2023有關(guān)于大二高等數(shù)學(xué)的小竅門

2023有關(guān)于大二高等數(shù)學(xué)的小竅門一、《高等數(shù)學(xué)》的特點

高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué),它是討論運動、討論無限過程、討論高維空間、討論多因素的作用。從觀點到方法都和初等數(shù)學(xué)有著本質(zhì)的差異。要想學(xué)習(xí)好《高等數(shù)學(xué)》,必需搞清《高等數(shù)學(xué)》的特點。

1.常量與變量高等數(shù)學(xué)能深刻體現(xiàn)"常'和"變'相互轉(zhuǎn)化的觀點。例如在求曲線的弧長,先視"常'為"變'(把弧長看成折線長的極限),再通過"變'(極限過程)達到"常'(求得弧的確定長度)。這是初等數(shù)學(xué)辦不到的。

2.直與曲高等數(shù)學(xué)把直線和平面作為曲線和曲面的特例,并認(rèn)為在肯定條件下"直'與"曲'可以相互轉(zhuǎn)化。例如,利用弧微分"以直代曲',通過積分又把"直轉(zhuǎn)化為曲'。

3.有限與無限運用分析運算(無限運算)極限,這是高等數(shù)學(xué)的重要特點,而初等數(shù)學(xué)只能進行有限次運算,有限與無限通過極限方法實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化。例如函數(shù)展成無窮級數(shù)。

4.特別與一般從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)意味著從特別到一般的過渡。

5.詳細(xì)與抽象抽象性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一,高等數(shù)學(xué)更加抽象,結(jié)果更加深刻。

由上可知,高等數(shù)學(xué)有兩個顯著的特征:一是內(nèi)容相當(dāng)豐富;二是理論體系中結(jié)構(gòu)簡單、層次繁多。為此,學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不能停留在書本上的機械學(xué)習(xí),而要用較高的.觀點,系統(tǒng)、全面和有重點地去把握其基本理論;要融會貫穿、綜合運用。另外高等數(shù)學(xué)的學(xué)問的綻開是由簡潔到簡單,由個別到一般,由基礎(chǔ)性概念到抽象性更高的一般性概念的一環(huán)套一環(huán)地進展著的。所以,只有對其學(xué)問的系統(tǒng)的挖掘與刨析,才能更好地找到學(xué)習(xí)的方法。

二、學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的方法

學(xué)習(xí)是學(xué)問的積累、加工和運用,學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)一般要經(jīng)過初學(xué)-精學(xué)-實踐三個不同的階段。處學(xué)階段是基礎(chǔ)階段,在這個階段里,主要是通過教學(xué)(自學(xué))獲得片斷的、零散的學(xué)問;要將高等數(shù)學(xué)各節(jié)中的基本概念、定理內(nèi)容及其論證,例題、習(xí)題一點點搞懂,在理解的基礎(chǔ)上加以記憶。精學(xué)階段是復(fù)習(xí)、整理、加工階段,分析、總結(jié)這個階段的重要任務(wù)。它是在初學(xué)階段的升華,要把握學(xué)問

的關(guān)鍵是要揭示理論結(jié)構(gòu)與內(nèi)在層次,學(xué)會用語言直接闡述,了解每一部分內(nèi)容在整體中的地位和作用;抓住實質(zhì)與內(nèi)在的聯(lián)系;并從豐富的內(nèi)容中,理出它們之間的聯(lián)系,只有這樣才能真正把握學(xué)問,形成堅固的記憶,培育技能與技巧。實踐階段主要是指通過學(xué)習(xí)后的科研與應(yīng)用實踐,是學(xué)習(xí)過程的后續(xù),是再學(xué)習(xí)、再熟悉的階段。在精學(xué)階段中的好壞將直接影響到本階段的工作效果。從方法上我們提倡掃瞄研讀復(fù)述溫習(xí)的學(xué)習(xí)方法,真正把高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到手,關(guān)鍵是狠抓基本理論和基本技能,對于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的詳細(xì)方法是:

⒈接收信息高校課堂教學(xué)進度快、內(nèi)容多,應(yīng)當(dāng)先預(yù)習(xí),邊看書邊動手演算推導(dǎo),看看自己哪些懂了哪些不懂,知己知彼,帶著問題有目的地聽課,適當(dāng)作些筆記,簡要登記重點、關(guān)鍵、思路、補充材料和自己的體會。

⒉如何消化材料依靠頭腦這個加工廠改造制作,溫故知新,由此及彼,由表及里。要經(jīng)受一個把書本由薄變厚(發(fā)揮),再由厚變薄(歸納)的過程,這是要下苦功夫的。

(1)把握基本概念數(shù)學(xué)講究規(guī)律思維,而規(guī)律思維無非是(在感性熟悉的基礎(chǔ)上)抽象出概念,運用概念進行推斷、作出推理。所以,概念是思維的基本元素,數(shù)學(xué)水平的凹凸在很大程度上取決于對數(shù)學(xué)概念理解的深度。這一點往往為初學(xué)者所忽視。由于數(shù)學(xué)概念比一般概念更抽象。而我們又是從書本上接受這些概念,缺乏直接閱歷,這種先天不足更待后天彌補。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念肯定得反復(fù)揣摩,如極限概念,先要有樸實的領(lǐng)悟(趨近),再到嚴(yán)格的敘述("-N'、"-'語言),才能逐步準(zhǔn)確理解。

(2)善用數(shù)學(xué)語言一般思維靠詞語,數(shù)學(xué)思維靠符號語言,它簡明精確?????、自成體系。高等數(shù)學(xué)符號繁多,含意豐富深刻。我們對兩種語言必需能互譯、運用自如。許多數(shù)學(xué)語言是以"構(gòu)件'形式反復(fù)消失的,如運算符號、演算公式,以及程式化的論證(如數(shù)學(xué)歸納法)、模式化的陳述(如"-'語言、"充要條件')、格式化的列表(如函數(shù)作圖時按肯定程序制表)等等。用時要嫻熟地"裝配'起來。

(3)搞清來龍去脈要將學(xué)問系統(tǒng)化,由點到線到面,就要串成鏈,織成網(wǎng)。詳細(xì)做法如下:

①理脈絡(luò)如極限方法貫穿于微積分的始終,其它主要概念(如導(dǎo)數(shù)、積分等)的建立;主要問題的解決都依靠于它,這條線索要理清晰。

②奠基石如重要極限limx0(1+x)1x的存在問題是微積分的基石之一,可認(rèn)真體會。

③建臺階如定積分、重積分、曲線、曲面積分等,都是和式的極限,但又層層深化和提高。

④樹大梁如向量方法在空間解析幾何中是主干,由它導(dǎo)出直線、平面等一系列公式和性質(zhì)。

⑤作比較如函數(shù)的連續(xù)性,在開區(qū)間和閉區(qū)間上的結(jié)論就不同。

⑥會拓廣如空間解析幾何是平面解析幾何的拓廣,多元函數(shù)微積分是一元函數(shù)微積分的拓廣,要論清在哪些地方是怎樣拓廣的。

⑦把握特例如羅爾定理、拉格朗日中值定理,都是泰勒公式的特例。

⑧形成學(xué)問鏈如微分中值定理、牛頓萊布尼茲公式、積分中值定理等。可形成一串,成為微積分的基本定理。另為在閉區(qū)間上函數(shù)可微連續(xù)可積有界的學(xué)問鏈,反之則不成立。

⑨學(xué)會歸納和舉反例如導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,名目繁多,在函數(shù)作圖中將各類應(yīng)用集中起來;如連續(xù)不肯定可微,舉一反例就能說明。

⑩織成學(xué)問網(wǎng)如微分學(xué)與解析幾何的某些結(jié)合,邊產(chǎn)生書中介紹的幾何初步學(xué)問(曲率、切線、切平面、法線、法平面等)。凡此種種,方法多樣,要敏捷運用。

(4)幾何直觀是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)最有效的渠道之一,要擅長查找各種概念的解釋。以上各項,都要靠認(rèn)真解刨書本,抓要害、求甚解。再用自己熟識的數(shù)學(xué)語言歸納整理,使學(xué)問系統(tǒng)化、條理化,了如指掌。

3.如何運用所學(xué)學(xué)問

(1)解題適當(dāng)多做習(xí)題,不但提高了解題力量,而且加深了對學(xué)問的理解。要留意積累解題途徑閱歷,準(zhǔn)時加以總結(jié)。詳細(xì)過程如下:

①抓題型：分得清題目類型,就能以少勝多,成片地獵取學(xué)問。如常微分方程按型求解。

②找方法：如積分最常用的方法是換元法和分部,還有許多特別技巧。③把握步驟如求最大(小)值的應(yīng)用題,須經(jīng)哪幾步才能得到結(jié)果,予以總結(jié)。

④尋規(guī)律：如導(dǎo)數(shù)是構(gòu)造性定義的(分三步:求增量、算比值、取極限),打算了求導(dǎo)數(shù)可以"機械化',這是一般規(guī)律;而不定積分是非構(gòu)造性定義的,作為導(dǎo)數(shù)的逆運算,無一般規(guī)律可循。但一般中又有特別,比如何時用法則求導(dǎo)、取對數(shù)求導(dǎo)、利用隱函數(shù)求導(dǎo)、利用微分形式不變性求導(dǎo),都有特別規(guī)律。又如定積分也是構(gòu)造性定義的,但極限過程中有兩個"無關(guān)'(與分法無關(guān)、與中間點取法無關(guān)),按定義難以算出,有了牛頓萊布尼茲公式才與原函數(shù)掛上了鉤。再如微元分析法在定積分、微分方程的應(yīng)用中是基本的一個環(huán)節(jié),要留意所找到的△S應(yīng)當(dāng)滿意△S=f(x)△x+o(△x),否則就找錯