高中北師大版數(shù)學必修2學案第一章51平行關(guān)系的判定

5.1平行關(guān)系的判定[學習目標]1.理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的含義．2.會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3.能運用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān)系的簡單問題.【主干自填】1．直線與平面位置關(guān)系的表示文字語言符號語言直線a與平面α平行a∥α直線a與平面α相交a∩α＝A直線a在平面α內(nèi)aα2．直線與平面平行的判定定理3．平面與平面平行的判定定理【即時小測】1．思考下列問題(1)一條直線與一個平面的位置關(guān)系有哪幾種？提示：有三種位置關(guān)系如下圖：直線a在平面α內(nèi)(記作aα)，直線a與平面α相交(記作a∩α＝A)，直線a與平面α平行(記作a∥α)．(2)如下圖，平面α外的直線a平行于平面α內(nèi)的直線b.這兩條直線共面嗎？直線a與平面α相交嗎？提示：兩條直線共面，直線a與平面α不相交．(3)因為兩條相交直線確定唯一一個平面，這啟示我們嘗試用兩條相交直線來討論平面的平行問題．當三角板的兩條邊或課本的兩條相交邊所在直線分別與桌面平行時，情況又如何呢？提示：當三角板的兩條邊或課本的兩條相交邊所在直線分別與桌面平行時，這個三角板或課本所在平面與桌面平行．符號表示：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.圖形表示如圖．2．若A是直線m外一點，過A且與m平行的平面()A．存在無數(shù)個 B．不存在C．存在但只有一個 D．只存在兩個提示：A3．圓柱的兩個底面的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．平行或異面 D．相交或異面提示：B4．若a，b是異面直線，過b且與a平行的平面()A．不存在 B．存在但只有一個C．存在無數(shù)個 D．只存在兩個提示：B如右圖所示，a、b是異面直線，在b上任取一點P，過P作a′∥a，∴a′與b確定平面α.由于兩條相交直線僅確定一個平面，故α是唯一的．例1如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．求證：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[證明](1)∵E、H為AB，AD的中點，∴EH∥BD.∵EHeq\o(?,/)平面BCD，BD平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BDeq\o(?,/)平面EFGH，EH平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.類題通法1利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.2證線線平行的方法常用三角形中位線定理、平行四邊形性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平行公理等.eq\a\vs4\al([變式訓練1])如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點，M為SC的中點，求證：SA∥平面MDB.證明連接AC交BD于O點連接OM.∵M為SC的中點，O為AC的中點，∴OM∥SA.∵OM平面MDB，SAeq\o(?,/)平面MDB，∴SA∥平面MDB.例2如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，求證：平面C′DB∥平面AB′D′.[證明]∵AB綊CD綊D′C′，∴四邊形ABC′D′是平行四邊形，∴BC′∥AD′.又∵BC′eq\o(?,/)平面AB′D′，AD′平面AB′D′，∴BC′∥平面AB′D′.同理C′D∥平面AB′D′，∵BC′∩C′D＝C′，∴平面C′DB∥平面AB′D′.類題通法1要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個平面.2判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應遵循先找后作的原則，即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線.eq\a\vs4\al([變式訓練2])如圖，已知三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，求證：平面DEF∥平面ABC.證明在△PAB中，因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB，又知DEeq\o(?,/)平面ABC，因此DE∥平面ABC，同理EF∥平面ABC.又因為DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[證明](1)如圖，連接SB，∵E、G分別是BC、SC的中點，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EGeq\o(?,/)平面BDD1B1，∴直線EG∥平面BDD1B1.(2)連接SD，∵F、G分別是DC、SC的中點，∴FG∥SD.又∵SD平面BDD1B1，F(xiàn)Geq\o(?,/)平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.∵EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.類題通法要證明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面內(nèi)尋找兩條相交且與另一平面平行的直線．要證明線面平行，又需根據(jù)線面平行的判定定理，在平面內(nèi)找與已知直線平行的直線，即：eq\x(線線平行)eq\o(→,\s\up9(線面平行),\s\do9(的判定))eq\x(\a\al(線面,平行))eq\o(→,\s\up9(面面平行),\s\do9(的判定))eq\x(面面平行)eq\a\vs4\al([變式訓練3])如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是CB，CD，CC1的中點，求證：平面AB1D1∥平面EFG.證明如圖，連接BD.∵E、F分別為BC、CD的中點，∴EF∥BD.又BD∥B1D1，∴EF∥B1D1.又∵EFeq\o(?,/)平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1，同理可得EG∥平面AB1D1，又∵EF∩EG＝E，EF、EG平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1D1.易錯點?不能全面考慮空間問題[典例]設P是異面直線a，b外的一點，則過點P與a，b都平行的平面()A．有且只有一個 B．恰有兩個C．沒有或只有一個 D．有無數(shù)個[錯解]如圖所示，過點P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴過a1，b1有且只有一個平面．故選A.[錯因分析]錯解對空間概念理解不透徹，對P點位置沒有作全面的分析，只考慮了一般情況，而忽略了特殊情形．事實上，當直線a(或b)與點P確定的平面恰與直線b(或a)平行時，與a，b都平行的平面就不存在了．[正解]C課堂小結(jié)1.判定直線與平面平行的方法(1)定義法：直線與平面沒有公共點則線面平行；(2)判定定理：(線線平行?線面平行)，2.用定理證明線面平行時，在尋找平行直線可以通過三角形的中位線、梯形的中位線、平行線的判定等來完成.3.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.1．過直線l外兩點，作與l平行的平面，則這樣的平面()A．不可能作出 B．只能作出一個C．能作出無數(shù)個 D．上述三種情況都存在答案D解析設直線外兩點為A、B，若直線AB∥l，則過A、B可作無數(shù)個平面與l平行；若直線AB與l異面，則只能作一個平面與l平行；若直線AB與l相交，則過A、B沒有平面與l平行．2．若直線l不平行于平面α，且leq\o(?,/)α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交答案B解析直線l不平行于平面α，且leq\o(?,/)α，所以l與α相交．故選B.3．能保證直線a與平面α平行的條件是()A．bα，a∥bB．bα，c∥α，a∥b，a∥cC．bα，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a(chǎn)eq\o(?,/)α，bα，a∥b答案D解析A錯誤，若bα，a∥b，則a∥α或aα；B錯誤，若bα，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或aα；C錯誤，若滿足此條件，則a∥α或aα或a與α相交；根據(jù)線面平行的判定定理可知D正確．4．在正方體EFGH－E1F1G1