橢圓的參數(shù)方程(公開課)

橢圓的參數(shù)方程復(fù)習(xí)回顧1.圓的參數(shù)方程是什么?圓x2+y2=r2(r>0)的參數(shù)方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程:問題:你能仿此推導(dǎo)出橢圓的參數(shù)方程嗎？其中參數(shù)的幾何意義為:∠AOP=θ2.圓參數(shù)的幾何意義是什么?xyOPAθθ為圓心角問題:你能仿此推導(dǎo)出橢圓的參數(shù)方程嗎？是焦點(diǎn)在X軸的橢圓的參數(shù)方程問題:你能仿此推導(dǎo)出橢圓的參數(shù)方程嗎？是焦點(diǎn)在Y軸的橢圓的參數(shù)方程1.在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).a>b

2.稱為離心角,規(guī)定參數(shù)的取值范圍是φOAMxyNB注意：3.是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.練習(xí)1：把下列普通方程化為參數(shù)方程.

(1)(2)把下列參數(shù)方程化為普通方程例1.在橢圓上求一點(diǎn)P,使P到直線的距離最小.解法一：設(shè)則點(diǎn)到直線距離

，其中此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng)即時(shí)，d取最小值.

解法二:把直線平移至,與橢圓相切,此時(shí)的切點(diǎn)就是最短距離時(shí)的點(diǎn).

由由圖形可知：時(shí)到直線的距離最小,此時(shí).即設(shè)變式1:己知M(x,y)是橢圓任一點(diǎn)，求的取值范圍________.變式2、已知橢圓有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。變式3:已知A,B兩點(diǎn)是橢圓與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形OAPB的面積最大.變式2、已知橢圓有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX變式3:已知A,B兩點(diǎn)是橢圓與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形OAPB的面積最大.（1）橢圓的參數(shù)方程,特別注意參數(shù)的幾何意義；（2）橢圓的參數(shù)方程在求最值，范圍問題上有其優(yōu)越性；知識(shí)點(diǎn)小結(jié)當(dāng)焦點(diǎn)在X軸時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸時(shí)例1、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（a＞b＞0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作AN⊥ox，垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程.

問題：1.如何求點(diǎn)的軌跡。2.點(diǎn)M的坐標(biāo)與A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系3.怎樣引進(jìn)參數(shù)使A、B的坐標(biāo)建立聯(lián)系.OAMxyNB例1、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（a＞b＞0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作AN⊥ox，垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程.

分析：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同.

而A、B的坐標(biāo)可以通過引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系.設(shè)∠XOA=φOAMxyNB例1、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（a＞b＞0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作AN⊥ox，垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程.

OAMxyNB解：設(shè)∠X