(全國通用)2018年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過專題13定積分與微積分基本定理理

PAGE4-考點(diǎn)13定積分與微積分基本定理（1）了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.（2）了解微積分基本定理的含義.一、定積分1．曲邊梯形的面積（1）曲邊梯形：由直線x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①)．（2）求曲邊梯形面積的方法與步驟：①分割：把區(qū)間a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖②)；②近似代替：對每個小曲邊梯形“以值代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值(如圖②)；③求和：把以近似代替得到的每個小曲邊梯形面積的近似值求和；④取極限：當(dāng)小曲邊梯形的個數(shù)趨向無窮時，各小曲邊梯形的面積之和趨向一個定值，即為曲邊梯形的面積．2．求變速直線運(yùn)動的路程如果物體做變速直線運(yùn)動，速度函數(shù)為v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、如果物體在變力F(x)的作用下沿著與F(x)相同的方向從x=a移動到x=b，則變力F(x)做的功.二、微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且F′(x)=f(x)，那么=F(b)?F(a)．這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式，其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)．為了方便，我們常把F(b)?F(a)記作，即=F(b)?F(a)．學(xué).【注】常見的原函數(shù)與被積函數(shù)的關(guān)系（1）為常數(shù))；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.考向一定積分的計算1．求定積分的三種方法（1）利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強(qiáng)；（2）利用微積分基本定理求定積分；（3）利用定積分的幾何意義求定積分．當(dāng)曲邊梯形面積易求時，可通過求曲邊梯形的面積求定積分．例如，定積分的幾何意義是求單位圓面積的，所以.2．用牛頓—萊布尼茨公式求定積分的步驟（1）把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；（2）把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；（3）分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù)；（4）利用牛頓—萊布尼茨公式求出各個定積分的值；（5）計算原始定積分的值.3．分段函數(shù)的定積分分段函數(shù)求定積分，可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加．4．奇偶函數(shù)的定積分（1）若奇函數(shù)y=f(x)的圖象在?a，a]上連續(xù)，則；（2）若偶函數(shù)y=g(x)的圖象在?a，a]上連續(xù)，則.典例1定積分的值為A． B． C． D．【答案】C【解題技巧】求定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，為避免出錯，在求出原函數(shù)后可利用求導(dǎo)與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證.1．若S1=x2dx，S2=，S3=，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1考向二利用定積分求平面圖形的面積利用定積分求平面圖形面積問題的常見類型及解題策略（1）利用定積分求平面圖形面積的步驟①根據(jù)題意畫出圖形；②借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；③把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；④計算定積分，寫出答案．（2）知圖形的面積求參數(shù)求解此類題的突破口：畫圖，一般是先畫出它的草圖；然后確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)，由定積分求出其面積，再由已知條件可找到關(guān)于參數(shù)的方程，從而可求出參數(shù)的值．（3）與概率相交匯問題解決此類問題應(yīng)先利用定積分求出相應(yīng)平面圖形的面積，再用相應(yīng)概率公式進(jìn)行計算.典例2設(shè)拋物線C：y=x2與直線l：y=1圍成的封閉圖形為P，則圖形P的面積S等于A．1 B．C． D．【答案】D2．正方形的四個頂點(diǎn)A(?1，?1)，B(1，?1)，C(1,1)，D(?1,1)分別在拋物線y=?x2和y=x2上，如圖所示．若將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是________．考向三定積分的物理意義利用定積分解決變速直線運(yùn)動與變力做功問題典例3一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．學(xué).科在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是A．1＋25ln5 B．8＋25lnC．4＋25ln5 D．4＋50ln2【答案】C3．一物體在力(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x=0處運(yùn)動到x=4(單位：m)處，則力F(x)做的功為________焦．1．A．1 B．C．0 D．2．若，則=A．?1 B．C． D．13．若，則實(shí)數(shù)等于A． B．C． D．4．直線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為A． B．C． D．45．定義，如，那么A．6 B．3C． D．06．已知，則二項式的展開式中的常數(shù)項為A． B．C． D．7．設(shè)實(shí)數(shù)，，，則A． B．C． D．8．兩曲線，與兩直線，所圍成的平面區(qū)域的面積為A． B．C． D．9．在平面直角坐標(biāo)系中，記拋物線y=x?x2與x軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，該拋物線與直線y=kx(k>0)所圍成的平面區(qū)域?yàn)锳，向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)P，若點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為，則k的值為A． B．C． D．10．若函數(shù)、滿足，則稱、為區(qū)間上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：①；②；③.其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是A．0 B．1C．2 D．311．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線的方程為）的點(diǎn)的個數(shù)的估計值為A．5000 B．6667C．7500 D．785412．自由落體的運(yùn)動速度(為常數(shù))，則當(dāng)時，物體下落的距離為__________．13．已知，則__________．1．（2015年高考湖南卷）．2．（2015年高考天津卷）曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為．3．（2015年高考山東卷）執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的T的值為．

4．（2015年高考福建卷）如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于．5．（2015年高考陜西卷）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為．變式拓展變式拓展1．【答案】B【解析】根據(jù)微積分基本定理得，，，.又ln2<1<，，所以S2<S1<S3.選B.2．【答案】3．【答案】36考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】C【解析】．2．【答案】B【解析】令，則，所以3．【答案】B【解析】由題意可知：，結(jié)合題意有：，解得：.本題選擇B.4．【答案】D【解析】由已知得，，故選.5．【答案】D【解析】=2?3=0．選D.6．【答案】B【解析】=2，所以的展開式中的常數(shù)項為：，令r=3，得常數(shù)項為．7．【答案】C【解析】,而,所以,,所以,選C.8．【答案】D【方法點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的幾何意義，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù).9．【答案】A【解析】∵M(jìn)的面積為，A的面積為，∴∴，故選A.10．【答案】C有2組，故選C.11．【答案】B【解析】，則，因此點(diǎn)落入陰影部分的概率為，從而所求點(diǎn)的個數(shù)估計為，故選B．12．【答案】【解析】由定積分的物理意義可得，．13．【答案】【解析】由題意可得，答案為.【名師點(diǎn)睛】求定積分的題型，一種是：利用幾何意義求面積，一般是圓；第二種是：求被積函數(shù)的原函數(shù)，用積分公式；第三種是：利用奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間的積分為0.本題考查了第一種和第二種