數(shù)字電路的邏輯運算

數(shù)字電路的邏輯運算第一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日考核方式：期末考試時間為120分鐘，閉卷，具體考試時間至少提前1周通知學生。成績評定：平時10％，實驗30％，期末考試60％第二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日邏輯代數(shù)基礎第三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日§2.1數(shù)字電路的基礎知識§2.2邏輯代數(shù)及其運算規(guī)則§2.3邏輯函數(shù)表示方法§2.4邏輯函數(shù)的化簡第四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日在數(shù)字電路中，主要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關系，因此數(shù)字電路又稱邏輯電路，其研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)或開關代數(shù)）。邏輯變量：用字母表示，取值只有0和1。此時，0和1不再表示數(shù)量的大小，只代表兩種不同的狀態(tài)。§2.1概述第五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日一、與邏輯（與運算）與邏輯：僅當決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達式為：Ｙ＝ＡＢＣ…例：開關A，B串聯(lián)控制燈泡YA、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈不亮。A接通、B斷開，燈不亮?！?.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算A、B都接通，燈亮。第六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日功能表將開關接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0。可以作出如下表格來描述與邏輯關系：真值表Ｙ＝Ａ?Ｂ兩個開關均接通時，燈才會亮。邏輯表達式為：第七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。

與門的邏輯符號：Ｙ＝Ａ?Ｂ第八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日二、或邏輯（或運算）或邏輯：當決定事件（Y）發(fā)生的各種條件A，B，C，…)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達式為：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…兩個開關只要有一個接通，燈就會亮。邏輯表達式為：功能表真值表Ｙ＝Ａ+Ｂ第九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日實現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：Y=A+B第十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日三、非邏輯（非運算）非邏輯：指的是邏輯的否定。當決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達式為：Y＝A′功能表真值表第十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。

非門的邏輯符號：Y＝A′第十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日常用的邏輯運算1、與非運算：邏輯表達式為：第十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日2、或非運算：邏輯表達式為：第十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日3、異或運算：邏輯表達式為：第十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日異或邏輯的運算規(guī)則：0⊕0=00⊕1=11⊕0=101⊕1=A⊕0=A⊕1=A⊕A′=A⊕A=AA′10第十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日4、同或運算：邏輯表達式為：＝A⊙B異或和同或互為反運算第十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日同或邏輯的運算規(guī)則：0⊙

0=10⊙

1=01⊙

0=011⊙

1=A⊙

0=A⊙

1=A⊙

A′=A⊙

A=AA′10第十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日5、與或非運算：邏輯表達式為：第十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、基本公式請?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處1.常量之間的關系第二十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日

2.基本公式分別令A=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。亦稱非非律第二十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日

3.基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：第二十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日求證:（17式）A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊

=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A?1+BC=A+BC=左邊課本上用真值表證明第二十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日二、常用公式1.A+AB

=2.A+A′B=

A′+AB=A(A′+B)=A′(A+B)=注:紅色變量被吸收掉！統(tǒng)稱吸收律注:紅色變量被吸收掉！統(tǒng)稱吸收律AA+BA′+BABA′B第二十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日證明:A+A′B=(A+A′)

?(A+B);分配律

=1?(A+B)=A+BA+BC=(A+B)(A+C)第二十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日3.AB+AB′=4.A(A+B

)=證明:A(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A(1+B)=A(A+B)(A+B′)=注:紅色變量被吸收掉！也稱吸收律AAA第二十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日5.AB+A′C+BC=證明:

AB+A′C+BC=AB+A′C+(A+A′)BC=AB+A′C+ABC+A′BC=AB(1+C)+A′C(1+B)=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′CAB+A′C冗余定律或多余項定理或包含律第二十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日(A+B)(A′+C)(B+C)=(A+B)(A′+C)(A+B)(A′+C)(B+C+D)=(A+B)(A′+C)冗余定律或多余項定理的其他形式同理：此多余項可以擴展成其他形式第二十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日6.

A·(A·B)′=

A′·(A·B)′=證明:A·(A·B)′=A·(A′+B′)=A·A′+A·B′=A·B′A′·(A·B)′=A′·(A′+B′)=A′·A′+A′·B′=A′·(1+B′)=A′A·B′A′第二十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日一、代入定理任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入定理。例如，已知等式，用函數(shù)Y=BC代替等式中的B，根據(jù)代入定理，等式仍然成立，即有：§2.4邏輯代數(shù)的基本定理第三十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日

二、反演定理對于任何一個邏輯表達式Y，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y′（或稱補函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演定理。第三十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日第三十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日

應用反演定理應注意兩點：1、保持原來的運算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達式中，AB之間先運算，再和其它變量進行運算，那么非函數(shù)的表達式中，仍然是AB之間先運算。2、不屬于單個變量上的反號應保留不變。第三十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日

三、對偶定理對于任何一個邏輯表達式Y，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達式YD,YD稱為Y的對偶式。對偶定理：如果兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。第三十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日第三十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日（2）式（12）式第三十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法一、邏輯函數(shù)

如果以邏輯變量作為輸入，以運算結果作為輸出，當輸入變量的取值確定之后，輸出的取值便隨之而定。輸出與輸入之間的函數(shù)關系稱為邏輯函數(shù)。Y=F(A,B,C,…)第三十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日二、邏輯函數(shù)表示方法常用邏輯函數(shù)的表示方法有：邏輯真值表（真值表）、邏輯函數(shù)式（邏輯式或函數(shù)式）、邏輯圖、波形圖、卡諾圖及硬件描述語言。它們之間可以相互轉換。例：一舉重裁判電路第三十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日設A、B、C為1表示開關閉合，0表示開關斷開；Y為1表示燈亮，為0表示燈暗。得到函數(shù)表示形式：真值表函數(shù)式邏輯圖第三十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日波形圖ABCYtttt第四十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日真值表：將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應地列出。0110AY一輸入變量，二種組合

ABY001011101110二輸入變量，四種組合ABCY00000010010001101000101111011111三輸入變量，八種組合第四十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY1000110011101011011111001110111110111111四輸入變量，16種組合第四十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日請注意

n個變量可以有2n個組合，一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應，列出所有可能的狀態(tài)。第四十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日邏輯函數(shù)式把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式，即邏輯代數(shù)式，又稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。比如：第四十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日邏輯圖：把相應的邏輯關系用邏輯符號和連線表示出來。第四十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日各種表示方法之間的相互轉換1、真值表→邏輯函數(shù)式方法:將真值表中為1的項相加,寫成“與或式”。ABCY00000010010001111000101111011110例2.5.1第四十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日2、邏輯式→真值表方法:將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一帶入邏輯式求函數(shù)值,列成表即得真值表。例2.5.2ABCY00000101001110010111011101111110第四十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日3、邏輯式→邏輯圖方法:用圖形符號代替邏輯式中的運算符號,就可以畫出邏輯圖.例2.5.3第四十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日4、邏輯圖→邏輯式方法:從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯式，即得到對應的邏輯函數(shù)式.第四十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日5、波形圖→真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111ABCY00000101001110010111011101100101第五十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日最小項:在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量都以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項m稱為該函數(shù)的一個標準積項，通常稱為最小項。3個變量A、B、C可組成8(23)個最小項：4個變量可組成16(24)個最小項,記作m0～m15。三、邏輯函數(shù)的兩種標準形式第五十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日若兩個最小項僅有一個因子不同，則稱這兩個最小項具有相鄰性。例：和，這兩個最小項相加時能合并，并可消去1個因子。第五十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日最小項的性質:①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。③全部最小項的和必為1。第五十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日④具有相鄰性的兩個最小項可以合并，并消去一對因子。只有一個因子不同的兩個最小項是具有相鄰性的最小項。例如:將它們合并，可消去因子:=BCABC和A′BC具有邏輯相鄰性。ABC+A′BC=(A+A′)BC第五十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標準與或表達式，也稱為最小項表達式。邏輯函數(shù)的最小項表達式對于不是最小項表達式的與或表達式，可利用公式A＋A′＝1

和A(B+C)＝AB＋AC來配項展開成最小項表達式。第五十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.5.6第五十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。第五十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日在n變量邏輯函數(shù)中，若M為包含n個因子的和項，而且這n個變量都以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個和項M稱為該函數(shù)的一個標準和項，通常稱為最大項。

n個變量有2n個最大項，記作i最大項的性質：①在輸入變量的任何取值下必有一個最大項且僅有一個最大項的值為0；②全體最大項之積為0；即③任意兩個最大項之和為1；④只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。最大項:第五十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例:

寫出函數(shù)Y=A(B′+C)的標準或與表達式。解:Y=A(B′+C)=(A+BB′+CC′)(AA′+B′+C)=(A+B+C)(A+B′+C)(A+B+C′)(A+B′+C′)(A+B′+C)(A′+B′+C)=(A+B+C)(A+B′+C)(A+B+C′)(A+B′+C′)(A′+B′+C)第五十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日最小項與最大項的關系相同編號的最小項和最大項存在互補關系即:

mi

=

Mi

=若干個最小項之和表示的表達式Y，其反函數(shù)Y′可用等同個與這些最小項相對應的最大項之積表示。

例：==′m7′m3′m5′m1′Mi′mi′第六十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日四、邏輯函數(shù)形式的變換根據(jù)邏輯表達式，可以畫出相應的邏輯圖，表達式的形式?jīng)Q定門電路的個數(shù)和種類。在用電子器件組成實際的邏輯電路時，由于選擇不同邏輯功能類型的器件，因此需要將邏輯函數(shù)式變換成相應的形式。第六十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日1、最簡與或表達式最簡與或表達式首先是式中乘積項最少

乘積項中含的變量最少實現(xiàn)電路的與門少下級或門輸入端個數(shù)少與門的輸入端個數(shù)少第六十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日2、最簡與非-與非表達式①在最簡與或表達式的基礎上兩次取反②用摩根定律去掉內層的非號第六十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日3、最簡或與表達式①求出反函數(shù)的最簡與或表達式②利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡或與表達式第六十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日4、最簡或非-或非表達式①求最簡或與表達式②兩次取反③用摩根定律去掉內部的非號第六十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日５、最簡與或非表達式①求最簡或非-或非表達式②用摩根定律去掉內部非號。方法一：第六十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日①求出反函數(shù)的最簡與或表達式②求反，得到最簡與或非表達式方法二：第六十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法一、公式化簡法并項法：吸收法：A+AB

=A消項法：消因子法：配項法：AB+AB=A′AB+AC+BC=AB+AC′′A+AB=A+B′A+A

=AA+A

=1′第六十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.1

試用并項法化簡下列函數(shù)=B第六十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.2

試用吸收法化簡下列函數(shù)=A+BC第七十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.3

用消項法化簡下列函數(shù)第七十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.4

用消因子法化簡下列函數(shù)第七十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.5

化簡函數(shù)解：;A+A＝A例2.6.6

化簡函數(shù)解：;A+A′＝1第七十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.6

化簡函數(shù)解二：②③④①⑤;②⑤消去③，④⑤消去①解三：②③④①⑤;①⑤消去④,③⑤消去②;增加冗余項;增加冗余項第七十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.7

化簡邏輯函數(shù)解：吸收法消因子法吸收法消項法第七十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上相鄰排列，得到的圖形叫做n變量最小項的卡諾圖。卡諾圖的定義：二、卡諾圖化簡法第七十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日邏輯相鄰項：僅有一個變量不同其余變量均相同的兩個最小項，稱為邏輯相鄰項。不是邏輯相鄰項是邏輯相鄰項第七十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日卡諾圖的表示：1、一變量全部最小項的卡諾圖一變量Y=F（A），YA01AYA01m0m1全部最小項：A，A′卡諾圖：

下面我們根據(jù)邏輯函數(shù)變量數(shù)目的不同分別介紹一下：A′第七十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日ABY0101m0m1m2m3YAB00011110ABA′B′A′BAB′00011110YABm0m1m3m2YABC0100011110m0m1m4m5m3m2m7m62、二變量全部最小項的卡諾圖Y=F（A、B）YABC0001111001m0m1m4m5m3m2m7m63、三變量全部最小項的卡諾圖

Y=F（A、B、C）第七十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日YABCD0001111000011110m0m1m4m5m3m2m7m6m12m13m8m9m15m14m11m10YABCD00000101101010010111111001m0m1m3m2m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m144、四變量全部最小項的卡諾圖Y=F（A、B、C、D）注意：左右、上下；在卡諾圖中，每一行的首尾；每一列的首尾；的最小項都是邏輯相鄰的。第八十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日Y=AC′+A′C+BC′+B′C卡諾圖：YABC010001111011111100A′(B+B′)C+(A+A′)B′CY=A(B+B′)C′+(A+A′)BC′+=∑(m1,m2,m3,m4,m5,m6)1、把已知邏輯函數(shù)式化為最小項之和形式。2、將函數(shù)式中包含的最小項在卡諾圖對應的方格中填1，其余方格中填0。方法一：解：對于AC′有：對于A′C有：對于BC′有：對于B′C有：根據(jù)函數(shù)式直接填卡諾圖方法二：YABC0100011110111110011例：用卡諾圖表示之。1用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：第八十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：例2.6.8

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：將Y化為最小項之和的形式＝m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m1511111111第八十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.9

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖,試寫出該函數(shù)的邏輯式第八十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日化簡依據(jù)：邏輯相鄰性的最小項可以合并，并消去因子?；喴?guī)則：能夠合并在一起的最小項是2n

個如何最簡：圈的數(shù)目越少越簡；圈內的最小項越多越簡。特別注意：卡諾圖中所有的1都必須圈到，不能合并的1必須單獨畫圈。YABC01000111101111100111上兩式的內容不相同，但函數(shù)值一定相同。YABC01000111101111100111Y1=BC′+B′A+A′CY1=C′A+B′CA′+B將Y1=AC′+A′C+BC′+B′C

化簡為最簡與或式。此例說明，一邏輯函數(shù)的化簡結果可能不唯一。例：（畫矩形圈）。用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)第八十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)合并最小項的原則（1）任何兩個（21個）相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量。第八十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日合并最小項的原則（2）任何4個（22個）相鄰的最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。此例說明，為了使化簡結果最簡，可以重復利用最小項第八十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日合并最小項的原則（3）任何8個（23個）相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。第八十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日合并最小項的原則利用AB+AB′=A2個最小項合并，消去1個變量；4個最小項合并，消去2個變量；8個最小項合并，消去3個變量；

…

…2n個最小項合并，消去n個變量；第八十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日卡諾圖化簡法的步驟★畫出變量的卡諾圖;★

作出函數(shù)的卡諾圖;★畫圈;★寫出最簡與或表達式。畫圈的原則◆合并個數(shù)為2n；◆圈盡可能大---乘積項中含因子數(shù)最少；◆圈盡可能少---乘積項個數(shù)最少；◆每個圈中至少有一個最小項僅被圈過一次，以免出現(xiàn)多余項。第八十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.10

用卡諾圖將下式化簡為最簡與－或函數(shù)式111111YY第九十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.6.11

用卡諾圖將下式化簡為最簡與－或函數(shù)式Y第九十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日Y第九十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日§2.7具有無關項的邏輯函數(shù)化簡約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關項無關項約束項:當限制某些輸入變量的取值不能出現(xiàn)時，用它們對應的最小項恒等于0來表示。任意項:在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1還是0皆可，并不影響電路的功能。在這些變量的取值下，其值等于1的那些最小項稱為任意項。在卡諾圖中用符號“φ”、“×”或“d”表示無關項。在化簡函數(shù)時即可以認為它是1，也可以認為它是0。第九十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2.7.1

化簡邏輯函數(shù)已知約束條件為第九十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期日例2判斷一位十進制數(shù)是否為偶數(shù)。不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)說明×111100111×111010110×110100101×110010100×101100011×10101001001001000011100010000Y

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