數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)5.3.2 命題、定理、證明

1/125.3.2命題、定理、證明一、教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1.理解命題，定理及證明的概念，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論.2.會(huì)判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了解反例的作用.3.理解證明要步步有據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.【過(guò)程與方法】經(jīng)歷判斷命題真假的過(guò)程，對(duì)命題的真假有一個(gè)初步的了解.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】初步培養(yǎng)學(xué)生不同幾何語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化的能力.二、課型新授課三、課時(shí)1課時(shí)四、教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】 命題的概念和區(qū)分命題的題設(shè)與結(jié)論.【教學(xué)難點(diǎn)】區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論.五、課前準(zhǔn)備 教師：課件、三角尺、直尺等.學(xué)生：三角尺、鉛筆、練習(xí)本.六、教學(xué)過(guò)程（一）導(dǎo)入新課（出示課件2）讓學(xué)生閱讀課件中的兩個(gè)例子，討論句子含義。（二）探索新知1.出示課件4-5，探究命題的概念教師出示問(wèn)題：完成下列問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)讀出下列語(yǔ)句：（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）對(duì)頂角相等；（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式．這些句子有何特點(diǎn)？學(xué)生答：都對(duì)事情做出了判定.教師問(wèn)：這樣的句子叫做命題.什么叫做命題？學(xué)生答：像這樣判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件5）教師強(qiáng)調(diào)：1.只要對(duì)一件事情作出了判斷,不管正確與否,都是命題.如：相等的角是對(duì)頂角.2.如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題.如：畫(huà)線段AB=CD.考點(diǎn)1：命題的識(shí)別判斷下列四個(gè)語(yǔ)句中，哪個(gè)是命題，哪個(gè)不是命題？并說(shuō)明理由：（1）對(duì)頂角相等嗎？（2）畫(huà)一條線段AB=2cm;（3）兩條直線平行，同位角相等；（4）相等的兩個(gè)角，一定是對(duì)頂角.（出示課件6）師生共同討論解答如下：解：（3）（4）是命題，（1）（2）不是命題.理由如下：（1）是問(wèn)句，故不是命題；（2）是做一件事情，也不是命題.總結(jié)點(diǎn)撥：①命題必須是一個(gè)完整的句子，而且必須做出肯定或否定的判斷．疑問(wèn)句、感嘆句、作圖過(guò)程的敘述都不是命題；②命題常見(jiàn)的關(guān)鍵詞有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．出示課件7，學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.2.出示課件8-10，命題的構(gòu)成教師問(wèn)：觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？與同伴交流.（1）如果兩個(gè)三角形的三條邊相等，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；（2）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)也相等；（3）如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，那么這個(gè)數(shù)是3.學(xué)生答：都是“如果……那么……”的形式.教師問(wèn)：命題一般都可以寫(xiě)成“如果……那么……”的形式.1.“如果”后接的部分是題設(shè),2.“那么”后接的部分是結(jié)論.如命題：熊貓沒(méi)有翅膀.改寫(xiě)為：“如果……那么……”的形式.學(xué)生答：如果這個(gè)動(dòng)物是熊貓，那么它就沒(méi)有翅膀.師生一起總結(jié)：添加“如果”“那么”后，命題的意義不能改變，改寫(xiě)的句子要完整，語(yǔ)句要通順，使命題的題設(shè)和結(jié)論更明朗，易于分辨，改寫(xiě)過(guò)程中，要適當(dāng)增加詞語(yǔ)，切不可生搬硬套.總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件10）命題的組成：題設(shè)——已知事項(xiàng)命題結(jié)論——由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)兩直線平行，同位角相等題設(shè)（條件）結(jié)論考點(diǎn)2：命題表述形式的變換分別把下列命題寫(xiě)成“如果……那么……”的形式.(1)兩點(diǎn)確定一條直線；(2)等角的補(bǔ)角相等；(3)內(nèi)錯(cuò)角相等.（出示課件11）學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同分析解答.教師依次展示學(xué)生解答過(guò)程：學(xué)生1解：(1)如果有兩個(gè)定點(diǎn)，那么過(guò)這兩點(diǎn)有且只有一條直線；學(xué)生2解：(2)如果兩個(gè)角分別是兩個(gè)等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；學(xué)生3解：(3)如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等.總結(jié)點(diǎn)撥：把命題寫(xiě)成“如果……那么……”的形式時(shí)，應(yīng)添加適當(dāng)?shù)脑~語(yǔ)，使語(yǔ)句通順．出示課件12，學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.3.出示課件13，探究真假命題的概念.教師問(wèn)：有些命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立；而有些命題題設(shè)成立時(shí)，結(jié)論不一定成立.如命題：“如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除”是條件也成立，結(jié)論也成立嗎？學(xué)生答：如命題：“如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除”是條件也成立，結(jié)論也成立.教師問(wèn)：上面的命題：條件也成立，結(jié)論也成立.這樣的命題是正確命題.如命題：“如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除”是一個(gè)正確的命題嗎？學(xué)生答：是一個(gè)正確的命題.教師問(wèn)：有些命題題設(shè)成立時(shí)，結(jié)論不一定成立.這樣的命題是錯(cuò)誤的命題.如命題：“如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角”就是一個(gè)怎樣的命題呢？學(xué)生答：“如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角”就是一個(gè)錯(cuò)誤的命題.教師問(wèn)：正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題.則命題“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”是真命題還是假命題？學(xué)生答：是真命題.教師問(wèn)：怎樣確定定一個(gè)命題真假呢？師生一起解答：確定一個(gè)命題真假的方法：利用已有的知識(shí)，通過(guò)觀察、驗(yàn)證、推理、舉反例等方法.考點(diǎn)3：真假命題的識(shí)別下列命題哪些命題是正確的，哪些命題是錯(cuò)誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）對(duì)頂角相等．學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同解答.解：真命題有（2）、（3）、（5）；假命題有（1）、（4）.總結(jié)點(diǎn)撥：判斷一個(gè)命題是真命題還是假命題，就是判斷一個(gè)命題是否正確，即由條件能否得出結(jié)論．如果命題正確，就是真命題；如果命題不正確，就是假命題．出示課件15，學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.4.出示課件16-19，探究證明和反證法（舉反例）教師出示問(wèn)題：一天早上，張老漢來(lái)到公安局里告狀說(shuō)：王五剛剛在他地里偷了一袋子蘋(píng)果.公安局長(zhǎng)立即派干警將王五傳喚到公安局審訊:公安局長(zhǎng)問(wèn)張老漢：“你怎知是王五偷了你的蘋(píng)果?”“因?yàn)樵缟衔野l(fā)現(xiàn)王五從蘋(píng)果園那邊過(guò)來(lái)，把一袋東西背回家，還發(fā)現(xiàn)我果園的蘋(píng)果被人偷了，我知道王五家沒(méi)有蘋(píng)果樹(shù).所以我家蘋(píng)果肯定是王五偷的.”張老漢想證明什么？他是怎么證明的？學(xué)生答：張老漢想證明偷了他的蘋(píng)果，王五從他家的蘋(píng)果園那邊經(jīng)過(guò)，把一袋東西背回家.教師問(wèn)：根據(jù)張老漢的證明，你能斷定蘋(píng)果是王五偷的嗎？你覺(jué)得有疑點(diǎn)嗎？學(xué)生答：根據(jù)張老漢的證明，不能斷定蘋(píng)果是王五偷的，有疑點(diǎn)：因?yàn)橹皇墙?jīng)過(guò)，張老漢的推斷太牽強(qiáng).總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件16）這種從已知條件出發(fā)（列出理由），推斷出結(jié)論的證明方法，叫綜合法.綜合法是最常用的證明方法.教師出示問(wèn)題：公安局長(zhǎng)一時(shí)拿不定主意，就問(wèn)旁邊的梁副局長(zhǎng)：“梁局長(zhǎng)，你怎么看？”梁局長(zhǎng)會(huì)如何回答呢？學(xué)生答：梁局長(zhǎng)說(shuō)“這事要證明是王五干的，還得弄清那袋子里裝的是不是剛摘的蘋(píng)果，還要看看地里的腳印是不是王五的才行.如果袋子里裝的是剛摘的蘋(píng)果，且地里的腳印是王五的，那就一定是他偷的.”總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件17）從結(jié)論出發(fā)，逆著尋找所需要的條件的思考過(guò)程，叫分析.在分析的過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)所需要的條件，都已具備或可從已知條件中推得.那么證明就很容易了.總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件18）證明的概念在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明.教師強(qiáng)調(diào)：證明的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等.教師問(wèn)：如何判定一個(gè)命題是假命題呢？學(xué)生答：舉一個(gè)反例即可.教師問(wèn)：例如，要判定命題“相等的角是對(duì)頂角”是假命題如何證明？師生一起解答：可以舉出如下反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，∠1=∠2，但它們不是對(duì)頂角.

總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件19）確定一個(gè)命題是假命題的方法：只要舉出一個(gè)例子（反例）：它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可.考點(diǎn)4：利用證明推理解決問(wèn)題如圖，∠1=∠2，試說(shuō)明直線AB，CD平行.（出示課件20）師生共同分析：要證明AB，CD平行，就需要同位角相等的條件，圖中∠1與∠3就是同位角.我們只要找到：能說(shuō)明它們相等的條件就行了.從圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)：∠2與∠3是對(duì)頂角，所以∠3=∠2.這樣我們就找到了∠1與∠3相等的確切條件了.學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同解答.證明：∵∠2與∠3是對(duì)頂角，∴∠3=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3.∴AB∥CD.出示課件21，學(xué)生自主練習(xí)，教師給出答案。5.出示課件23-24，探究公理和定理的概念教師問(wèn)：數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.我們學(xué)習(xí)過(guò)的公里有哪些？教師依次展示學(xué)生答案：學(xué)生1答：直線公理：兩點(diǎn)確定一條直線.學(xué)生2答：線段公理：兩點(diǎn)間線段最短.學(xué)生3答：平行線公理：經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行.教師問(wèn)：有些命題是基本事實(shí)，還有些命題它們的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理.定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).我們學(xué)過(guò)的定理有哪些？教師依次展示學(xué)生答案：學(xué)生1答：補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等.學(xué)生2答：余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等.學(xué)生3答：對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.學(xué)生4答：垂線的性質(zhì)：①在同一平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②垂線段最短.教師總結(jié)如下：學(xué)過(guò)的定理：（1）補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等.（2）余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等.（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.（4）垂線的性質(zhì)：①在同一平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②垂線段最短.考點(diǎn)5：利用公理定理進(jìn)行推理已知：b∥c，a⊥b．求證：a⊥c．（出示課件25）學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同解答.證明：∵a⊥b（已知）,∴∠1=90°（垂直的定義）.又∵b∥c（已知）,∴∠2=∠1=90°（兩直線平行，同位角相等）.∴a⊥c（垂直的定義）.出示課件26，學(xué)生自主練習(xí)，教師給出答案.教師：學(xué)了前面的知識(shí)，接下來(lái)做幾道練習(xí)題看看你掌握的怎么樣吧.（三）課堂練習(xí)（出示課件27-35）練習(xí)課件第27-35頁(yè)題目，約用時(shí)20分鐘.（四）課堂小結(jié)（出示課件36）命題的定義判斷一件事情的句子命題的組成題設(shè)和結(jié)論命題的分類(lèi)真命題公理（不需證明）定理（由推理證實(shí)）假命題假命題（只需舉一個(gè)反例）（五）課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)下節(jié)課（5.4第1課時(shí)）的相關(guān)內(nèi)容.知道平移的定義和平移的畫(huà)法.七、課后作業(yè)1、教材第22頁(yè)練習(xí)第1,2題.2、七彩課堂第25-26頁(yè)第1、4、7題.八、板書(shū)設(shè)計(jì)1.知識(shí)梳理：命題eq\b\lc\{(\a\vs4\al\c