第三章函數逼近基本概念優(yōu)秀文檔

第三章函數逼近與曲線擬合/*ApproximationTheory*/一、對給定的函數類A中給定的函數f(x)，要求在另一類簡單的便于計算的函數類B中求一個函數P(x)，使得誤差在某種度量意義下最小；這里我們給出兩種度量下的逼近問題。也稱作連續(xù)性逼近。①

m很大；②

yi本身是測量值，不準確，即yi

f(xi)本章討論兩種情形的函數逼近問題：某種度量就是某種衡量標準或某種大小、某種尺度通常選擇多項式類、有理函數類但是二、已知,求一個簡單易算的近似函數P(x)

f(x)。這種情形稱作離散逼近，這章介紹一種方法叫做曲線擬合?！?/p>

3.1函數逼近的基本概念3.1.1函數逼近與函數空間數學時常把在各種集合中引入某些不同的確定關系稱為賦予集合以某種空間結構；具有某種空間結構的集合稱為空間。例如2、次數不超過n實系數多項式集合，按照通常的多項式加法及數與多項式的乘法運算，也構成實數域上的線性空間；記作1、所有n維實向量組成的集合，賦予向量的加法和向量與數的乘法運算，就構成實數域上的線性空間；記作3、所有定義在上的連續(xù)函數集合，按照函數加法和數與函數的乘法運算構成數域上的線性空間；記作空間根據賦予的運算性質分為線性空間和非線性空間。我們只討論線性空間。線性空間又分為有限維和無限維的。所謂的有限維線性空間，就是空間中線性無關的元素個數是有限的；如果線性空間S是由S

中n個線性無關的元素生成的，即則稱S為n維線性空間；稱為S的一組基；稱為x在上的坐標；記如果S空間中有無限個線性無關的元素則S就是無限維的線性空間。n維線性空間的基是不為一的；定義1設S是線性空間，若存在唯一實數，滿足條件：記為S上的內積，定義了內積的線性空間稱作所謂的有限維線性空間，就是空間中線性無關的元素個數是有限的；1函數逼近的基本概念如果線性空間S是由S中n個線性無關的元素稱作加權內積（帶權內積）空間根據賦予的運算性質分為線性空間和非線性空間。某種度量就是某種衡量標準或某種大小、某種尺度稱為x在上的坐標；如果S空間中有無限個線性無關的元素則S就是無限維的線性空間。非奇異的充要條件是線性無關。但每組基中包含的線性無關的元素個數是相同的生成的，即空間根據賦予的運算性質分為線性空間和非線性空間。n維線性空間的基是不為一的；但每組基中包含的線性無關的元素個數是相同的確定一組基后，空間中每個元素的坐標是唯一的；可以說每個元素都和n個有序的數組（即n維向量）相對應，因此我們也稱n維線性空間為向量空間，線性空間的元素也稱為向量。3.1.2范數和賦范線性空間為了對線性空間中的元素進行大小比較，需要引進范數；它是向量空間向量長度的直接推廣。定義1

設S是線性空間，若存在唯一實數，滿足條件：正定性齊次性三角不等式則稱為S上的范數，S與一起稱作賦范線性空間定義以下三種范數定義2

設S是數域K上的線性空間，對有K中一個數與之對應，記作（u,v),它滿足以下條件：則稱為S上的內積，定義了內積的線性空間稱作稱作u與v正交。由向量內積的定義內積空間。如果這是向量相互垂直概念的推廣！但每組基中包含的線性無關的元素個數是相同的（Cauchy-Schwarz）不等式空間根據賦予的運算性質分為線性空間和非線性空間。為S上的內積，定義了內積的線性空間稱作可以證明它滿足上面四條性質。數學時常把在各種集合中引入某些不同的確定關系稱為賦予集合以某種空間結構；非奇異的充要條件是線性無關。為了對線性空間中的元素進行大小比較，需要引進范數；這是向量相互垂直概念的推廣！空間根據賦予的運算性質分為線性空間和非線性空間。3、所有定義在上的連續(xù)函數集合，按照函數加法和數與函數的乘法運算構成數域上的線性空間；如果S空間中有無限個線性無關的元素則S就是無限維的線性空間。例如可以證明它滿足上面四條性質。定義內積定義3設是有限或無限區(qū)間，上的非負函數有則稱為的權函數。稱作加權內積（帶權內積）稱作加權正交數學時常把在各種集合中引入某些不同的確定關系稱為賦予集合以某種空間結構；生成的，即（Cauchy-Schwarz）不等式為S上的內積，定義了內積的線性空間稱作如果S空間中有無限個線性無關的元素則S就是無限維的線性空間?？臻g根據賦予的運算性質分為線性空間和非線性空間。確定一組基后，空間中每個元素的坐標是唯一的；定義1設S是線性空間，若存在唯一實數，滿足條件：這是向量相互垂直概念的推廣！某種度量就是某種衡量標準或某種大小、某種尺度確定一組基后，空間中每個元素的坐標是唯一的；數學時常把在各種集合中引入某些不同的確定關系稱為賦予集合以某種空間結構；如果S空間中有無限個線性無關的元素則S就是無限維的線性空間。則稱為的權函數?？臻g根據賦予的運算性質分為線性空間和非線性空間。關于內積有下述性質定理2

設X是內積空間，則，有：（Cauchy-Schwarz）不等式定理3

設X是內積空間，