狹義相對論基礎

狹義相對論基礎第一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日經(jīng)典力學只適用于大塊物體低速運動的情況。當物體的運動速度與光速可比擬時，則要用相對論力學來描述，而微觀粒子的運動情況符合量子力學的規(guī)律。宏觀物體微觀粒子經(jīng)典力學量子力學相對論力學量子力學低速運動高速運動（非相對論形式）（相對論形式）第二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日第八章狹義相對論基礎力學的研究是建立在時間和空間測量的基礎上的。經(jīng)典力學認為時間間隔和空間間隔的測量是不依賴于參照系的選擇的，是絕對的。在此基礎上建立的經(jīng)典力學精確地描述了宏觀物體低速運動的情況。如：機器的運轉、天體的運動等。但當物體以與光速可比擬的速度運動時，經(jīng)典的絕對時空觀點與實際情況出現(xiàn)了很大的偏差。此時，要以相對論時空觀點來描述高速物體的運動情況。第三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日(1)

伽利略變換和經(jīng)典時空觀；(2)

洛侖茲變換和相對論時空觀；(3)狹義相對論動力學基礎。主要內容：返回第四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日§8-1

伽利略變換、經(jīng)典時空觀運動的描述是相對的，即在不同的參照系中觀察同一物體的運動時，空間位置和運動速度是不同的。其差別由兩個參照系的相對運動所決定。牛頓認為：在不同的慣性參照系中，時間間隔和空間間隔的測量不依賴于參照系的選擇，而具有絕對的意義。第五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日1、加利略坐標變換：設S、S’為兩個慣性參照系，對應軸相互平行，X、X’軸重合，S’相對S以勻速u沿X軸正向運動。t=t’=0時，o、o’重合。XYZutxyzoPS系S’系則：同一質點P在S、S’系中的時空坐標有如下關系：稱為伽利略坐標變換，由此變換可得牛頓的絕對時空觀。正變換：逆變換：第六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2、經(jīng)典的絕對時空觀：(1)同時的絕對性：設某事件在S系中發(fā)生在t時刻，在S’系中發(fā)生在t’時刻。則：即在S系和S’系中，同一事件發(fā)生在同一時刻。第七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日(2)時間間隔的絕對性：設某事件在S系中的持續(xù)時間為Δt=t2–t1

，在S’系中的持續(xù)時間為Δt’=t2’-t1’。即：在不同的慣性系中，同一事件持續(xù)的時間相同?；颍篠系和S’系中的時鐘走得一樣快。則由同時的絕對性得：第八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日(3)空間間隔的絕對性：設一把尺在S系中長為Δx=x2–x1，在S’系中長為Δx’=x’2–x’1

。——————即：空間間隔的測量不依賴于慣性參照系的選擇?；颍篠系中的尺在S’系中長度不變。則由加利略變換：第九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日(4)伽利略相對性原理：由伽利略坐標變換式，可得速度變換式：和加速度變換式：所以：即：伽利略相對性原理：或：力學定律的形式對伽利略變換是不變的。在所有慣性系中，牛頓定律的形式是完全相同的。第十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日3、絕對時空觀的困難：返回(1)因果關系中時序顛倒的問題;(2)超新星爆炸持續(xù)時間的問題;(3)經(jīng)典電磁理論中光速不變問題;(4)微觀粒子的靜止壽命和運動壽命不同的問題。乙看到球出手的時刻比它實際時刻晚Δｔ′＝ｌ／（ｃ＋Ｖ）．顯然Δｔ′＜Δｔ乙看到即將擊球的時刻比實際時刻晚Δｔ＝ｌ／ｃ蟹狀星云到地球的距離ｌ大約是5千光年，而爆發(fā)中拋射物的速度Ｖ大約是1500ｋｍ，用這些數(shù)據(jù)來計算，ｔ′比ｔ短25年。第十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日§8-2

狹義相對論的兩個基本假設第十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日1905年愛因斯坦在《論動體的電動力學》一文中提出了狹義相對論的兩個基本假設。從而建立了相對論理論。作為經(jīng)典電磁理論基礎的麥克思韋方程組能不加修改地符合相對論的理論。而牛頓力學則作為相對論在低速情況下的一個特例。(1)狹義相對性原理：(2)光速不變原理：物理定律的形式（力的、光的、電磁的等）在所有慣性系中都是相同的。即所有慣性參照系都是等價的。狹義相對性原理是對伽利略相對性原理的推廣。它指出了不可能借助于任何物理測量來識別一個慣性系究竟是固有的運動還是固有的靜止。從而否定了以太的存在以及絕對運動和絕對靜止的觀念。在任何慣性系中，光在真空中的速率都相等。返回§8-2狹義相對論的兩個基本假設第十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日§8-3

同時的相對性、時間延緩、長度收縮第十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日1、同時的相對性：YZoS系S’系X設一列車固定于S’系，車廂中部有一閃光燈M’。A’、B’為固定于車廂兩端完全同步的時鐘。且M’A’=M’B’。某時刻由M’發(fā)出一閃光信號。對S’系：因為A’、B’、M’相對S’系靜止，所以閃光將同時到達A’、B’。對S系：由光速不變原理，閃光向A’、B’的傳播速度均為c，但A’迎著光線運動，而B’背著光線運動，所以閃光將先到達A’而后到達B’。即：閃光到達A’、B’這兩個事件在S系看來不是同時的。所以狹義相對論認為：同時是相對的?！?-3

同時的相對性、時間延緩、長度收縮第十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日(1)

在S’系中同一地點、同一時刻發(fā)生的兩個事件，在S系中也必定是同時發(fā)生的；注:(2)

若車廂固定在S系中，則在S’系看來，S系中不同地點同時發(fā)生的兩個事件在S’系中也不是同時的。這一結果稱為倒易性。倒易性是所有慣性系等價的必然結果；(3)

固定在同一慣性系中不同地點的時鐘應該是完全同步的。只有這樣對時間的測量才有意義；(4)

由絕對時空觀，同時是絕對的。若S’系相對S系的速度越大，則閃光到達A’和B’的時間間隔就越大，這說明：時間間隔的量度也是相對的。第十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日S’系2、時間延緩：XYS’系S系o對S’系：因為閃光燈A’和反射鏡B’固定于S’系，所以由A’發(fā)出閃光經(jīng)B’反射后回到A’，這兩個事件在S’系中的時間間隔為：對S系：閃光由A’經(jīng)B’反射回到A’這兩個事件在S系中的時間間隔為：求得：第十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日某參照系中同一地點先后發(fā)生的兩個事件的時間間隔稱為固有時（原時）。Δt’即為固有時。可見：固有時最短?；颍哼\動的鐘變慢。這種相對論效應稱為時間延緩或時間膨脹。(1)

時間延緩是一種相對論效應，根據(jù)倒易性，S’系中的觀察者同樣會發(fā)現(xiàn)靜止于S系中的鐘走得慢。注:(2)

若u<<c，則Δt≈Δt’。所以牛頓的絕對時間概念是相對論時間概念在低速運動情況下的特例（或近似）。第十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日例題1例題1：一飛船以u=9×103m/s的速率相對于地面（假定為慣性系）勻速飛行。飛船上的鐘走了5s的時間，用地面上的鐘測量經(jīng)過了多少時間？由題意：所以：可見：即使對于9×103m/s這樣大的速率來說，時間延緩效應也是很難測量出來的。若：u=0.2c，則Δt=5.103s；u=0.4c，則Δt=5.455s；

u=0.9c，則Δt=11.471s第十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日例題2例題2：帶正電的π介子是一種不穩(wěn)定的粒子。靜止時的平均壽命為2.5×10-8s

，然后衰變?yōu)橐粋€μ介子和一個中微子。設有一束π介子經(jīng)加速器加速獲得u=0.99c的速率，并測得它在衰變前通過的平均距離為52m。這些測量結果是否一致？若以絕對時間的概念，π介子在衰變前通過的距離為：與實驗結果不符。當π介子以0.99c的速率運動時，實驗室測得的平均壽命為：若考慮相對論時間延緩效應，則Δt’=2.5×10-8s

為固有時。即在實驗室測得它通過的平均距離為：與實驗結果相符。第二十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日S’系：棒A’B’固定在X’軸上，其長度為l’。在S’系看來，x1相繼經(jīng)過B’、A’的時間為：3、長度收縮：長度的測量建立在同時的基礎上。由于同時是相對的，所以長度的測量也是相對的。S系：t1時刻，B’經(jīng)過x1，t1+Δt時刻，A’經(jīng)過x1，此時B’的位置一定在x2=x1+uΔt處。即S系中此棒的長度為：XYoXYo第二十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日棒靜止時測得的長度稱為固有長度（原長）。l’即為固有長度?？梢姡汗逃虚L度最長?；颍哼\動的棒在運動方向上變短。這種相對論效應稱為長度收縮或洛侖茲收縮。x1是S系中一固定點，所以B’、A’經(jīng)過x1這兩個事件的時間Δt為固有時。根據(jù)時間膨脹效應：所以：XYoXYo第二十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日(1)

長度收縮也是一種相對論效應，根據(jù)倒易性，S’系中的觀察者同樣會發(fā)現(xiàn)靜止于S系中的棒變短了；注:(2)

若u<<c，則l≈l’。所以牛頓的絕對空間概念是相對論空間概念在低速運動情況下的特例（或近似）；(3)

長度收縮不是物質的一種物理效應，而是和同時的相對性相聯(lián)系的相對論效應；(4)

垂直于運動方向的棒，其長度保持不變。第二十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日例題3例題3：固有長度為5m的飛船以u=9×103m/s的速率相對于地面（假定為慣性系）勻速飛行。從地面上測量，它的長度是多少？由題意：所以：可見：即使對于u=9×103m/s這樣大的速率來說，長度收縮效應也是很難測量出來的。若：u=0.2c，則l=4.899m；u=0.4c，則l=4.583m；

u=0.9c，則l=2.179m第二十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日例題4例題4：從π介子在其中靜止的參照系來考慮π介子的平均壽命。（各數(shù)據(jù)參照例題2）從π介子參照系看來，實驗室的運動速率為u=

0.99c，實驗室中測得的距離l=52m為固有長度。在π介子參照系中測量此距離應為：而實驗室飛過這一段距離所用的時間為：這正好是π

介子的平均靜止壽命。返回第二十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日§8-4

洛侖茲坐標變換、

相對論時空觀符合愛因斯坦相對論時空觀的時—空坐標變換式稱為洛侖茲變換。第二十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日XYZyzoPS系S’系1、洛侖茲坐標變換：設某時刻在P點發(fā)生的一個事件在S、S’系中的時空坐標分別為:在S系看來P到Y’Z’平面的距離為:所以：utS:(x,y,z,t);S’:(x’,y’,z’,t’)或：x§8-4洛侖茲坐標變換、相對論時空觀第二十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日在S’系看來P到YZ平面的距離為:所以：由(1)、(2)式中消去x’，可得：而o,o’的距離為:ut’XYZyzoPS系S’系ut’x’第二十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日垂直于運動方向的長度測量與參照系無關。洛侖茲變換：洛侖茲逆變換：帶’與不帶’互換u與?u互換第二十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日注:洛侖茲變換把空間測量與時間測量聯(lián)系了起來。時間作為和空間地位相同的一個坐標而出現(xiàn)，從而導致了統(tǒng)一的四維時空概念。(1)真空中的光速c是一切實物物體運動速率的極限。若u≥c，則洛侖茲公式將失去意義。說明兩個參照系之間的相對速率不能大于或等于c。而參照系總是建立在某個物體（或物體組）上的。因此，一物體相對于另一物體的速率不可能大于光速。或：(2)若u<<c，洛侖茲變換式轉換為伽利略變換式。(3)第三十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2、相對論時空觀：設A、B兩事件的時空坐標為：則：所以：S:A(x1,0,0,t1),B(x2,0,0,t2)S’:A(x1’,0,0,t1’),B(x2’,0,0,t2’)第三十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日討論：(1)

若S’系中，兩事件發(fā)生于同一地點、同一時刻，即：(2)

若S’系中，兩事件發(fā)生于不同地點、同一時刻，即：同一地點，同一時刻兩事件的同時性是絕對的。不同地點，同一時刻兩事件的同時性是相對的。x2’=x1’、t2’=t1’

，則

t2=t1

。x2’≠x1’、t2’=t1’

，則

t2≠t1

。第三十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日討論：(3)

時間延緩效應：——

時間延緩若S’系中，兩事件發(fā)生于同一地點，不同時刻，即：x2’=x1’、t2’≠t1’。因Δt’=t2’?t1’為固有時，所以：第三十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日(4)

長度收縮效應：在S系中測量此棒的長度時，必須同時測量其兩端x1,x2。即

t2=t1

。所以：或：——

長度收縮若在S’系的x’軸上放一靜止的棒，長度為

l’=x2’?x1’，則由洛侖茲變換：第三十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日但可以證明:具有因果關系的兩個事件發(fā)生的時間順序，在任何慣性系中都不可能顛倒

!(5)

關于時序問題：若

t2’>t1’，即S’系中B事件遲于A事件發(fā)生。但

t2?t1

可大于、等于或小于零。即：兩事件發(fā)生的時間順序在不同參照系中有可能顛倒

!?由：得：第三十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日若B事件由A事件引起，則A必向B傳遞了某種“作用”或“信號”。這一信號在

t1’

到

t2’

時刻由

x1’

傳遞到

x2’

?！靶盘査俣取辈豢赡艽笥诠馑伲矗核裕嚎傆?/p>

t2>t1。其傳遞速度為：—

“信號速度”第三十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日例題5例題5：在S’系中，一米尺與o’x’軸成30o角，若要使這米尺與x軸成45o角。則：(1)S’系應以多大速率相對于S系運動？(2)在S系中該米尺有多長？XYo(1)得：(2)返回第三十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日§8-5

相對論速度變換第三十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日速度在S系和S’系中的定義分別為：在洛侖茲坐標變換式中，對t’求導，得洛侖茲速度變換式：S系：S’系：§8-5相對論速度變換第三十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日洛侖茲速度變換：洛侖茲速度逆變換：(1)

在垂直于x方向vy’≠vy、vz’≠vz，是因為S系和S’系中采用了不同的時間坐標所致；(2)

當u<<c時，洛侖茲速度變換將回到伽利略速度變換；(3)

若S’系中一光束沿x’方向以c傳播，則在S系中該光束的速度為：可見：洛侖茲速度變換符合光速不變原理。第四十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日例題6例題6：地面上空兩飛船分別以+0.9c和?0.9c的速度向相反方向飛行，求其中一艘飛船相對另一艘飛船的速度。設S系固定在速度為?0.9c的飛船上，則地面對S系的速度為u=+0.9c。以地面為S’系，則另一飛船在S’系中的速度為vx’=0.9c。由洛侖茲速度逆變換式：相對于地面來說，兩飛船的“相對速度”的確等于1.8c。但就一個物體來說，它對任何其他物體或參照系的速度不可能大于c，這才是相對論中速度概念的真正含義。返回XYo+0.9c?0.9c第四十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日1、相對論質量：在相對論力學中，動量守恒定律仍然是成立的，且動量仍表示為：在牛頓力學中，質量m是與物體運動速度無關的常量。而在相對論力學中，為使動量守恒定律的形式對洛侖茲變換保持不變，必須認為物體質量與其運動速度有關。可以證明：式中：m0是物體相對參照系靜止時的質量，稱為靜質量；m是物體相對參照系運動時的質量，稱為相對論質量?！?-6狹義相對論動力學基礎第四十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日注:式中v是指物體相對某參照系的運動速率，而不是兩個參照系之間的相對速率。(1)當v<<c時，m≈m0。此時運動物體的質量近似等于其靜質量。這就是牛頓力學的結果。(2)若v→c，則m→∞。這說明，在真空中的光速c是一切物體運動速度的極限。(3)例：當v=104m/s時，m=1.000000001m0當v=0.98c時（如被加速器加速的電子），m=5.03m0第四十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日在相對論中，相對論動量可表示為：質點所受的力，仍然用質點動量的變化率來定義：而用加速度表示的牛頓第二定律公式：在相對論力學中不再成立。第四十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2、相對論動能：在相對論力學中，靜質量為m0，速率為v的質點的動能仍定義為：將該質點的速率從零加速到v的過程中，合外力對該質點所做的功。設質點在外力F作用下產(chǎn)生位移dr，則：即：第四十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日又由相對論質量公式：得：兩邊取微分：或：比較(1)、(2)兩式得：兩邊積分得：相對論動能公式第四十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日注:當v<<c時:(1)當v→c時，Ek→∞

(m0≠0時)?？梢?，靜質量不為零的質點的速度不可能大于或等于光速c。(2)有一種粒子（如光子）總是以光速c運動。因此，其靜質量為零（m0=0）。(3)則:可見經(jīng)典力學是相對論力學在低速情況下的特例。第四十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日3、相對論能量：

在相對論動能公式中：

為質點靜止時的能量，稱為靜止能量。

為質點運動時的能量，稱為相對論能量。

稱為相對論質能關系式。第四十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日注:在核反應前后，粒子的總質量會變小，稱為質量虧損。由相對論質能關系，得：(2)在幾個粒子相互作用的過程中，最一般的能量守恒表達式為：(3)(1)在相對論中，把粒子的能量E和它的質量m直接聯(lián)系在一起，說明一定的質量相應于一定的能量。兩者只差一個恒定的因子c2。即質量的虧損伴隨著能量的釋放。此時：可見能量守恒和質量守恒在相對論中完全統(tǒng)一了起來。第四十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日例