優(yōu)秀數(shù)學(xué)建模論文

PAGEPAGE12010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：PAGE15試卷綜合評(píng)價(jià)分析的數(shù)學(xué)模型摘要本文解決的是試卷綜合評(píng)價(jià)問題，基于對(duì)試題質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的理解，結(jié)合綜合評(píng)優(yōu)、圖形分析等方法，建立分層模型、灰色系統(tǒng)模型，對(duì)2006年至2009年數(shù)學(xué)一考研試題進(jìn)行評(píng)價(jià)，對(duì)2003年至2009年數(shù)學(xué)一考研試題的命題規(guī)律進(jìn)行分析。對(duì)于問題一：首先結(jié)合大綱和試題確定考研數(shù)學(xué)一的深度值、廣度值和技術(shù)性指標(biāo)，然后根據(jù)專家評(píng)定、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、小組預(yù)測(cè)給出標(biāo)準(zhǔn)試卷的各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)值，確立歷年試卷與標(biāo)準(zhǔn)試卷的數(shù)據(jù)對(duì)比關(guān)系，后建立分層模型，分別計(jì)算出試卷的深度、廣度、技術(shù)性以及綜合質(zhì)量。結(jié)果如下表：評(píng)價(jià)指標(biāo)年份相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)試卷的權(quán)向量綜合評(píng)分深度廣度技術(shù)性20061.031.010.959820071.071.000.939820081.041.000.919620091.051.000.9598對(duì)各項(xiàng)指標(biāo)分析：深度均偏高但幅度很??；廣度基本吻合標(biāo)準(zhǔn)；技術(shù)性均偏低但波動(dòng)不大；綜合評(píng)分均高，保持在一恒定范圍。對(duì)于問題二：基于問題一方法、結(jié)果的進(jìn)一步應(yīng)用，求得2003年到2009年的各項(xiàng)指標(biāo)，后用灰色系統(tǒng)模型計(jì)算出2010的度深度值、廣值和技術(shù)性指標(biāo)以及綜合質(zhì)量，從而運(yùn)用MATLAB軟件分別繪制03年到10年的質(zhì)量變化圖和深度權(quán)向量、廣度權(quán)向量、技術(shù)性權(quán)向量的變化圖。其變化如圖：權(quán)向量圖關(guān)鍵字：考研數(shù)學(xué)一分層模型灰色系統(tǒng)模型圖形分析1、問題重述各種考試對(duì)于試卷質(zhì)量的要求非常嚴(yán)格。如何保證試卷的質(zhì)量，確?？荚嚨墓⒏咝?、合理，是命題人和考生都特別關(guān)注的事情。不同的考試有不同的要求,考試的方式和內(nèi)容也有所不同,而考試的目的如水平考試、選撥考試、競(jìng)賽考試等對(duì)試題的要求也不盡相同,因此,評(píng)價(jià)試卷質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)也各不相同?？佳惺且豁?xiàng)選拔性考試，科目數(shù)學(xué)一又有別于其他科目。結(jié)合考試大綱和試題，運(yùn)用定性和定量相結(jié)合的方法，確立試卷的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)歷年考研數(shù)學(xué)一試卷進(jìn)行評(píng)價(jià)，并分析命題的規(guī)律性，是總結(jié)以往試卷質(zhì)量，改善今后試卷質(zhì)量的重要措施?；谝陨戏治龊吞接?，給出歷年考研數(shù)學(xué)一的試題，在參考考試大綱的基礎(chǔ)上，提出兩個(gè)具體問題：1.結(jié)合大綱要求，對(duì)2006年到2009年的考研數(shù)學(xué)一試題進(jìn)行定量分析評(píng)價(jià)；2.總結(jié)以往的考試規(guī)律，對(duì)2003年到2009年考研數(shù)學(xué)命題的規(guī)律性進(jìn)行分析。2、問題分析試卷質(zhì)量的綜合評(píng)價(jià)和命題的規(guī)律性分析分別屬于評(píng)價(jià)問題和預(yù)測(cè)問題。鑒于試卷評(píng)價(jià)的層次性和復(fù)雜性，我們選取層次模型加以分析，而對(duì)于試卷命題的規(guī)律性分析，我們運(yùn)用灰色系統(tǒng)模型和數(shù)學(xué)軟件加以解決。就考研數(shù)學(xué)一試卷本身來看，知識(shí)面有高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)三個(gè)部分組成，難易程度有難、中、易三個(gè)層次，題型有選擇題、填空題、綜合題三種，而綜合性和知識(shí)覆蓋面也是重要的隱含信息。從而，我們對(duì)所要解決的兩個(gè)問題具體分析如下：針對(duì)問題一：試卷質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)受到多方面因素的影響，具體總結(jié)為深度、廣度和技術(shù)性三個(gè)層面，而在試卷的命題過程中，三者的權(quán)重同等重要。其中深度與每套試卷中難、中、易三類題的分值大小相關(guān)；廣度與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)所占分值相關(guān)，技術(shù)性則包括覆蓋面、綜合性、題型比例，其中題型比例由選擇題、填空題、綜合題所占分值決定。在此基礎(chǔ)上，通過試卷與大綱的綜合分析，對(duì)各影響因素給出決定比值，從而依據(jù)各因素的相互影響因素建立分層模型，綜合得出2006年到2009年試卷的綜合評(píng)定值。通過所得值與標(biāo)準(zhǔn)值的比較，確定試卷質(zhì)量。 針對(duì)問題二：首先進(jìn)行定量分析：在問題一中，計(jì)算出2006年到2009年考研數(shù)學(xué)一試卷的深度值、廣度值、技術(shù)性指標(biāo)以及綜合質(zhì)量值，通過進(jìn)一步計(jì)算，我們得到2003年到2009年的深度值、廣度值、技術(shù)性指標(biāo)以及綜合質(zhì)量值。運(yùn)用灰色模型對(duì)2010年深度值、廣度值、技術(shù)性指標(biāo)分別加以計(jì)算、預(yù)測(cè)，對(duì)質(zhì)量結(jié)合問題一進(jìn)行計(jì)算。然后進(jìn)行定性分析：根據(jù)2003年到2010年各項(xiàng)值，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法找出其變化規(guī)律并用MATLAB軟件作圖，分析規(guī)律。模型假設(shè)1)假定自2003年起考試大綱沒有大的變動(dòng)；2)標(biāo)準(zhǔn)試卷的各項(xiàng)指標(biāo)為最優(yōu)；3)學(xué)生能力大致符合正態(tài)分布；4)專家對(duì)問題的難度估計(jì)無誤；5)各個(gè)指標(biāo)的定權(quán)無誤；6)深度、廣度和技術(shù)性指標(biāo)能被文中要素全面反映。4、符號(hào)說明序號(hào)符號(hào)符號(hào)說明1原始序列2為相應(yīng)的模擬誤差序列3將原始數(shù)據(jù)累加生成德序列4將原始數(shù)據(jù)作累加生成，第K個(gè)累加生成為元素5表示深度權(quán)向量中第K套試卷與標(biāo)準(zhǔn)試卷的比值6表示相應(yīng)的模擬序列7為相應(yīng)的模擬值8對(duì)作緊鄰均值生成的序列9X與的灰色關(guān)聯(lián)度10、、分別表示試卷的深度、廣度和技術(shù)性11、、分別表示試卷中的基本題、中等題、難題12對(duì)的權(quán)向量13（i=1,2,3）依次表示高數(shù)、線性代數(shù)、概率14分別表示標(biāo)準(zhǔn)試卷，03年試卷...09年試卷15X 對(duì)（i=1,2,3）的權(quán)向量16X對(duì)（i=1,2,3）的權(quán)向量17X對(duì)（i=1,2,3）的權(quán)向量18X對(duì)的權(quán)向量19試卷質(zhì)量的權(quán)向量5、模型的建立與求解5.1模型準(zhǔn)備參照大綱、結(jié)合試題，對(duì)2003年到2009年考研數(shù)學(xué)一試卷的深度值、廣度值和技術(shù)性指標(biāo)分別統(tǒng)計(jì)如下：表5.1：零三年到零九年考研數(shù)學(xué)的深度值深度年份難（分值）中（分值）易（分值）總分2003326949150200436734115020053170491502006357243150200734754115020083374431502009347640150分析：1.難、中、易三類題在歷年試卷中所占分值基本穩(wěn)定2.難、中、易三類題的比例基本符合34：72：44表5.2:零三年到零九年考研數(shù)學(xué)的廣度值廣度年份高等數(shù)學(xué)（分值）線性代數(shù)（分值）概率統(tǒng)計(jì)（分值）總分2003903030150200490303015020059030301502006903030150200782343415020088234341502009823434150分析：1.高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)在歷年中占分值基本穩(wěn)定2.高等數(shù)學(xué)所占比重最大3.三者所占分值比例基本為68：32：32表5.3:零三年到零九年考研數(shù)學(xué)的技術(shù)性指標(biāo)技術(shù)性年份各項(xiàng)技術(shù)評(píng)分覆蓋面（評(píng)分）綜合性（評(píng)分）題型比例選擇題（分值）填空題（分值）綜合題（分值）評(píng)分20038924241028200495322494102005810322494102006993224941020079940248692008983224941020099932249410說明：1.覆蓋面的滿分值為102.綜合性的滿分值為103.題型比例的綜合評(píng)分滿分為10分析：技術(shù)性指標(biāo)中覆蓋面、綜合性、題型比例各項(xiàng)值均穩(wěn)定5.2模型建立的建立、求解5.2.1問題一模型：5.2.1.1建立分層模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如下：uux0x7x6x5x4x3x2x1y11Z1Z2Z3y12y13y21y22y23y31y32y33圖1模型簡(jiǎn)圖5.2.1.25.2.1.2.1確立標(biāo)準(zhǔn)深度設(shè)試卷的深度、廣度、技術(shù)性分別為、、，它們對(duì)評(píng)價(jià)試卷的質(zhì)量是同等重要的。因此對(duì)試卷評(píng)定的權(quán)向量為=.試卷中的基本題、中等題、難題分別表示為、、，則令={，，}，對(duì)于一套標(biāo)準(zhǔn)試卷來說，比較適宜的難度比例應(yīng)該是30：50：20.對(duì)的成對(duì)比較矩陣為A，對(duì)的權(quán)向量為，則：A=將A按行求和取算術(shù)平均值,再歸一化得=5.2.1.2.2確立標(biāo)準(zhǔn)廣度在對(duì)試題的廣度進(jìn)行分析時(shí)，我們分別從高數(shù)、線性代數(shù)和概率三個(gè)方面的出題情況進(jìn)行考慮。（i=1,2,3）1、2、3依次表示高數(shù)、線性代數(shù)、概率根據(jù)最近大綱的規(guī)定，此三部分的比例應(yīng)為56：22：22比較恰當(dāng)。=5.2.1.2.3確立標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)性指標(biāo)在技術(shù)性方面的三個(gè)指標(biāo)中，依據(jù)它們對(duì)試卷質(zhì)量的的重要性對(duì)它們進(jìn)行定權(quán)為覆蓋面：題類：綜合試題指標(biāo)=5：3：4.=5.2.1.2.4確立歷年試卷與標(biāo)準(zhǔn)試卷的數(shù)據(jù)對(duì)比關(guān)系從到表示從2003年到2009年，表示標(biāo)準(zhǔn)試卷。它們?cè)诟黜?xiàng)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)中的得分或者數(shù)據(jù)應(yīng)該如下表所示：表5.42003年到2009年考研數(shù)學(xué)一在各項(xiàng)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)據(jù)或得分評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)試卷（年）深度廣度技術(shù)性易中難高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)概率統(tǒng)計(jì)覆蓋面綜合性題型比例y11y12y13y21y22y23y31y32y33標(biāo)準(zhǔn)x03075458433331010102003x13269499030308892004x236734190303091082005x3317049903030810102006x435724390303091092007x53475418234349992008x633744382343491082009x73476408234349109說明：1.標(biāo)準(zhǔn)深度（易、中、難比例）為30：75：452.標(biāo)準(zhǔn)廣度（高數(shù)、現(xiàn)代、概率的比例）為84：33：333.標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)性中覆蓋面、綜合性、題型比例均為105.2.1.3模型求解令X={,,,,,,,}先求出X 對(duì)（i=1,2,3）的權(quán)向量=再求出X對(duì)（i=1,2,3）的權(quán)向量=最后求出X對(duì)（i=1,2,3）的權(quán)向量=設(shè)X對(duì)的權(quán)向量為，則=（，，）。經(jīng)計(jì)算得：=；=；=。X對(duì)試卷質(zhì)量的權(quán)向量=（，，）W（z）W(X)==得出此向量后即得出了模型評(píng)價(jià)的綜合指標(biāo)。根據(jù)這個(gè)指標(biāo)數(shù)據(jù)的比例關(guān)系可以得出從2006年到2009年這四年間考研數(shù)學(xué)題目的質(zhì)量得分：分別為98、98、96、98（i=4,5,6,7）對(duì)于一份試卷的質(zhì)量來說，我們不能只看綜合指標(biāo)，由于三個(gè)因素間可能會(huì)互補(bǔ)，因此我們分別看三個(gè)指標(biāo)：對(duì)于深度來說所得的深度的權(quán)向量為：；對(duì)于廣度來說所得的權(quán)向量為：；對(duì)于技術(shù)性來說所得的權(quán)向量為：.5.2.2問題二模型定量分析：5.2.2.1運(yùn)用灰色系統(tǒng)模型對(duì)2010年考研數(shù)學(xué)一的深度權(quán)向量進(jìn)行預(yù)測(cè)設(shè)X（0）（k）表示深度權(quán)向量中第k套試卷與標(biāo)準(zhǔn)試卷的比值。則可得原始序列：={1.033,1.092,1.033,1.025,1.067,1.042,1.050}={1.033,2.125,3.158,4.183,5.250,6.292,7.342}對(duì)作緊鄰均值生成，令={1.033,1.579,2.6415,3.6705,4.7165,5.771,6.817}于是，=,Y==、白化方程為：及時(shí)間響應(yīng)公式：=求的模擬值={1.033,2.0946，3.1521，4.2054,5.2547,6.2998,7.3409}還原出的模擬值由得={1.033,1.0616,1.0578,1.0533,1.0493,1.0451,1.0411}計(jì)算x與的灰色關(guān)聯(lián)度：=0.1025=0.10615=0.00365=0,997>0.90精度為一級(jí)，關(guān)聯(lián)度為一級(jí)，可用進(jìn)行預(yù)測(cè)=8.378=1.0371所以可知2010年考研數(shù)學(xué)一的深度權(quán)向量為1.0371。5.2.2.1廣度權(quán)向量、技術(shù)性權(quán)向量以及質(zhì)量的計(jì)算運(yùn)用問題二中灰色模型同理可推算出2010年考研數(shù)學(xué)一的廣度權(quán)向量、技術(shù)性權(quán)向量分別為：1.04、1.00。運(yùn)用問題一分層模型可以計(jì)算出2010年考研數(shù)學(xué)一的質(zhì)量值為93.6則2003年到2009年深度權(quán)向量、廣度權(quán)向量、技術(shù)性權(quán)向量以及質(zhì)量的指標(biāo)或分值如下表：表5.5:2003年到2010年考研數(shù)學(xué)一各項(xiàng)評(píng)價(jià)結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)年份相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)試卷的權(quán)向量綜合評(píng)分深度廣度技術(shù)性20031.031.010.8293.720041.091.010.919920051.031.010.919720061.031.010.959820071.071.000.939820081.041.000.919620091.051.000.959820101.041.000.9493.6定性分析：運(yùn)用MATLBA軟件對(duì)2003年到2010考研數(shù)學(xué)一的深度權(quán)向量、廣度權(quán)向量、技術(shù)性權(quán)向量進(jìn)行整體分析，從而得出權(quán)向量變化規(guī)律圖： 圖2權(quán)向量變化規(guī)律圖質(zhì)量變化圖：圖3質(zhì)量變化圖6、模型結(jié)果的分析6.1模型一對(duì)2006年到2009年考研數(shù)學(xué)一質(zhì)量分析互發(fā)現(xiàn)，幾乎保持在同一水平，2008年稍略于其他三年。說明考研試卷的整體質(zhì)量高。對(duì)于三個(gè)指標(biāo)，我們不需要通過打分來具體分析，只需要通過數(shù)值來定量分析即可。我們統(tǒng)計(jì)了七年的數(shù)據(jù)，再次我們只需要分析最后一年的數(shù)據(jù)，各個(gè)權(quán)向量的第一個(gè)元素是標(biāo)準(zhǔn)試卷的相應(yīng)指標(biāo)值，將此值歸一化以便能更明晰地分析各個(gè)指標(biāo)。從而從各個(gè)指標(biāo)的變化來分析試卷。首先，深度指標(biāo)是大于一的，說明歷年出題的難度略微偏難，不過鑒于考研屬于選拔性考試而指標(biāo)數(shù)值也只是略微偏大，所以在可以接受的范圍內(nèi)。在這四年內(nèi)，2006年的試題最接近于標(biāo)準(zhǔn)值，在難度的控制上比其它三年略勝一籌，而2007年的難度較大。其次，廣度的契合度都很好，基本上沒有什么偏差，說明出題人對(duì)于大綱出題范圍和各個(gè)學(xué)科出題比例的把握都相當(dāng)?shù)轿?。最后?duì)于技術(shù)性來說，雖然各個(gè)偏差都在一定的范圍內(nèi)可以接受，但是各年還是有明顯差別2006年和2009年的技術(shù)性較好，而其他兩年的技術(shù)性略差。6.2模型二6.2.1定量計(jì)算結(jié)果分析本題在對(duì)10年試卷預(yù)測(cè)時(shí)，采用了深度、廣度和技術(shù)指標(biāo)權(quán)向量中03年到09年與標(biāo)準(zhǔn)試卷的比值作為各項(xiàng)指標(biāo)的度量標(biāo)準(zhǔn)，將標(biāo)準(zhǔn)試卷中各項(xiàng)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)取1。利用灰度預(yù)測(cè)，得到10年的深度、廣度和技術(shù)指標(biāo)值分別為1.0371、0.9959、0.9366，各項(xiàng)指標(biāo)灰色關(guān)聯(lián)度分別為0.997,0.9998和0.994，均大于0.9，說明精度為一級(jí)，關(guān)聯(lián)度為一級(jí)，估計(jì)值可以用。根據(jù)估計(jì)可知，10年試卷的各項(xiàng)指標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)試卷的差別很小，說明10年的試卷和標(biāo)準(zhǔn)試卷很接近。6.2.2對(duì)定性分析的結(jié)果圖2（權(quán)向量變化規(guī)律圖）和圖3（質(zhì)量變化圖）進(jìn)行分析圖2根據(jù)歷年試題的各項(xiàng)指標(biāo)的示意圖可以看出，廣度的分布基本上沒有變化，這說明出題人對(duì)于高考各部分的出題分量的把握是相當(dāng)恰當(dāng)?shù)?。?duì)于試題的深度也即試題的難度來說，把握起來還是有一定的困難的，所以會(huì)出現(xiàn)有一定規(guī)律的波動(dòng)現(xiàn)象，這是因?yàn)槊}專家在參考了上一年的試題答題情況和難度情況后，都會(huì)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整試題的難度以便于試題更符合大綱的要求，更能反映學(xué)生的真實(shí)水平。對(duì)于試題的技術(shù)含量來說，整體上呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，而在近幾年則維持在比較高的水平上起伏不大了，這是因?yàn)殡S著教育的改革，我國(guó)教育體制不斷完善，而因?yàn)槎嗄昕佳薪?jīng)驗(yàn)的積累，也使命題專家更能提高試題的技術(shù)含量，使研究生入學(xué)考試的試題得到不斷完善，是試題的可信度和穩(wěn)定性越來越強(qiáng)。圖3從試題的綜合質(zhì)量指標(biāo)來看每一年都有波動(dòng)，尤其以2003年和2010年為甚。出現(xiàn)此情況的原因是2003年試題的大綱和以后的大綱有一些變動(dòng)，而我們?cè)谀Ｐ图僭O(shè)的時(shí)候是以大綱不變動(dòng)作為基礎(chǔ)來評(píng)價(jià)的。而2010年的指標(biāo)是預(yù)測(cè)出來的，雖然在誤差范圍內(nèi)，但是主觀因素還是比較強(qiáng)，所以偏差較大。而中間幾年的試題綜合質(zhì)量指標(biāo)是令人滿意的，都能維持在一個(gè)較高的水平上而又有略微的浮動(dòng)。7、模型的評(píng)價(jià)與推廣結(jié)合問題1、2對(duì)所建模型加以評(píng)價(jià)和推廣：7.1模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：1.化繁為簡(jiǎn)，化模糊為清晰。通過試題來從定量和定性兩個(gè)方面來評(píng)價(jià)試卷的質(zhì)量不是一個(gè)簡(jiǎn)單的過程，因?yàn)樗]有提供可供利用的直接數(shù)據(jù)，我們不能直接通過成績(jī)分布來確定試題的質(zhì)量所以評(píng)價(jià)的方法就相當(dāng)模糊。而我們通過運(yùn)用層次分析法，引入三個(gè)跟試題質(zhì)量有關(guān)的指標(biāo)深度、廣度和技術(shù)性來定量評(píng)價(jià)試題的質(zhì)量。試題的深度、廣度和技術(shù)性可以通過試題和考試大綱來確定題目質(zhì)量的好壞，雖然在一定程度上說是有主觀色彩在里面的，但是卻大大降低了定性和定量分析的難度，并在一定的范圍內(nèi)可以分析和預(yù)測(cè)試題。2.統(tǒng)計(jì)樣本少。在第二問中，我們運(yùn)用的是灰度