第10講雙曲線漸近線的幾何性質(zhì)探究-備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)之解析幾何講義Word版含答案

第10講：雙曲線漸近線的幾何性質(zhì)探究1.如圖，圓，漸近線，準線及圓四者交于點.關(guān)于點，有如下的性質(zhì)：（1）直線垂直于漸近線且，又，故是雙曲線的特征三角形；（2）直線與圓切于點.2.如圖，圓與漸近線相交于點，設(shè)與漸近線相交于點，若恰為的中點，則有：（1）；（2）圓，漸近線，準線及圓四者交于點；點與點關(guān)于軸對稱；（3），是等邊三角形.例1.求雙曲線的實半軸長，虛半軸長，焦點坐標，頂點坐標，離心率，漸近線方程.求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的方程.

方法指導(dǎo)（1）與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為的形式，的值為正時焦點在軸上，為負時焦點在軸上.如果雙曲線的漸近線方程是，求離心率.根據(jù)以下條件，分別求出雙曲線的標準方程.（1）過點，離心率.（2）已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則C的方程為（）A． B．C． D．例5．雙曲線的一個焦點為，過點作雙曲線的漸近線的垂線，垂足為，且交軸于，若為的中點，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．四．練習(xí)題1．已知雙曲線：與橢圓有公共焦點，的左?右焦點分別為，，且經(jīng)過點，則下列說法正確的是（）A．雙曲線的標準方程為B．若直線與雙曲線無交點，則C．設(shè)，過點的動直線與雙曲線交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率存在，且分別記為，，則D．若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，則（為坐標原點）的面積為定值1【答案】ACD【分析】對A，根據(jù)橢圓與雙曲線共焦點及雙曲線過點T建立方程組解出a,b，進而得到答案；對B，結(jié)合雙曲線的漸近線即可判斷B；對C，設(shè)出動直線方程并代入雙曲線方程，進而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案；對D，考慮動直線斜率存在和不存在兩種情況，若斜率存在，設(shè)出直線的斜截式，并代入雙曲線方程，根據(jù)判別式為0得到間的關(guān)系，然后解出點M的坐標，求出和O到直線的距離，最后求出面積.【詳解】對于A選項，由題意，且，聯(lián)立解得，所以雙曲線的標準方程為，故A正確；對于B選項，因為雙曲線的漸近線方程為，所以直線與雙曲線無交點，則，故B錯誤；對于C選項，過點的動直線斜率存在且不為0，故設(shè)該動直線為.設(shè)，，聯(lián)立得，所以解得且且，，，則，故C正確；對于選項D，由于動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，當直線的斜率不存在時，：，，；當動直線的斜率存在時，且斜率時，不妨設(shè)直線：，故由，從而，化簡得.又因為雙曲線的漸近線方程為，故由從而點.同理可得，，所以，又因為原點到直線：的距離，所以，又由，所以，故的面積為定值1，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題的選項D比較復(fù)雜，對于此類問題要注意兩個方面：①設(shè)直線方程（斜截式結(jié)構(gòu)簡單）時一定要考慮直線的斜率是否存在；②思路一定要直接，既然求三角形的面積，那么最直接的方法就是求出三角形的底和高.2．已知雙曲線的離心率為，過的左焦點作直線，直線與雙曲線分別交于點，與的兩漸近線分別交于點，若，則______.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率與左焦點可得雙曲線,再根據(jù)可得為的中點,再設(shè),根據(jù)可得坐標,代入漸近線方程可求得關(guān)于的表達式,再代入雙曲線求得,進而求出直線的方程,再聯(lián)立雙曲線與其漸近線的方程即可得.【詳解】因為雙曲線的離心率為,左焦點,故又,故故.因為,故為的中點.設(shè),因為,故,解得.不妨設(shè)在漸近線上,則,即.代入則,解得,即.故直線的斜率,故的方程：.聯(lián)立雙曲線方程：即.設(shè),則.再聯(lián)立漸近線,即.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了雙曲線中的坐標計算以及聯(lián)立直線與雙曲線的以及漸近線的方程求解坐標與弦長的問題,需要根據(jù)題意設(shè)點的坐標,并根據(jù)點在雙曲線或漸近線上進行計算求解.主要是計算難度較大,需要用到韋達定理以及弦長公式等進行簡化,屬于難題.3．設(shè)直線與雙曲線交于M，N兩個不同的點，F(xiàn)為右焦點.（1）求雙曲線C的漸近線方程及兩條漸近線所夾的銳角；（2）當時，設(shè)直線與C交于M，N，三角形面積為S，判斷：是否存在k使得成立？若存在求出k的值，否則說明理由.【答案】（1）雙曲線的漸近線方程為，它們所夾的銳角為（2）存在，或【分析】（1）令得出漸近線方程，而后求出所夾的銳角；（2）將直線方程代入到雙曲線方程消去x并化簡，進而利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合三角形面積公式求得答案.（1）由題意，令，所以雙曲線的漸近線方程為，易得它們所夾的銳角為.（2）右焦點F的坐標為，設(shè)，聯(lián)立得，化簡得或且，所以，又，所以三角形面積，即或，滿足題意，所以存在或使得成立.【點睛】當在思考三角形面積這一