高中數(shù)學(xué)人教B版五學(xué)案：第三單元 §3.4　不等式的實(shí)際應(yīng)用 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握建立一元二次不等式模型解決實(shí)際問題.2。掌握建立均值不等式模型解決實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)一不等式模型思考一般情況下,建筑民用住宅時(shí)，民用住宅商戶的總面積應(yīng)小于該住宅的占地面積，而窗戶的總面積與占地面積的比值越大，住宅的采光條件越好，同時(shí)增加相等的窗戶面積和占地面積，如何研究住宅的采光條件是變好了還是變差了？梳理建立不等式模型解決實(shí)際問題的過程：（1)理解題意，設(shè)出變量(必要時(shí)可畫出示意圖幫助理解）；(2）建立相應(yīng)的等量或不等量關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；（3)解決數(shù)學(xué)問題;（4)回歸實(shí)際問題,寫出準(zhǔn)確答案．知識(shí)點(diǎn)二常見的不等式模型1．一元二次不等式模型根據(jù)題意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函數(shù)，需要求變量的范圍或者最值,解決辦法是解一元二次不等式或配方法求最值,注意實(shí)際含義對(duì)變量取值范圍的影響．2．均值不等式模型根據(jù)題意抽象出的模型是（1）y＝x＋eq\f（a,x)(a＞0),（2)a＋b，ab中有一個(gè)是定值，求另一個(gè)的最值，解決辦法是應(yīng)用均值不等式，注意均值不等式成立的條件a＞0，b＞0，以及等號(hào)成立的條件是否具備．類型一一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用命題角度1范圍問題例1國(guó)家為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀調(diào)控,實(shí)行征收附加稅政策．現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不加收附加稅時(shí)，每年大約產(chǎn)銷100萬瓶，若政府征收附加稅,每銷售100元要征稅R元(叫作稅率R%），則每年的產(chǎn)銷量將減少10R萬瓶，要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取附加稅金額不少于112萬元，則R應(yīng)怎樣確定？反思與感悟解有關(guān)不等式應(yīng)用題的步驟（1)選用合適的字母表示題中的未知數(shù)．(2）由題中給出的不等量關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組）．(3）解所列出的不等式（組）．（4）結(jié)合問題的實(shí)際意義寫出答案．跟蹤訓(xùn)練1某熱帶風(fēng)暴中心B位于海港城市A東偏南30°的方向,與A市相距400km.該熱帶風(fēng)暴中心B以40km/h的速度向正北方向移動(dòng),影響范圍的半徑是350km。問：從此時(shí)起，經(jīng)多少時(shí)間后A市將受熱帶風(fēng)暴影響,大約受影響多長(zhǎng)時(shí)間？命題角度2最值問題例2甲、乙兩公司同時(shí)開發(fā)同一種新產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，對(duì)于函數(shù)f(x)，g（x）,當(dāng)甲公司投入x萬元作宣傳時(shí),若乙公司投入的宣傳費(fèi)小于f（x）萬元，則乙公司對(duì)這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險(xiǎn)，否則，沒有失敗的風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)乙公司投入x萬元作宣傳時(shí)，若甲公司投入的宣傳費(fèi)用小于g（x）萬元，則甲公司對(duì)這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險(xiǎn)，否則，沒有失敗的風(fēng)險(xiǎn)．（1)若f（0）＝10,g（0)＝20，試解釋它們的實(shí)際意義；（2)設(shè)f(x)＝eq\f(x，4）＋10，g（x）＝eq\r（x）＋20，甲、乙兩公司為了避免惡性競(jìng)爭(zhēng),經(jīng)過協(xié)商，同意在雙方均無失敗風(fēng)險(xiǎn)的情況下盡可能少地投入宣傳費(fèi)用，問甲、乙兩公司應(yīng)投入多少宣傳費(fèi)?反思與感悟與最值相關(guān)的二次函數(shù)問題的解題方法(1）此類問題一般涉及最大值、最小值的確定,實(shí)質(zhì)是求一元二次函數(shù)的最值，一般是根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次函數(shù),再通過配方求最值．（2)需要注意一元二次函數(shù)的對(duì)稱軸與實(shí)際問題中自變量范圍的關(guān)系，若對(duì)稱軸在取值范圍內(nèi)，則最值在對(duì)稱軸處取，若不在取值范圍內(nèi)，則根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定在哪一個(gè)端點(diǎn)處取最值．(3)對(duì)于列出的函數(shù)是分段函數(shù)的，則在每一段上求最值,再比較每個(gè)最值的大小．跟蹤訓(xùn)練2已知不等式sin2x－2asinx＋a2－2a＋2>0對(duì)一切x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．類型二均值不等式的實(shí)際應(yīng)用例3某單位決定投資3200元建一長(zhǎng)方體倉庫，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米造價(jià)40元，兩側(cè)用磚墻，每米造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元．(1）倉庫底面積S（m2)的最大允許值是多少？(2）為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？反思與感悟(1)求最值或者求取值范圍問題，首先考慮建立函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)的方法來求．均值不等式也是求最值的重要方法,尤其是出現(xiàn)和與積的形式，把所求的量放在不等式中去考查．(2）建立函數(shù)時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域，定義域是函數(shù)的三要素之一，不能忽視．在利用均值不等式解題時(shí)，要注意“一正、二定、三相等"，若取等號(hào)時(shí)的自變量的值取不到，此時(shí)應(yīng)考慮用函數(shù)的單調(diào)性．跟蹤訓(xùn)練3把一段長(zhǎng)16米的鐵絲截成兩段，分別圍成正方形，則兩個(gè)正方形面積之和的最小值為（）A．4B．8C．16D．321．某工廠第一年產(chǎn)量為A,第二年增長(zhǎng)率為a，第三年的增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則（)A．x＝eq\f（a＋b，2)B．x≤eq\f（a＋b，2）C．x>eq\f(a＋b,2)D．x≥eq\f（a＋b，2)2.某校要建一個(gè)面積為392m2的長(zhǎng)方形游泳池，并且在四周要修建出寬為2m和4m的小路(如圖所示)，則占地面積的最小值為________m2。3．某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比,如果在距離車站10公里處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站________公里處．4．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x件與單價(jià)P元之間的關(guān)系為P＝160－2x,生產(chǎn)x件所需成本為C＝500＋30x元,該廠日產(chǎn)量多大時(shí)，每天獲利不少于1300元？1.解不等式實(shí)際應(yīng)用題的解題思路eq\x(實(shí)際問題）eq\o(→,\s\up7(建模），\s\do5（審題、抽象概括、轉(zhuǎn)化））eq\x(數(shù)學(xué)問題）eq\o（→，\s\up7(建模)，\s\do5(推理演算））eq\x(數(shù)學(xué)模型答案)eq\o(→，\s\up7(驗(yàn)證)）eq\x（實(shí)際問題結(jié)論）2．建立一元二次不等式模型求解實(shí)際問題操作步驟為：(1)理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系;(2）建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；（3)解這個(gè)一元二次不等式，得到實(shí)際問題的解．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考設(shè)a和b分別表示住宅原來窗戶的總面積和占地面積，m表示增加的面積，則只需比較eq\f(a,b）與eq\f（a＋m，b＋m)的大小即可．題型探究類型一命題角度1例1解設(shè)產(chǎn)銷量每年為x萬瓶，則銷售收入每年70x萬元，從中征收的金額為70x·R％萬元，其中x＝100－10R.由題意，得70(100－10R）·R％≥112，整理，得R2－10R＋16≤0.因?yàn)棣ぃ?6＞0，所以方程R2－10R＋16＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為R1＝2，R2＝8.由二次函數(shù)y＝R2－10R＋16的圖象，得不等式的解集為{R|2≤R≤8｝．所以當(dāng)2≤R≤8時(shí),每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取附加稅金額不少于112萬元．跟蹤訓(xùn)練1解如圖，以A市為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳B＝400,∠BAx＝30°，所以熱帶風(fēng)暴中心B的坐標(biāo)為(200eq\r（3)，－200），xh后熱帶風(fēng)暴中心B到達(dá)點(diǎn)P（200eq\r（3),40x－200）處，由已知，A市受熱帶風(fēng)暴影響時(shí)，有｜AP｜≤350,即（200eq\r(3）)2＋（40x－200）2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0,解不等式，得3.75≤x≤6.25，A市受熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為6．25－3。75＝2.5,故在3.75h后，A市會(huì)受到熱帶風(fēng)暴的影響,時(shí)間長(zhǎng)達(dá)2.5h.命題角度2例2解(1）f（0)＝10表示當(dāng)甲公司不投入宣傳費(fèi)時(shí),乙公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗風(fēng)險(xiǎn),至少要投入10萬元宣傳費(fèi)；g（0)＝20表示當(dāng)乙公司不投入宣傳費(fèi)時(shí)，甲公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險(xiǎn),至少要投入20萬元宣傳費(fèi)．(2）設(shè)甲公司投入宣傳費(fèi)x萬元，乙公司投入宣傳費(fèi)y萬元，若雙方均無失敗的風(fēng)險(xiǎn)，依題意,當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y≥fx＝\f（1，4)x＋10,，x≥gy＝\r（y）＋20）)成立．故y≥eq\f（1，4）(eq\r(y）＋20）＋10，則4y－eq\r（y)－60≥0，所以(eq\r(y)－4)（4eq\r(y)＋15）≥0，得eq\r（y)≥4，故y≥16，x≥eq\r(y）＋20≥24，即在雙方均無失敗風(fēng)險(xiǎn)的情況下盡可能少地投入宣傳費(fèi)用，甲公司應(yīng)投入24萬元宣傳費(fèi)，乙公司應(yīng)投入16萬元宣傳費(fèi)．跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)f（x）＝sin2x－2asinx＋a2－2a＋2,則f(x）＝（sinx－a）2＋2－2a。當(dāng)a<－1時(shí)，f(x)在sinx＝－1時(shí)取到最小值，且f（x)min＝a2＋3，a2＋3〉0顯然成立，∴a<－1。當(dāng)－1≤a≤1時(shí),f(x）在sinx＝a時(shí)取到最小值,且f(x)min＝2－2a，由2－2a>0，解得a〈1,∴－1≤a<1。當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在sinx＝1時(shí)取到最小值，且f(x）min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3〉0，解得a<1或a〉3，∴a〉3.綜上所述，a的取值范圍為a〈1或a〉3。類型二例3解(1）設(shè)鐵柵長(zhǎng)為xm,一側(cè)磚墻長(zhǎng)為ym,則有S＝xy.由題意得40x＋2×45y＋20xy＝3200。由均值不等式，得3200≥2eq\r（40x·90y）＋20xy＝120eq\r(xy)＋20xy＝120eq\r(S）＋20S，∴S＋6eq\r(S）≤160,即（eq\r(S）＋16）（eq\r（S）－10）≤0?！遝q\r(S)＋16〉0，∴eq\r(S)－10≤0,∴S≤100.∴S的最大允許值是100m2.(2)由(1）知取得最大值的條件是40x＝90y,而xy＝100,由此求得x＝15,即鐵