方程的近似解

方程的近似解第一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、根的隔離與二分法(1)作圖法1.求隔根區(qū)間的一般方法第二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)逐步收索法由圖可見只有一個(gè)實(shí)根可轉(zhuǎn)化為以定步長h一步步向右搜索,若搜索過程也可從b開始,取步長h<0.第三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六2.二分法取中點(diǎn)對(duì)新的隔根區(qū)間重復(fù)以上步驟,反復(fù)進(jìn)行,得則誤差滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六例1.

用二分法求方程的近似實(shí)根時(shí),要使誤差不超過至少應(yīng)對(duì)分區(qū)間多少次?解:設(shè)故該方程只有一個(gè)實(shí)根

,欲使必需即可見只要對(duì)分區(qū)間9次,即可得滿足要求的實(shí)根近似值(計(jì)算結(jié)果見“高等數(shù)學(xué)”(上冊(cè))P177～178)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六二、牛頓切線法及其變形有如下四種情況:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六牛頓切線法的基本思想:程的近似根.記縱坐標(biāo)與同號(hào)的端點(diǎn)為用切線近似代替曲線弧求方在此點(diǎn)作切線,其方程為令y=0得它與x軸的交點(diǎn)其中再在點(diǎn)作切線,可得近似根如此繼續(xù)下去,可得求近似根的迭代公式:稱為牛頓迭代公式

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六牛頓法的誤差估計(jì):由微分中值定理得則得說明:用牛頓法時(shí),若過縱坐標(biāo)與異號(hào)的端點(diǎn)作切線,則切線與x軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)未必在機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六牛頓法的變形:(1)簡化牛頓法若用一常數(shù)代替即用平行則得簡化牛頓迭代公式.線代替切線,得優(yōu)點(diǎn):因而節(jié)省計(jì)算量.缺點(diǎn):逼近根的速度慢一些.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六(2)割線法為避免求導(dǎo)運(yùn)算,用割線代替切線,例如用差商代替從而得迭代公式:(雙點(diǎn)割線法)特點(diǎn):逼近根的速度快于簡化牛頓法,但慢于牛頓法.說明:若將上式中則為單點(diǎn)割線法,逼近根的速度與簡化牛頓法相當(dāng).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六例2.用切線法求方程的近似解,使誤差不超過0.01.解:由草圖可見方程有唯一的正實(shí)根,且機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六得而再求因此得滿足精度要求的近似解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六三.一般迭代法(補(bǔ)充)在隔根區(qū)按遞推公式則

即為原方程的根.①①稱為迭代格式,初值.否則稱為發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六例3.

用迭代法求方程解法1將方程變形為迭代格式為發(fā)散!解法2將方程變形為迭代格式為迭代收斂,1.32472為計(jì)算精度范圍內(nèi)的所求根.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六定理.(證明略)迭代法的斂散性與迭代函數(shù)的特性有關(guān).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束可以證明下述定理:第十五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六內(nèi)容小結(jié)1.隔根方法作圖法二分法2.求近似根的方法二分法牛頓切線法簡化牛頓法割線法一般迭代法思考與練習(xí)比較求方程近似根的方法之間的關(guān)系及優(yōu)缺點(diǎn).……習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束第