函數(shù)的應(yīng)用二453模型

第一章4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)模型的作用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究1常見的函數(shù)模型1.思考辨析，判斷正誤×(1)實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間一定有確定的函數(shù)關(guān)系.(

)提示兩個(gè)變量之間可以有關(guān)系，但不一定是確定的函數(shù)關(guān)系.(2)函數(shù)模型中，要求定義域只需使函數(shù)式有意義.(

)提示函數(shù)模型中定義域必須滿足實(shí)際意義.(3)用函數(shù)模型預(yù)測的結(jié)果和實(shí)際結(jié)果必須相等，否則函數(shù)模型就無存在意義了.(

)提示擬合函數(shù)預(yù)測的結(jié)果近似的符合實(shí)際結(jié)果即可.××2.某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤如下表所示.B現(xiàn)構(gòu)建一個(gè)銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型，應(yīng)是下列函數(shù)中的(

)A.y＝log2x B.y＝2xC.y＝x2 D.y＝2x時(shí)間1234利潤

(千元)23.988.0115.99解析逐個(gè)檢驗(yàn)可得答案為B.3.國內(nèi)郵寄1000g以內(nèi)的包裹的郵資標(biāo)準(zhǔn)如下表：C如果某人在西安要郵寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他應(yīng)付的郵資是(

)A.5.00元

B.6.00元C.7.00元

D.8.00元運(yùn)送距離x(km)0<x≤500500<x≤10001000<x≤15001500<x≤2000…郵資y(元)5.006.007.008.00…20434.2014年我國人口總數(shù)約為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則預(yù)計(jì)________年我國人口將首次超過20億(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451).解析

設(shè)x年我國人口將超過20億，由已知條件：14(1＋1.25%)x－2014>20，課堂互動(dòng)題型剖析2題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型【例1】

某市“網(wǎng)約車”的現(xiàn)行計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：路程在2km以內(nèi)(含2km)按起步價(jià)8元收取，超過2km后的路程按1.9元/km收取，但超過10km后的路程需加收50%的返空費(fèi)(即單價(jià)為1.9×(1＋50%)＝2.85元/km). (1)將某乘客搭乘一次“網(wǎng)約車”的費(fèi)用f(x)(單位：元)表示為行程x(0<x≤60，單位：km)的分段函數(shù)；解由題意得，車費(fèi)f(x)關(guān)于路程x的函數(shù)為(2)某乘客的行程為16km，他準(zhǔn)備先乘一輛“網(wǎng)約車”行駛8km后，再換乘另一輛“網(wǎng)約車”完成余下行程，請問：他這樣做是否比只乘一輛“網(wǎng)約車”完成全部行程更省錢？請說明理由.解只乘一輛車的車費(fèi)為f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，換乘2輛車的車費(fèi)為2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元).因此40.3>38.8，所以該乘客換乘比只乘一輛車更省錢.1.利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn) (1)方法：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法及利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題. (2)注意：取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符.2.應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn) (1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集. (3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.思維升華【訓(xùn)練1】

某車間生產(chǎn)一種儀器的固定成本為10000元，每生產(chǎn)一臺(tái)該儀器需要增加投入100元，已知總收入滿足函數(shù)：(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)(用f(x)表示)；解

設(shè)每月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，車間所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收入＝總成本＋利潤)解

當(dāng)0≤x≤200時(shí)，f(x)＝－(x－150)2＋12500，所以當(dāng)x＝150時(shí)，有最大值12500；當(dāng)x>200時(shí)，f(x)＝30000－100x是減函數(shù)，f(x)<30000－100×200<12500.所以當(dāng)x＝150時(shí)，f(x)取最大值，最大值為12500.所以每月生產(chǎn)150臺(tái)儀器時(shí)，利潤最大，最大利潤為12500元.題型二指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型所以當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是1m/s.(2)某條鮭魚想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法(1)指數(shù)函數(shù)模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，對(duì)數(shù)函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解.(3)指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型，②依實(shí)際情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題，④得出結(jié)論.思維升華(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？【例3】為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測資料，如表所示.題型三建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題年序最大積雪深度x(cm)灌溉面積y(公頃)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描點(diǎn)畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象；解

描點(diǎn)、作圖，如圖(甲)所示：(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫出圖象；解

從圖(甲)中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y與最大積雪深度x滿足一次函數(shù)模型y＝a＋bx(a，b為常數(shù)且b≠0).取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，用計(jì)算器可得a≈2.4，b≈1.8.這樣，得到一個(gè)函數(shù)模型：y＝2.4＋1.8x，作出函數(shù)圖象如圖(乙)，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，估計(jì)若今年最大積雪深度為25cm，則可以灌溉土地多少公頃？解

由(2)得到的函數(shù)模型為y＝2.4＋1.8x，則當(dāng)x＝25時(shí)，y＝2.4＋1.8×25＝47.4，即當(dāng)最大積雪深度為25cm時(shí)，可以灌溉土地約為47.4公頃.建立擬合函數(shù)與預(yù)測的基本步驟思維升華【訓(xùn)練3】

某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，近年來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長.記2017年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬件)之間的關(guān)系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2017年和2019年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式.解最適合的函數(shù)模型是f(x)＝ax＋b，理由如下.若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時(shí)f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與已知相差太大，不符合.1.函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例主要包括三個(gè)方面： (1)利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題； (2)建立確定性的函數(shù)模型解決實(shí)際問題； (3)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題.2.在引入自變量建立函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，以使結(jié)果符合實(shí)際問題的要求.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3一、選擇題1.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況.A加油時(shí)間加油量(升)加油時(shí)的累計(jì)里程(千米)2020年5月1日12350002020年5月15日4835600注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程.在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為(

)A.8升

B.6升 C.4升

D.10升解析由表知：汽車行駛路程為35600－35000＝600(千米)，耗油量為48升，∴每100千米耗油量為8升.2.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組關(guān)于y，t的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的圖形.下列函數(shù)中，最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是(

)DA.y＝2t B.y＝2t2 C.y＝t3 D.y＝log2t解析

由題圖知，該函數(shù)可能是y＝log2t.故選D.3.某雜志能以每本1.20元的價(jià)格銷售12萬本，假設(shè)定價(jià)每降低0.1元，銷售量就增加4萬本，要使總銷售收入不低于20萬元，則雜志的價(jià)格最低為(

) A.0.5元

B.0.8元 C.1元

D.1.1元A解析設(shè)雜志的價(jià)格降低了x個(gè)0.1元，則此時(shí)價(jià)格為(1.20－x×0.1)元，賣出(12＋4x)萬本，設(shè)總銷售收入為y萬元，則y＝(1.20－0.1x)(12＋4x)＝－0.4x2＋3.6x＋14.4(x∈N*)，要使y≥20，即x2－9x＋14≤0，解得2≤x≤7，當(dāng)x＝7時(shí)，價(jià)格最低，為1.20－0.7＝0.5(元).4.某新款電視投放市場后第一個(gè)月銷售了100臺(tái)，第二個(gè)月銷售了200臺(tái)，第三個(gè)月銷售了400臺(tái)，第四個(gè)月銷售了790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x(1≤x≤4，x∈N*)之間關(guān)系的是(

) A.y＝100x B.y＝50x2－50x＋100 C.y＝50×2x D.y＝100xC解析將題目中的數(shù)據(jù)代入各函數(shù)中，易知指數(shù)型函數(shù)能較好地與題中的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng).5.在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(

)Bx1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01解析

由題中表格可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大的越來越快，分析選項(xiàng)可知B符合，故選B.二、填空題6.某工廠8年來某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，給出下列四種說法：①前三年中產(chǎn)量增長的速度越來越快；②前三年中產(chǎn)量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變.其中說法正確是______(填序號(hào)).②③解析由t∈[0，3]的圖象，聯(lián)想到冪函數(shù)y＝xα(0<α<1)，反映了C隨時(shí)間的變化而逐漸增長但速度越來越慢，由t∈[3，8]的圖象可知，總產(chǎn)量C沒有變化，即第三年后停止生產(chǎn).e6－18.現(xiàn)測得(x，y)的兩組對(duì)應(yīng)值分別為(1，2)，(2，5)，現(xiàn)有兩個(gè)待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對(duì)應(yīng)值為(3，10.2)，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型.甲解析

將x＝3分別代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×31＝8.由于10更接近10.2，所以選用甲模型.10.某公司試銷某種“上海世博會(huì)”紀(jì)念品，每件按30元銷售，可獲利50%，設(shè)每件紀(jì)念品的成本為a元.(1)試求a的值；(2)公司在試銷過程中進(jìn)行了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與每件銷售價(jià)x(元)滿足關(guān)系y＝－10x＋800.設(shè)每天銷售利潤為W(元)，求每天銷售利潤W(元)與每件銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)解析式；當(dāng)每件售價(jià)為多少時(shí)，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解

(1)∵按30元銷售，可獲利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.(2)∵銷售量y(件)與每件銷售價(jià)x(元)滿足關(guān)系y＝－10x＋800，則每天銷售利潤W(元)與每件銷售價(jià)x(元)滿足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1000x－16000＝－10(x－50)2＋9000，故當(dāng)x＝50時(shí)，W取最大值9000，即每件銷售價(jià)為50元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元.11.某人計(jì)劃購買一輛A型轎車，售價(jià)為14.4萬元，購買后轎車每年的保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)、年檢費(fèi)、停車費(fèi)等約需2.4萬元，同時(shí)汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價(jià)值的10%)，則大約使用________年后，用在該車上的費(fèi)用(含折舊費(fèi))達(dá)到14.4萬元.4解析

設(shè)使用x年后花費(fèi)在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元，依題意可得，(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化簡得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.0634>0，所以函數(shù)f(x)在(3，4)上有一個(gè)零點(diǎn).故大約使用4年后，用在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元.12.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來越多的家庭開始關(guān)注家庭成員的關(guān)系，一個(gè)以“從心定義家庭關(guān)系”為主題的應(yīng)用心理學(xué)的學(xué)習(xí)平臺(tái)，從建立起，得到了很多人的關(guān)注，也有越來越多的人成為平臺(tái)的會(huì)員，主動(dòng)在平臺(tái)上進(jìn)行學(xué)習(xí).已知前三年，平臺(tái)會(huì)員的個(gè)數(shù)如下表所示：建立平臺(tái)第x年123會(huì)員個(gè)數(shù)y(千人)142029解析從表格數(shù)據(jù)可以得知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，故不可能是①.因?yàn)楹瘮?shù)增長的速度越來越快，所以選擇③y＝m·ax＋n(a>0且a≠1)，13.某地區(qū)為響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，在2015年初，新建了一批有200萬平方米的廉價(jià)住房，供困難的城市居民居住.由于下半年受物價(jià)的影響，根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際情況，估計(jì)今后住房的年平均增長率只能達(dá)到5%. (1)經(jīng)過x年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房為y萬平方米，求y＝f(x)的表達(dá)式，并求此函數(shù)的定義域.解

經(jīng)過1年后，廉價(jià)住房面積為200＋200×5%＝200(1＋5%)；經(jīng)過2年后為200(1＋5%)2；…經(jīng)過x年后，廉價(jià)住房面積為200(1＋5%)x，所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N*).(2)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，并結(jié)合圖象求：經(jīng)過多少年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到300萬平方米？解

作函數(shù)y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0，x∈N*)的圖象，如圖所示.作直線y＝300，與函數(shù)y＝200(1＋5%)x的圖象交于A點(diǎn)，則A(x0，300)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的值就是函數(shù)值y＝300時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間x的值