2023考研概率統(tǒng)計全考點精講-第四講 隨機變量的數(shù)字特征

22第四講隨機變量的數(shù)字特征【考試要求】理解隨機變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會運用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征.會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.考點：數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的定義（1）離散型設(shè)X的分布律為P{X=xJ=p,（=l,2,?..），若￡xjPj絕對收斂，貝ij稱為X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為E（X）或欣，即以乂）=￡皿./=!/=!（2）連續(xù)型設(shè)X的概率密度為/■（》），若匚歲'（X）公絕對收斂，則稱匸打⑴必?為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X）或欣，即E（X）=^xf（x）dx.【例1【例1】設(shè)隨機變量X的概率密度為=<a+bx,O<x<\0,其他EX=—,則〃= ,b= . 12數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1） E（C）=C,其中C為常數(shù).（2） E（CX）=CE（X）,其中C為常數(shù).（3） E（X+V）=E（X）+E（y）,E（X-y）=E（X）-E（y）.<4）若隨機變量x,v相互獨立，則E（xr）=E（x）E（r）,反之不對.一般地，若X],…,X”相互獨立，則E(X「.?X,,)=E(X|)???E(X“).【注】E(xr)=E(X)E(r)X,Y獨立，E(XY)=E(X)E(Y)^X,Y不相關(guān).隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一維隨機變量函數(shù)的期望設(shè)丫是隨機變量X的函數(shù)，即v=g(x),其中g(shù)是連續(xù)函數(shù).設(shè)X是離散型隨機變量，其分布律為P{X=Xj}=Pj0=l,2,???)，若￡g(x,)p,?絕對收斂，則E(y)=E[g(X)]=￡g(xJpj.J=1 f=l設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為/'(X)，若匚g(x)f(x)女絕對收斂，則E(K)=E[g(X)]=「＞(x)/(x)M【例2】設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,1)，則￡(Xe2X)= ..維隨機變量函數(shù)的期望設(shè)Z是二維隨機變量(X,K)的函數(shù)，即Z=g(X,V),其中g(shù)是連續(xù)函數(shù).設(shè)(X,V)為離散型隨機變量，其分布律為p{x=xitY=yj}=pg,lj=1,2,…若￡zg(和為)p狀絕對收斂，則J=li=lE(Z)=E[g(X,Y)]=￡￡g(w腕.i=l)=1設(shè)(x,v)為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，(x,y),若g(x,y)f絕對收斂，則E(Z)=J：dx\2g(x,y)f(x,y)dy.

【例3】設(shè)隨機變量(X,Y)的分布律為求求：(1)E(XY).(2)令W=(X—V)2,求E(W).【例4】設(shè)二維隨機變量(x,r)的概率密度為：3x,0<3x,0<y<x<10,其他,求E(XY).考點：方差1.定義：設(shè)X是一個隨機變量，若e{[x-E(x)][存在，則稱之為X的方差，記為D(x),即以乂人砰^一目')]}稱両為隨機變量x的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為<t(x).【注】方差的計算公式：d(x)=e(x2)-e2(x).l+x,-l<x<0【例1】設(shè)隨機變量X的概率密度為須(x)=<17,0<x<l，則0，其他DX= 2.方差的性質(zhì)(1)o(c)=o,其中C為常數(shù).D(CX)=C2D(X),O(X+C)=O(X)：其中C為常數(shù).設(shè)X,丫是兩個隨機變量，則有D(x+r)=D(x)+D(y)+2E{[x-E(x)][y-E(y)]}.特別地,若x,y相互獨立，則有D(x+r)=D(x)+D(y).【注】必X±Y)=￡)(X)+￡>(V)±2Cov(X,Y).若X,丫不相關(guān)，則有。(x±y)=D(x)+D(F).(4)O(X)=0的充分必要條件是X以概率1取常數(shù)E(x),即P{X=E(X)}