專題11分式方程的解法（含答案）

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)專題11分式方程的解法知識(shí)引入在曹沖稱象的故事中，聰明的曹沖運(yùn)用了這樣一種方法：要知道大象的體重但不能直接去稱，便把問題變?yōu)槿菀邹k到的去稱石頭的重量，最后由石頭的重量還原為大象的體重。這里曹沖運(yùn)用了一個(gè)極為普遍的思想一—轉(zhuǎn)化思想.即把有待解決的問題，通過適當(dāng)?shù)姆椒ǎD(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或已經(jīng)知道其解決方法的問題.類似的故事還有“七橋問題”：在18世紀(jì)，東普魯士哥尼斯堡（今屬立陶宛共和國）內(nèi)有一條大河，河中有兩個(gè)小島。全城被大河分成四塊陸地。河上架有七座橋，把四塊陸地聯(lián)系起來.當(dāng)時(shí)許多市民都在思索如下后回到原來的出發(fā)地.這就是歷史上有名的哥尼斯堡七橋問題.大數(shù)學(xué)家歐拉用“一筆畫決了這個(gè)問題，就是巧妙地運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想.解分式方程一般利用轉(zhuǎn)化思想，先轉(zhuǎn)化為整式方程，然后通過解整式方程求出分式方程的解.的問題：一個(gè)人能否從某一陸地出發(fā)，不重復(fù)地經(jīng)過每座橋一次，最”的方法解知識(shí)解讀1.解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.2.解分式方程的一般步驟：（1）方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）驗(yàn)根：把整式方程的根代人最簡公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對(duì)于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗(yàn)。3.較為復(fù)雜的分式方程可以采用換元法、約分來簡化.21世紀(jì)教育網(wǎng)培優(yōu)學(xué)案典例示范一、解可化為一元一次方程的分式方程，體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化思想例1解方程：（1）3x2；x（2）121.x1x2【提示】按照解一元一次方程的步驟解題即可；當(dāng)分式是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先將分母的多項(xiàng)式因式分解，再求最簡公分母；解分式方程必須驗(yàn)根.【解答】【技巧點(diǎn)評(píng)】利用轉(zhuǎn)化思想解分式方程的基本思路：轉(zhuǎn)化思想兩邊同時(shí)乘分轉(zhuǎn)化為求整解分式方程求得分式方程的解母的最簡公分母式方程的解分式方程最后一定要驗(yàn)根跟蹤訓(xùn)練11.解方程：2x3x.x1x11x11（1）(x1)(x2)；（2）二、化簡后，再解方程6y12y24y20.y24y4y24y4y24例2解方程【提示】先考慮將方程中各項(xiàng)約分，然后按照解方程的一般步驟解題.【解答】21世紀(jì)教育網(wǎng)【技巧點(diǎn)評(píng)】對(duì)于一些形式比較繁瑣的方程，可先化簡，然后再解方程，可以大大簡化計(jì)算過程。跟蹤訓(xùn)練2x22.解方程3x31.x23x22x22三、裂項(xiàng)化簡1111例3解方程：x10(x1)(x2)(x2)(x3)(x9)(x10)2.【提示】111.(x1)(x2)x1x2【解答】跟蹤訓(xùn)練33.解方程：111(x2010)(x2011)11.x(x1)(x1)(x2)x四、拓展公式的應(yīng)用例4解方程：1111；x4x7x5x6（2）12x1032x3424x2316x194x38x98x74x5【提示】（1）很顯然（1）決這個(gè)問題需要觀察方程特征.思路1：x4與x5直接通分比較麻煩，解1111放一邊，兩邊通分解決問x6x4x5相差1，與x7相差1，可考慮把放一邊，把x6x7題；思路2：x4與x7的和為2x11，與的和也是x5x62x11，所以考慮分別左邊通分，右邊通分；（2）先化簡，再利用第（1）題的思路解題。【解答】【技巧點(diǎn)評(píng)】這兩種方法的相似之處是，通過通分使得方程左右兩邊化為分式的分子相同、分母不相同的特殊21世紀(jì)教育網(wǎng)方程.跟蹤訓(xùn)練4x4x8x7x5x5x9x8x6．4.解方程：五、整體換元例5解方程（組）：661,xy2111x211x8x22x8x213x80；（2）（1）833.xy10【提示】（1）若考慮去分母，運(yùn)算量過大；分拆也不行，但各分母都是二次三項(xiàng)式，試一試換元法；（2）把1，1看作一個(gè)整體，當(dāng)作二元一次方程組解.xy【解答】【技巧點(diǎn)評(píng)】當(dāng)分式方程的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜且有相同或相近部分時(shí)，可通過換元將之化簡。跟蹤訓(xùn)練5xy3xy22,5.35.解方程組：xy5xy拓展延伸六、可化為一元二次方程的分式方程21世紀(jì)教育網(wǎng)例6解下列分式方程：312（2）x222x（1）3；x2.xx【提示】可先去分母，將方程化成ax2+bx+c=0的形式，然后將方程左邊因式分解，可化成(xp)(xq)的形式xp0，xq0.，接著得到兩個(gè)一元一次方程【解答】【技巧點(diǎn)評(píng)】解可化為一元二次方程的分式方程，它的解題思路與可化為一元一次方程的解題思路相同，都是通過去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程（一元二次方程），然后解方程.跟蹤訓(xùn)練66.解下列分式方程：xx232（1）（2）x12+14x24x1x競(jìng)賽鏈接例7（山東省競(jìng)賽試題）形如x+1a1結(jié)構(gòu)的分式方程的解法：形如x+1a1的分式方xaxaxx+1x2535x+11012xax程的解是=,利用上面的結(jié)論解方程+12a【提示】方程左邊兩項(xiàng)的乘積為1，可考慮化為上述類型的問題求解.【解答】跟蹤訓(xùn)練71x113的一個(gè)根是3，則另一個(gè)根是.27.（初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）方程+x21世紀(jì)教育網(wǎng)培優(yōu)訓(xùn)練直擊中考1.★解下列分式方程：216（2）14x783x0（1）5+x1x3x82x1x322xx（3）12（4）2x13xx22.★解下列分式方程：x2161（2）4x224（1）1x+2x24x+24x2x23.★解下列分式方程：13xx21x2631（1）1（2）（x1)(x1)x11xx+13x3222（4）（3）1x1x1x+2x1挑戰(zhàn)競(jìng)賽3x+9“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）若a是有理數(shù)，使得分式方程1沒有解，則另xa1.★