電磁場理論電子教案中科大

電磁場理論電子教案中科大1第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日主要內(nèi)容：時(shí)變電磁場的波動(dòng)方程勢函數(shù)與推遲勢時(shí)變電磁場的時(shí)諧展開定態(tài)電磁場與平面電磁波平面電磁波的極化概念第五章時(shí)變電磁場第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日5.1時(shí)變電磁場的勢函數(shù)

1時(shí)變電磁場隨時(shí)間變化的電磁場稱為時(shí)變電磁場。時(shí)變電磁場比靜態(tài)電磁場要復(fù)雜得多，主要表現(xiàn)在：

時(shí)變電磁場之間相互激勵(lì)而具有的波動(dòng)特性，波動(dòng)使時(shí)變電磁場的疊不僅要考慮矢量的方向，同時(shí)還要考慮波相位對疊加的影響；電磁場的大小和方向隨時(shí)間而變化，將導(dǎo)致介質(zhì)的極化和磁化特性隨時(shí)而變，使介質(zhì)呈現(xiàn)色散特性等。

3第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2波動(dòng)方程兩邊求旋度兩邊求旋度波動(dòng)方程第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3時(shí)變電磁場的勢函數(shù)靜態(tài)電磁場可通過位（勢）函數(shù)滿足的方程進(jìn)行求解，并且可以得到簡化。時(shí)變電磁場能否引入勢函數(shù)，通過勢函數(shù)滿足的方程來求解，達(dá)到求解時(shí)變電磁場的目的。是一無散矢量場引入勢函數(shù)將上式代入電磁感應(yīng)定律，得到5第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日是一無旋矢量場，可以引入標(biāo)量

函數(shù)的梯度表示，即和分別為電磁場的磁矢勢和電標(biāo)勢。

必須指出的是，盡管磁感應(yīng)強(qiáng)度在形式上只與磁矢勢有關(guān)，不能據(jù)此認(rèn)為磁感應(yīng)強(qiáng)度由磁矢勢決定而與電標(biāo)勢無關(guān)。因?yàn)樵跁r(shí)變情形下，電磁場相互激發(fā)，而時(shí)變電場由磁矢勢和電標(biāo)勢共同描述，使得時(shí)變磁場本質(zhì)上與磁矢勢和電標(biāo)勢都有聯(lián)系。

6第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3勢函數(shù)的規(guī)范根據(jù)矢量場的Helmholtz定理，確定區(qū)域上的矢量函數(shù)只有在該矢量函數(shù)的散度和旋度及其邊界條件是確定的才能唯一確定。根據(jù)磁矢勢引入的定義，由關(guān)系式是不能唯一確定磁矢勢。例如：7第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日勢函數(shù)的非唯一性源于其磁矢勢散度的任意性。因此，要使電磁場與勢函數(shù)之間為唯一對應(yīng)關(guān)系，須給勢函數(shù)以明確的約束規(guī)定，稱這種約束規(guī)定為勢函數(shù)的規(guī)范。

Coulomb規(guī)范：對于磁矢勢，輔以勢函數(shù)方程：8第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日Lorentz規(guī)范對勢函數(shù)輔以約束條件得到勢函數(shù)滿足的方程為：這是一組標(biāo)準(zhǔn)的D’Alembert方程。上式形式上磁矢勢僅與電流有關(guān)，電標(biāo)勢僅與電荷分布有關(guān)，但它們通過Lorentz規(guī)范聯(lián)系9第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日規(guī)范變換的不變性

每一種規(guī)范建立了勢函數(shù)與時(shí)變電磁場之間的一一對應(yīng)關(guān)系。因此同一電磁場可以有多種規(guī)范條件下的勢函數(shù)與之對應(yīng)，如：由于電磁場的解是唯一的，不同規(guī)范下勢函數(shù)能夠描述同一電磁場，這意味著不同規(guī)范下的勢函數(shù)之間必然存在某種聯(lián)系，可以進(jìn)行相互變換。規(guī)范一規(guī)范二10第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日如Coulomb與Lorentz規(guī)范之間11第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日由此可見，盡管電磁場的勢函數(shù)有多種規(guī)范，不同規(guī)范有不同的勢函數(shù)，但不同規(guī)范下的勢函數(shù)可以通過變換關(guān)系實(shí)現(xiàn)相互之間的轉(zhuǎn)換，稱為規(guī)范變換。不同規(guī)范下的勢函數(shù)描述同一電磁場。勢函數(shù)作規(guī)范變換時(shí)，其所描述的物理量及其遵循的物理規(guī)律應(yīng)保持不變，稱為規(guī)范變換的不變性12第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1D’Alembert方程的定解問題時(shí)變電磁場可歸納為不同初始條件和邊界下D’Alembert方程的求解。一般情形下的求解是困難的。僅就無界空間的特例的解及其意義進(jìn)行討論。5.2推遲勢13第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日14第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日r15第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日5.3時(shí)變電磁場的能量1Poynting定理時(shí)變電磁場具有能量已被大量的事實(shí)所證明。時(shí)變電磁場可以脫離電荷或電流而在空間存在，且隨時(shí)間的變化在空間以波動(dòng)形式傳播。那么時(shí)變電磁場的能量又以何種形式存在于空間，它是否隨電磁波的傳播而在空間傳播？首先來討論時(shí)變電磁場能量的守恒與轉(zhuǎn)化關(guān)系。16第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日設(shè)有一閉合介質(zhì)空間區(qū)域V，其內(nèi)存在時(shí)變的電荷、電流和電磁場。

JρV場的能量密度設(shè)為：能量流密度矢量：由于時(shí)變電磁場的波動(dòng)特點(diǎn)，閉合空間內(nèi)部的電磁場有可能傳播到外部，外部空間的電磁場也有可能傳播到空間內(nèi)部，閉合空間的內(nèi)外有可能存在電磁場能量的交流。

根據(jù)能量守恒定律：表示場對荷電系統(tǒng)作用力密度

v為荷電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度

表示通過界面在單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入V內(nèi)電磁場的能量表示單位時(shí)間內(nèi)空間區(qū)域電磁場能量的增量

區(qū)域內(nèi)場對荷電系統(tǒng)所作的功率17第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日表示閉合空間區(qū)域V內(nèi)電磁場能量守恒和轉(zhuǎn)化的關(guān)系式，稱為Poynting定理，其中

稱為Poynting矢量

18第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日對于線性均勻各向同性介質(zhì)，2電磁場能量的傳播Poynting定理給出了時(shí)變電磁場能量傳播的一個(gè)新圖像，電磁場能量通過電磁場傳播。這對于廣播電視、無線通信和雷達(dá)等應(yīng)用領(lǐng)域是不難理解的。19第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日恒定電流或低頻交流電的情況下，場量往往是通過電流、電壓及負(fù)載的阻抗等參數(shù)表現(xiàn)，表面上給人造成能量是通過電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸?shù)募傧?。I如能量真是通過電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸，常溫下導(dǎo)體中的電荷運(yùn)動(dòng)速度約10-5m/s，電荷由電源端到負(fù)載端所需時(shí)間約是場傳播時(shí)間（L/c）的億萬倍負(fù)載只需經(jīng)過極短（t=L/c，其中c為光速）的時(shí)間就能得到能量的供應(yīng)。20第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日21第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日5.4時(shí)變電磁場的唯一性定理

1時(shí)變電磁場的唯一性定理，表述如下：如果在閉合區(qū)域V內(nèi)，①時(shí)刻的電磁場已知（初始條件）；②的任何時(shí)刻,電場或磁場在區(qū)域邊界上的切向分量已知，或部分邊界上電場而其余邊界上的磁場切向分量已知；則在任何時(shí)刻區(qū)域V內(nèi)存在唯一電磁場。22第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日唯一性定理的證明

仍用反證方法，假設(shè)有兩組解

在閉合區(qū)域V內(nèi)滿足條件①和②，但在后兩者在區(qū)域V內(nèi)不相等。應(yīng)用Poynting定理：>0<023第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日5.5時(shí)諧電磁場1時(shí)變電磁場的問題

根據(jù)唯一性定理，只要區(qū)域上電磁場的初始狀態(tài)和邊界上電（或磁）場的切向分量已知，場的求解問題即得到解決。實(shí)際上問題并沒有解決。

1)初始條件：時(shí)變電磁場的初始狀態(tài)一般不容易準(zhǔn)確得到或根本無法得到。初始狀態(tài)無法確知24第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日

2）介質(zhì)的頻率特性場滿足的波動(dòng)方程或勢函數(shù)方程都是介質(zhì)的電磁特性參數(shù)是時(shí)不變情形下得到的。這種假設(shè)只對靜態(tài)電磁場或隨時(shí)間變化緩慢準(zhǔn)靜態(tài)電磁場才成立。一般情況下，介質(zhì)的電磁特性參數(shù)不僅是空間的函數(shù)，同時(shí)還是時(shí)間的函數(shù)。場和勢函數(shù)滿足方程非常復(fù)雜。25第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日

3)對于確定波動(dòng)頻率的電磁場，理論和實(shí)驗(yàn)都證明介質(zhì)的特性參數(shù)是與時(shí)間無關(guān)的確定常數(shù)，場或勢函數(shù)的波動(dòng)方程仍然成立。不同的頻率不同。26第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日諧變電磁場1)

諧變電磁場及其復(fù)數(shù)表示

隨時(shí)間作簡諧變化的電磁場稱為諧變電磁場。其一般形式(以電場為例）是：

圓頻率為電場強(qiáng)度的初相位，應(yīng)用復(fù)數(shù)表示

27第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2）諧變電磁場中的介質(zhì)特性

實(shí)驗(yàn)和理論都證明，對于諧變電磁場，線性均勻各向同性介質(zhì)的極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度和傳導(dǎo)電流密度也是諧變量，即：28第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3)諧變電磁場的Maxwell方程

考慮到諧變量的如下運(yùn)算關(guān)系:

將時(shí)變電磁場的Maxwell方程組中的各物理量換為諧電磁場量29第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日4）諧變電磁場的波動(dòng)方程在諧變電磁場中，介質(zhì)的特性參數(shù)為常數(shù)，場量或勢函數(shù)滿足的波動(dòng)方程為Lorentz規(guī)范條件

30第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日由于介質(zhì)特性參數(shù)是頻率的函數(shù)，不同頻率的諧變電磁場在介質(zhì)中傳播速度v不同，波長也不相同。這一現(xiàn)象稱為介質(zhì)的色散，具有色散特性的介質(zhì)稱為色散介質(zhì)。

tE信號(hào)頻率分布f光纖傳輸傳輸后變型的信號(hào)被傳輸?shù)男盘?hào)E31第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日諧變電磁場問題最終為求非齊次Helmholtz方程在相應(yīng)邊界條件下的解，不再需要初始條件。這是不難理解的，因?yàn)橹C變電磁場意味著自無窮遠(yuǎn)的過去到無窮遠(yuǎn)的未來隨時(shí)間作簡諧變化，不存在場的初始狀態(tài)。因?yàn)閳鲭S時(shí)間變化的規(guī)律已由諧變（時(shí)諧或正弦）所描述，因此只需要求場關(guān)于空間的分布。32第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3任意時(shí)變電磁場的時(shí)諧展開對于線性均勻各向同性介質(zhì)，諧變電磁場的方程簡單而又不需要初始條件。這一事實(shí)，使得我們可以從新考慮一般時(shí)變電磁場的求解方法。按照

Fourier變換的觀點(diǎn)，任何時(shí)變電磁場信號(hào)，都可以表示為不同頻率、不同振幅和不同初始相位的諧變電磁場信號(hào)的疊加，即：頻率為ω的諧變電磁場33第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日因此時(shí)變電磁場可以通過先求，再通過求逆Fourier變換獲得一般問題的解。從而避免時(shí)變電磁場初始條件確定的困難。諧變電磁場又稱為正弦電磁場或稱為定態(tài)電磁場。因此今后在沒有特別說明的情形下，主要討論諧變電磁場問題。34第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日關(guān)于初始條件對電磁場影響的處理時(shí)變電磁場問題通過Fourier變換轉(zhuǎn)變?yōu)橹C變電磁場問題來求解。避免了初始條件確定的困難。但是無線電系統(tǒng)工作的初始狀態(tài)（條件）并不因?yàn)椴捎貌煌奶幚矸椒ǘ?，必然要對系統(tǒng)的工作產(chǎn)生影響。這種影響通過噪聲表現(xiàn)出來。35第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日5.6均勻平面電磁波1.電磁波的激發(fā)當(dāng)天線饋以隨時(shí)間諧變的電流，諧變電流將在其周圍激發(fā)出隨時(shí)間簡諧變化的磁場，諧變的磁場又將激發(fā)出諧變的電場。導(dǎo)線外部空間諧變電磁場相互激發(fā)并向外延伸傳播，形成電磁波。源區(qū)36第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2.平面電磁波方程無源的介質(zhì)空間中，電場和磁場通過如下關(guān)系相聯(lián)系，只需求解電場或磁場，電磁場的解即可得到。比如電場滿足的方程是：考慮到在無源空間中。電磁場的三個(gè)分量不是完全獨(dú)立的。所以在無源空間區(qū)域上電磁場只有兩個(gè)獨(dú)立的變量。37第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3.均勻平面電磁波特性

作為諧變電磁場方程解的特例，設(shè)電場僅為直角坐標(biāo)變量z的函數(shù)，其方程為

方程的通解是第一項(xiàng)代表沿Z軸正向傳播的電磁波第二項(xiàng)代表沿Z軸負(fù)向傳播的電磁波38第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日只考慮沿Z的正向傳播的波，其相位等于常數(shù)的各點(diǎn)在空間描繪的曲面（稱這曲面為等相位面）為平面，其方程為：

因此稱為平面電磁波。又由于電場和磁場的振幅在傳播過程中為常數(shù)，故稱為均勻平面電磁波。39第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日①均勻平面電磁波是橫電磁波（TEM波）均勻平面電磁波的電場、磁場、傳播方向相互垂直。波在傳播方向上沒有電磁場分量，稱為橫電磁波傳播方向z電場E磁場H40第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日均勻平面電磁波的波阻抗為常數(shù)均勻平面電磁波的電場和磁場振幅之比為介質(zhì)電磁特性參數(shù)決定的常數(shù)，其值為

這是一個(gè)很重要的物理量，它具有阻抗量綱，稱為波阻抗。

ZinR41第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日③平面電磁波的能流密度矢量，其方向?yàn)椴▊鞑サ姆较?，其大小為平面電磁波能量密度與波傳播速度的積

42第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日4平面電磁波的極化

平面電磁波的電場和磁場與波傳播方向垂直。在z軸的某一固定點(diǎn)上，電（或磁）場矢量的大小和方向一般隨時(shí)間而變。電（或磁）場矢量末端軌跡隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的方式稱為電（或磁）場的極化。xyt1t2t3電場矢量末