìn)行控制、顯示與記錄等；智能儀器系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)通過自動測量獲取，由于數(shù)值范圍的不同，精度要求不一致；參數(shù)可能與某個測量量相關(guān)，也可能與幾個測量量相關(guān)；輸入與輸出可能是線性的，也可能非線性；帶有干擾信號，需要濾波；

因此數(shù)據(jù)需進(jìn)行加工處理：數(shù)字濾波、數(shù)值計算、邏輯判斷、非線性補(bǔ)償?shù)?；第二頁，共六十六頁，編輯?023年，星期六下頁上頁返回5.1概述

與常規(guī)的模擬電路相比，智能儀器的數(shù)據(jù)處理具有如下優(yōu)點：

（1）可用程序代替硬件電路，完成多種運(yùn)算。（2）能自動修正誤差。（3）能對被測參數(shù)進(jìn)行較復(fù)雜的計算和處理。（4）能進(jìn)行邏輯判斷。（5）不但精度高，而且穩(wěn)定可靠，抗干擾能力強(qiáng)。特別是DSP器件的數(shù)值分析、FFT、語音、頻譜分析

第三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回5．2測量結(jié)果的非數(shù)值處理

一、查表查表法就是把事先計算或測得的數(shù)據(jù)按照一定順序編制成表格，根據(jù)被測參數(shù)的值或者中間結(jié)果，查出最終所需要的結(jié)果。

順序查表法

順序查表法就是從頭開始，按照順序把表中元素的關(guān)鍵項逐一地與給定的關(guān)鍵字進(jìn)行比較。若比較結(jié)果相同，所比較的元素就是要查找的元素；若表中所有元素的比較結(jié)果都不相同，則該元素在表中查找不到。

順序查表查找速度相對較慢。對于無序表，特別是在表中記錄不多的情況下，用順序查找法是適宜的。

第四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回2.對半查表法

設(shè)置兩個指針L0和Hi，分別保存表的下限值和上限值的序號，開始查表時設(shè)置Lo=0，Hi=N-1。設(shè)N個元素按照從小到大的順序排列，則中心元素的序號為：基本思想由此將表分為前半部分和后半部分。然后計算中心元素的地址：其中i為數(shù)據(jù)元素的字節(jié)數(shù)。

排列成一定規(guī)律的有序表不必逐個查表，可每次截取表的一半，逐步細(xì)分縮小查找范圍；第五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回

根據(jù)中心元素的位置找出中心元素，并和查表的元素進(jìn)行比較，若中心元素大于查表的元素，則選取表的前半部分，修改上限指針Hi：(下限指針Lo不變)

若中心元素小于查表的元素，則選取表的后半部分，修改下限指針Lo：(上限指針Hi不變)若中心元素等于查表的元素，則查表成功。

第六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回[例5．1]單片機(jī)溫度控制系統(tǒng)中，利用K分度號熱電偶進(jìn)行溫度檢測，現(xiàn)假設(shè)熱電偶輸出信號經(jīng)信號處理、單片機(jī)采集并完成標(biāo)度變換后的電壓代碼值為u1（mV），要求利用對半查表法查K分度表并經(jīng)計算獲得相應(yīng)的溫度值，將溫度值存入變量var中。對半查找程序框圖第七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回在Keilc51編程環(huán)境下查表子程序清單如下：unsignedcharu1;unsignedintvar;/*0～1300°C范圍的

K分度表，每隔10°C對應(yīng)一個電壓值*/unsignedcharcodeK_TABLE[131]={0，397，798，1203，1611，2022，2436，2850，3266，3681，4095，4508，4919，5327，5733，6137，6539，6939，7338，7738，8137，8537…};voidser2(void) /*查表子函數(shù)，由主函數(shù)調(diào)用，主函數(shù)略*/{unsignedintda=0，max，min，mid;da=u1*1000; /*u1擴(kuò)大1000倍*/max=130;min=0;while(1)第八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回{mid=(max+min)/2;/*中心元素位置*/if(K_TAB[mid]=da)var=mid*10;break;/*中心元素等于查表的元素,計算相應(yīng)溫度*/if(K_TAB[mid]>da)max=mid;elsemin=mid;if((max-min)<=1 /*線性插值計算溫度值*/{j=(K_TABLE[max]-K_TABLE[min])/10;/*表中相鄰兩值對應(yīng)溫度相差10°C*/j=(da-K_TABLE[min])/j;var=10*min+j;break;}}}第九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回3.計算查表法智能儀器中經(jīng)常使用的快速查表方法，僅適宜于有序表格。這種方法不需要像上述兩種方法那樣逐個比較表中的關(guān)鍵項，查出表中關(guān)鍵項的記錄，而是直接由關(guān)鍵項或經(jīng)過簡單計算，即可直接找到所需數(shù)據(jù)。

如單片機(jī)的數(shù)顯。數(shù)顯的段碼存放在固定的表格中，實際應(yīng)用時通過簡單計算查找相應(yīng)段碼的地址，找到段碼送到段碼驅(qū)動電路即完成顯示。第十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六二、排序

1.冒泡排序法

在有N個數(shù)據(jù)的數(shù)列中依次比較兩個相鄰的一對數(shù)據(jù)，如果不符合規(guī)定的遞增(或遞減)順序，則交換兩個數(shù)據(jù)的位置，接著比較第二對(第二個和第三個數(shù)據(jù))，直到數(shù)列所有的數(shù)據(jù)依次比較完畢后，第一輪比較結(jié)束，這時最大(或最小)的數(shù)據(jù)降到數(shù)列中最后的位置。第一輪排序需要進(jìn)行(N一1)次比較；同理，第二輪比較需要進(jìn)行(N一2)次比較，第二輪結(jié)束后，次最大(或最小)的數(shù)據(jù)排在底部往上第二位置上。重復(fù)上述過程，直至全部排完，從而實現(xiàn)這組數(shù)據(jù)由大到?。ɑ蛴尚〉酱螅┑捻樞蚺帕?。

例子見課本下頁上頁返回第十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回2.希爾排序法

先取一個正整數(shù)d1（d1＜n，n為數(shù)據(jù)個數(shù)），把全部記錄分成d1個組，所有相距為dl的數(shù)據(jù)看成是一組，然后在各組內(nèi)分別進(jìn)行插入排序，也就是在每組中將一個待排序的數(shù)據(jù)按其大小插到這組已經(jīng)排序的序列中的適當(dāng)位置，直到這組數(shù)據(jù)全部插入完畢為止；接著取d2（d2＜d1）

，重復(fù)上述分組和排序操作；直到di=1(i＞＝1)，即所有記錄成為一個組為止。希爾排序?qū)i的選擇沒有嚴(yán)格規(guī)定，一般選d1約為n／2，d2為d1／2，d3為d2／2，…，di＝1。這樣大大減少了數(shù)據(jù)移動次數(shù)，提高了排序效率。算法思路希爾排序被稱為“縮小增量排序”，容易編程，運(yùn)行較快；

第十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六取dl＝4，將數(shù)列分為4組：（86，90）、（75，33）、（50，15）、（40，70），對每組數(shù)從小到大進(jìn)行排序后為（86，90）、（33，75）、（15，50）、（40，70）此時進(jìn)行插入排序（即每組較小的數(shù)放在前面），原數(shù)列變?yōu)?86，33，15，40，90，75，50，70)[例5．2]設(shè)有一數(shù)列(86，75，50，40，90，33，15，70)，n＝8，將其按由小到大的順序排序。第一步下頁上頁返回第十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六取d2＝2，將數(shù)列分為2組：（86，15，90，50）、（33，40，75，70）對每組數(shù)從小到大進(jìn)行插入排序后為（15，50，86，90）、（33，40，70，75）此時數(shù)列變?yōu)椋?5，33，50，40，86，70，90，75）下頁上頁返回第二步取d3＝1，對第二步所得數(shù)列進(jìn)行插入排序后數(shù)列為（15，33，40，50，70，75，86，90）第三步第十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六void

shellsort1(int

a[],

int

n)

{

int

i,

j,

gap;

for

(gap

=

n

/

2;

gap

>

0;

gap

/=

2)

//步長

for

(i

=

0;

i

<

gap;

i++)

//直接插入排序

{

for

(j

=

i

+

gap;

j

<

n;

j

+=

gap)

if

(a[j]

<

a[j

-

gap])

{

int

temp

=

a[j];

int

k

=

j

-

gap;

while

(k

>=

0

&&

a[k]

>

temp)

{

a[k

+

gap]

=

a[k];

k

-=

gap;

}

a[k

+

gap]

=

temp;

}

}

}

下頁上頁返回第十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回5.3測量結(jié)果的數(shù)值處理

一、隨機(jī)誤差處理及數(shù)字濾波

隨機(jī)誤差(randomerror)由竄入儀器的隨機(jī)干擾所引起。它是指在相同條件下多次測量同一物理量時，其大小和符號作無規(guī)則的變化，且無法進(jìn)行預(yù)測，但在多次重復(fù)測量時，其總體服從統(tǒng)計規(guī)律的誤差。隨機(jī)誤差影響檢測結(jié)果精度，需消除或者減小測量誤差的影響，提高測量精度與可靠性；可采用硬件濾波，也可采用軟件濾波；第十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六與硬件濾波相比，數(shù)字濾波具有以下優(yōu)點：①因為用程序濾波，無需增加硬件設(shè)備，且可多通道共享一個濾波器(多通道共同調(diào)用一個濾波子程序)，從而降低了成本。②由于不用硬設(shè)備，各回路間不存在阻抗匹配等問題，故可靠性高，穩(wěn)定性好。③可以對頻率很低的信號(如0．01Hz以下)進(jìn)行濾波，這是模擬濾波器做不到的。④可根據(jù)需要選擇不同的濾波方法或改變?yōu)V波器的參數(shù)，使用方便、靈活。下頁上頁返回第十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回

1.程序判斷濾波

限幅濾波的基本算法是把兩次相鄰的采樣值相減，求出其增量(以絕對值表示)，然后與兩次采樣允許的最大差值(由被控對象的實際情況決定)△y進(jìn)行比較，若小于或等于△y，則取本次采樣值；若大于△y，則仍取上次采樣值作為本次采樣值，即：

|Y(k)－Y(k－1)|≤△y，則Y(k)=Y(k)，取本次采樣值；

|Y(k)－Y(k－1)|>△y，則Y(k)=Y(k－1)，取上次采樣值。式中Y(k)——第k次采樣值；

Y(k－1)——第(k－1)次采樣值；△y——相鄰兩次采樣值所允許的最大偏差，取決于采樣周期T及采樣值Y的動態(tài)響應(yīng)。

限幅濾波隨機(jī)干擾以尖峰的形式表達(dá)，如電流尖峰、變送器嚴(yán)重失真等，可采用程序判斷濾波。第十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六限幅濾波程序流程下頁上頁返回

這種濾波方法主要用于變化比較緩慢的參數(shù)，如溫度、物位等測量系統(tǒng)。門限值△y的選取是非常重要的，通?？筛鶕?jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)獲得，必要時也可由實驗得出。

代碼見課本第十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回限速濾波

限速濾波是用3次采樣值決定采樣結(jié)果，設(shè)采樣時刻tl、t2、t3所采集的參數(shù)分別為Y(1)，Y(2)，Y(3)，則

|Y(2)－Y(1)|≤△y，則Y(2)作為本次采樣值；

|Y(2)－Y(1)|>△y，則Y(2)不被采用，但仍保留，繼續(xù)采樣取得Y(3)；

|Y(3)－Y(2)|≤△y，則Y(3)作為本次采樣值；

|Y(3)－Y(2)|>△y，則取[Y(3)+Y(2)]/2作為本次采樣值。

第二十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六

限速濾波是一種折中的方法，既照顧了采樣的實時性，又兼顧了采樣值變化的連續(xù)性。這種方法的缺點是：①△y的確定不夠靈活，必須根據(jù)現(xiàn)場的情況不斷更換新值；②不能反映采樣點數(shù)N>3時各采樣數(shù)值受干擾的情況。因此，它的應(yīng)用受到一定的限制。在實際使用中，可用[|Y(1)－Y(2)|+|Y(2)－Y(3)|]/2取代△y，這樣也可以基本保持限速濾波的特性，雖然運(yùn)算量增加，但靈活性大為提高。

下頁上頁返回代碼見課本第二十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六2.中值濾波

中值濾波是對某一參數(shù)連續(xù)采樣N次(N取奇數(shù))，然后把N次采樣值順序排列，再取中間值作為本次采樣值。中值濾波對于去掉由于偶然因素引起的波動或采樣器不穩(wěn)定所引起的脈動干擾十分有效。對緩慢變化的過程變量采用此法有良好的效果，但不宜用于快速變化的過程參數(shù)(如流量)。

下頁上頁返回第二十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六

算術(shù)平均值濾波就是連續(xù)取N個采樣值進(jìn)行算術(shù)平均。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：3.算術(shù)平均值濾波式中，N為采樣次數(shù)，yi為第i次采樣值。顯然N越大，結(jié)果越準(zhǔn)確，但計算時間也越長。這種濾波方法適用于對壓力、流量等周期脈動的采樣值進(jìn)行平滑加工，但對脈沖性干擾的平滑作用不理想，不宜用于脈沖性干擾較嚴(yán)重的場合。下頁上頁返回第二十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六下頁上頁返回4.遞推平均值濾波

把N個測量數(shù)據(jù)y1、y2．．．、yN看成一個隊列，隊列的長度固定為N，每進(jìn)行一次新的測量，把測量結(jié)果作為隊尾的yN，而扔掉隊首的y1，這樣在隊列中始終有N個“最新”數(shù)據(jù)。計算濾波值時，只要把隊列中的N個數(shù)據(jù)進(jìn)行算術(shù)平均，就可以得到新的濾波值，這樣，每進(jìn)行一次測量，就可以計算得到一個新的平均濾波值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式N——遞推平均項數(shù)。式中——

第n次采樣值經(jīng)濾波后的輸出;——

未經(jīng)濾波的第n－i次采樣值;代碼見課本第二十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六遞推平均濾波法對周期性干擾有良好的抑制作用，平滑度高，靈敏度低;對偶然出現(xiàn)的脈沖干擾的抑制作用差，不易消除由于脈沖干擾引起的采樣值偏差，因此它不適用于脈沖干擾比較嚴(yán)重的場合，而適用于高頻震蕩系統(tǒng)。

N值的選取既要考慮計算濾波值時少占用計算機(jī)的時間，又能達(dá)到較好的濾波效果。參數(shù)流量壓力液位溫度N值1244～121～4下頁上頁返回第二十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六5.加權(quán)遞推平均值濾波

為了提高濾波效果，可將各次采樣值取不同的比例系數(shù)后再相加，這種方法被稱為加權(quán)平均濾波法。其運(yùn)算關(guān)系式為ci為加權(quán)系數(shù)，應(yīng)滿足：

下頁上頁返回可見，若采樣次數(shù)越靠后，則在平均值中占的比重越大；

適用于較大純滯后時間常數(shù)的對象和采樣周期較短的系統(tǒng)；不能迅速反映系統(tǒng)當(dāng)前受干擾程度；第二十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六6.一階慣性濾波（低通數(shù)字濾波）

無源濾波器RC電路是模擬通道間的常見濾波方法，RC低通濾波器的傳遞函數(shù)是下頁上頁返回是濾波器時間常數(shù)，其值越大，則濾波器截止頻率越低，輸出電壓越穩(wěn)定，但相位滯后越大；模仿上述思路，用軟件實現(xiàn)一階慣性濾波；第二十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六6.一階慣性濾波（低通數(shù)字濾波）

式中：xn是第n次采樣值，yn是第n次濾波輸出值，yn-1是第n－1次濾波輸出值。為濾波系數(shù)，Tf和T分別為濾波時間常數(shù)和采樣周期，α可以由實驗確定，只要使被測信號不產(chǎn)生明顯的紋波即可。下頁上頁返回思考：該算式是如何得到的？

第二十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六6.一階慣性濾波（低通數(shù)字濾波）

一階濾波器對周期性擾動有良好的抑制作用，適用于波動頻繁的參數(shù)濾波；但不能濾除頻率超過采樣頻率的1/2的干擾信號；其基本思想是，把本次采樣結(jié)果與上次濾波器輸出值進(jìn)行加權(quán)平均，因此在輸入中的快速干擾被濾除掉，僅僅剩下緩慢變化的信號，即低通濾波。下頁上頁返回第二十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六5.3.2、系統(tǒng)誤差的處理及傳感器的非線性校正系統(tǒng)誤差(systemerror)是指在相同條件下多次測量同一物理量，誤差的大小和符號保持不變或按一定規(guī)律變化。恒定不變的誤差稱為恒定系統(tǒng)誤差，而按一定規(guī)律變化的誤差稱為變化系統(tǒng)誤差。（對比隨機(jī)誤差）產(chǎn)生誤差的主要因素有：（1）測量裝置方面：標(biāo)尺刻度偏差，儀器內(nèi)部基準(zhǔn)；（2）環(huán)境方面：實際溫度與標(biāo)準(zhǔn)溫度偏差；（3）測量方法方面：近似的方法或公式；（4）測量人員方面：個人特點，估計讀數(shù)方式等；下頁上頁返回第三十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六1.系統(tǒng)誤差的模型校正法

在儀表中用運(yùn)算放大器電路測量電壓，常會引入零位誤差和增益誤差。設(shè)x是實際值，y是帶有誤差（零漂和誤差增益）的測量值，ε是干擾或零漂，i是放大器偏置電流，k是放大器增益，從輸出端y引一反饋量y′到輸入端以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

下頁上頁返回第三十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六假設(shè)實際值x與測量值y是線性關(guān)系，

即建立系統(tǒng)誤差模型為

為了消除系統(tǒng)誤差的影響求出x，需要先求出式中的系數(shù)b1、b0?，F(xiàn)在分別測量標(biāo)準(zhǔn)電源E和短路電壓信號，由此得到兩個方程：（可用模擬開關(guān)切換）下頁上頁返回第三十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六聯(lián)立求解，可得

于是經(jīng)過修正的被測量x為下頁上頁返回第三十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六校正系統(tǒng)誤差的關(guān)鍵是建立誤差模型；前例是個簡單線性誤差模型，實際過程并非如此；不能總是提前知道誤差模型，只能通過測量獲得一組反映被測量量特性的離散數(shù)據(jù)，利用這些離散數(shù)據(jù)建立一個能反映系統(tǒng)誤差的數(shù)學(xué)模型；即使有了數(shù)學(xué)模型，如果涉及N階多項式，計算太復(fù)雜、太費時；實際處理中，從系統(tǒng)實際精度出發(fā)，用逼近法來降低一個已知非線性特性函數(shù)的階數(shù)，來簡化數(shù)學(xué)模型；在實際的系統(tǒng)應(yīng)用中，誤差模型包含以下內(nèi)容：利用離散數(shù)據(jù)建立模型；對復(fù)雜模型進(jìn)行數(shù)學(xué)簡化；

下頁上頁返回第三十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六設(shè)有n+1組離散點：(x0,y0)，(x1,y1)，…，(xn,yn)，x∈[a，b]和未知函數(shù)f(x)，就是用n次多項式去逼近f(x)，使Pn(x)在節(jié)點xi處滿足下頁上頁返回下面介紹常用的代數(shù)插值法和最小二乘法一、代數(shù)插值法

第三十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六系數(shù)an，…，a1，a0應(yīng)滿足方程組：

要用已知的（xi,yi）(i=0,1,…,n)去求解方程組，即可求得ai(i=0,1,…,n)，從而得到Pn(x)。對于每一個信號的測量數(shù)值xi就可近似地實時計算出被測量yi=f(xi)≈Pn(xi)。

下頁上頁返回第三十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六實際應(yīng)用中，Xi與Yi可事先測試記錄，并離線計算出ai，編寫計算Pn（x）的代碼，即可對各個輸入值xi近似的實時計算出f（x）=Pn（x）

；

實際的離散點數(shù)量要多余方程階數(shù)；

通過實際的逼近精度來決定多項式次數(shù)；

對于直線線性函數(shù)，可選可用一階多項式；

類似拋物線可用二階多項式；可實際測試校正，以適當(dāng)增加階數(shù)以滿足精度要求；一般采用是線性插值（一階）和拋物線插值（二階）下頁上頁返回第三十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六最常用的多項式插值有：

線性插值和拋物線（二次）插值。

線性插值：從一組數(shù)據(jù)（xi,yi）中選取兩個有代表性的點（x0,y0）和（x1,y1），然后根據(jù)插值原理，求出插值方程Vi=|P1(Xi)－f(Xi)|,i=1,2,…,n–1若在x的全部取值區(qū)間[a,b]上始終有Vi＜ε(ε為允許的校正誤差)，則直線方程P1(x)=a1x+a0就是理想的校正方程。下頁上頁返回第三十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六線性插值舉例

0～490℃的鎳鉻—鎳鋁熱電偶分度表如表5.2。若允許的校正誤差小于3℃，分析能否用直線方程進(jìn)行非線性校正。

取A（0,0）和B（20.12,490）兩點，按式（4.23）可求得a1=24.245，a0=0，即P1(x)=24.245x，此即為直線校正方程。顯然兩端點的誤差為0。通過計算可知最大校正誤差在x=11.38mV時，此時P1(x)=275.91。誤差為4.09℃。另外，在240～360℃范圍內(nèi)校正誤差均大3℃。即用直線方程進(jìn)行非線性校正不能滿足準(zhǔn)確度要求。書P153下頁上頁返回第三十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六(2)拋物線插值（二階插值）在一組數(shù)據(jù)中選?。▁0,y0），（x1,y1），（x2,y2）三點，相應(yīng)的插值方程yxf（x）P（X）x0y0y1y2x2x1下頁上頁返回第四十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六現(xiàn)仍以表5.2所列數(shù)據(jù)說明拋物線插值的個體作用。節(jié)點選擇（0，0），（10.15，250）和（20.21，490）

可以驗證，用此方程進(jìn)行非線性較正，每點誤差均不大于3℃，最大誤差發(fā)生在130℃處，誤差值為2.277℃

下頁上頁返回第四十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六提高插值多項式的次數(shù)可以提高校正準(zhǔn)確度?？紤]到實時計算這一情況，多項式的次數(shù)一般不宜取得過高這種方法是將曲線y=f(x)按分成N段，每段用一個插值多項式Pni(x)來進(jìn)行非線性校正;

分段后的非線性特性可用一個直線方程來校正；即P1i（x）=a1ix+a0i(i=1,2…n)

折線的節(jié)點有等距和非等距兩種取法；下頁上頁返回(3)分段插值法第四十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六分段數(shù)N及插值多項式的次數(shù)n均取決于非線性程度和儀器的精度要求。非線性越嚴(yán)重或精度越高，則N取大些或n取大些，然后存入儀器的程序存儲器中。實時測量時只要先用程序判斷輸入x（即傳感器輸出數(shù)據(jù)）位于折線的哪一段，然后取出與該段對應(yīng)的多項式系數(shù)并按此段的插值多項式計算Pni(x)，就可求得到被測物理量的近似值。①等距節(jié)點分段插值

適用于非線性特性曲率變化不大的場合。下頁上頁返回第四十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六若采用等距節(jié)點的方法進(jìn)行插值，要使最大誤差滿足精度要求，分段數(shù)N就會變得很大（因為一般取n≤2）。這將使多項式的系數(shù)組數(shù)相應(yīng)增加。此時更宜采且非等距節(jié)點分段插值法。即在線性好的部分，節(jié)點間距離取大些，反之則取小些，從而使誤差達(dá)到均勻分布。見課本P155②.不等距節(jié)點分段插值對于曲率變化大的非線性特性下頁上頁返回第四十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六在表4.1中所列的數(shù)據(jù)中取三點（0，0），（10.15，250），（20.21，490），并用經(jīng)過這三點的兩個直線方程來近似代替整個表格。通過計算得：

可以驗證，用這兩個插值多項式對表4.1中所列的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性校正時，第一段的最大誤差發(fā)生在130℃處，誤差值為1.278℃，第二段最大誤差發(fā)生在340℃處，誤差1.212℃。顯然與整個范圍內(nèi)使用拋物線插值法相比，最大誤差減小約1℃。因此，分段插值可以在大范圍內(nèi)用較低的插值多項式（通常不高于二階）來達(dá)到很高的校正精度。下頁上頁返回第四十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六二、最小二乘法

利用代數(shù)插值得到的擬合曲線在n個節(jié)點上的校正誤差為0，因為擬合的曲線正好經(jīng)過離散點；但在非節(jié)點上，還是存在在誤差；（1）要么采用高階的插值多項式可提高擬合曲線精度，但后續(xù)計算困難；（2）要么將進(jìn)行多次分段，但將出現(xiàn)多組參數(shù)，也相對麻煩。最小二乘法能使擬合曲線更接近儀器的實際特性。下頁上頁返回第四十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六二、最小二乘法

設(shè)被逼近函數(shù)為f(xi),逼近函數(shù)為g(xi),xi為x上的離散點，逼近誤差為令使Ψ最小，即在最小二乘意義上使V（xi）最小化，這就是最小二乘法原理。具體實現(xiàn)方法有直線擬合法和曲線擬合法。下頁上頁返回第四十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六

設(shè)一組測試數(shù)據(jù)，現(xiàn)在要求出一條最能反映這些數(shù)據(jù)點變化趨勢的直線，設(shè)最佳擬合直線方程為式中a1、a0為直線方程系數(shù)，下面求出直線方程系數(shù)a1、a0。令

有

直線擬合法下頁上頁返回第四十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六根據(jù)最小二乘法的原理，按照求極限的方法，分別對α1、α0求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得

聯(lián)立求解，得下頁上頁返回第四十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六就可以求出直線方程系數(shù)，從而得到這組測量數(shù)據(jù)在最小二乘意義上的最佳擬合直線方程。對于非線性的曲線仍然采用分段逼近的方法將曲線分成n段，然后運(yùn)用上述的最小二乘法的擬合原則，分別求出每段的擬合直線系數(shù)a0與a1。即每段都采用最佳的直線擬合方程近似代替，以盡可能逼近。下頁上頁返回第五十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六曲線擬合

自變量x與因變量y之間的單值非線性關(guān)系可以自變量x的高次多項式來逼近對于n個實驗數(shù)據(jù)對（xi，yi）（i=1，2，…，n），則可得如下n個方程下頁上頁返回第五十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六解即為aj（j=0，…，m）的最佳估計值下頁上頁返回第五十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六例1：一個電壓測量系統(tǒng)，在輸入端分別輸入

X=1.0、2.0、3.0、4.0伏的標(biāo)準(zhǔn)電壓，輸出端的測量值分別為Y=1.2、2.3、3.4、4.3伏顯然有誤差，不可能逐點進(jìn)行測試，但可以通過一定的方法來建立兩者之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)X－Y為線性關(guān)系，且關(guān)系式為：

X＝AY＋B（1）A、B為待定系數(shù),取兩組測量數(shù)據(jù)(1,1.2),(4,4.3)代入(1)式得

1＝1.2A＋B4＝4.3A＋B解方程組得：A＝30/31，B＝－5/31，

第五十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六所以，X－Y的關(guān)系為：

X＝（30/31）Y－（5/31）（2）分別將測量值Y=1.2,2.3,3.4,4.3伏代入(2)式計算得：X=1.0、2.1、3.1、4.0伏顯然，在兩個端點處誤差為零，中間兩個點的誤差也明顯減小。

為了進(jìn)一步減小測量誤差，可以建立二階方程，如果采用分段建立線性插值方程，比建立高階方程效果好，不僅計算簡單而且精度高。

第五十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六1＋2＋3＋4＝1.2A＋B＋2.3A＋B＋3.4A＋B＋4.3A＋B1.2×1＋2.3×2＋3.4×3＋4.3×4＝1.2(1.2A＋B)＋

+2.3(2.3A＋B)＋3.4(3.4A＋B)＋4.3(4.3A＋B）

整理得11.2A＋4B＝1036.78A＋11.2B＝33.2聯(lián)立解得：A＝260/271，B＝－101/542直線擬合方程為：X＝(260/271)Y－(101/542)對比舉例：仍然計算例1的4組數(shù)據(jù)，將4組數(shù)據(jù)代入下面兩個方程第五十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六代數(shù)插值直線方程和最小二乘法直線擬合方程計算結(jié)果對比：（按四舍五入保留一位小數(shù)）實際值1.02.03.04.0測量值1.22.33.44.3插值方程計算值

1.02.13.14.0

誤差05％3％0最小二乘直線擬合方程計算值

1.02.03.14.0

誤差003％2.5％最小二乘法并不保證在結(jié)點處誤差為零，但可保證在整個測量范圍內(nèi)，所有結(jié)點處平均誤差最小。

第五十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六2、系統(tǒng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)校正法

當(dāng)難以進(jìn)行恰當(dāng)?shù)睦碚摲治鰰r，未必能建立合適的誤差校正模型。但此時可以通過實驗，即用實際的校正手段來求得校正數(shù)據(jù)，然后把校正數(shù)據(jù)以表格形式存人內(nèi)存。實時測量中，通過查表來求得修正的測量結(jié)果。

下頁上頁返回第五十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期六在儀器的輸入端逐次加入已知的標(biāo)準(zhǔn)電壓x1、x2、xn，并測出儀器對應(yīng)的輸出量y1、y2、yn。將輸出量y1、y2、yn存入存儲器中，它們的地址分別與x1、x2、xn對應(yīng)，這就建立了一張校正數(shù)據(jù)表。實際測量時，根據(jù)儀器的實際輸入量值x訪問存儲器的相應(yīng)的地址，讀出其中的y值，即得到經(jīng)過修正的被測量值。若實際輸入值x介于某兩個標(biāo)準(zhǔn)點xi

、xi+1之間，為了減小誤差，還要再作