電力變壓器與工程電磁場

電力變壓器與工程電磁場第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§1.1矢量分析1.標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量：只有大小而沒有方向的量。如電壓U、電荷量Q、電流I、面積S。矢量：具有大小和方向特征的量。如電場強(qiáng)度矢量、磁場強(qiáng)度矢量、作用力矢量、速度矢量等。標(biāo)量場：在指定的時刻，空間每一點(diǎn)可以用一個標(biāo)量唯一地描述，則該標(biāo)量函數(shù)定出標(biāo)量場。例如物理系統(tǒng)中的溫度、壓力、密度等可以用標(biāo)量場來表示。矢量場：在指定的時刻，空間每一點(diǎn)可以用一個矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定出矢量場。例如流體空間中的流速分布等可以用矢量場來表示。第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2.場的"場圖"表示

對矢量場，則用一些有向曲線來形象表示矢量在空間的分布，稱為力線或流線。力線上任意點(diǎn)的切線方向必定與該點(diǎn)的矢量方向相同。

對標(biāo)量場，用等值面圖表示?？臻g內(nèi)標(biāo)量值相等的點(diǎn)集合形成的曲面稱為等值面，例如氣象圖上的等壓線，地圖上的等高線等。

第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日3.矢量的通量、散度

一個開表面上的面元，其方向與圍成該開表面的閉合回路的方向呈右螺旋關(guān)系。一個閉合面上的面元，其方向?yàn)樵撻]合面的外法線方向。第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日通量定義：矢量A沿某一有向曲面S的面積分為A通過S的通量，即

。物理意義：矢量通過閉合面的通量反映了閉合面內(nèi)源的性質(zhì)。散度定義：在矢量場A中，圍繞P點(diǎn)做一閉合面，所圍體積為，若穿過閉合面的通量與之比的極限存在，則該極限稱為矢量場A在P點(diǎn)的散度,即物理定義：包圍單位體積閉合面的通量。

計(jì)算公式：

散度（高斯）定理：

第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日4.矢量的環(huán)流、旋度

定義：矢量A沿某一有向閉合曲線C的線積分為A沿C的環(huán)流，即物理意義：矢量沿閉合曲線的環(huán)流反映了閉合曲線內(nèi)源的性質(zhì)。矢量的旋度：在矢量場A中，圍繞P點(diǎn)做一閉合回路c，所圍面積為S，其法線方向單位矢量為n；A的旋度是矢量，其大小為S0時環(huán)流面密度的最大值，其方向?yàn)槭弓h(huán)流面密度取最大值時面元的法線方向，即

第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日物理意義：矢量的旋度是環(huán)流面密度的最大值，與面元的取向無關(guān)。計(jì)算公式：斯托克斯定理：

第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日5.標(biāo)量的梯度

定義：標(biāo)量場u在某點(diǎn)的梯度是一個矢量，其方向?yàn)閡增加最大的方向，即等值面法線方向；其大小等于u在該方向上的增加率，即最大增加率。物理意義：標(biāo)量的梯度表示了標(biāo)量u增加率的最大值及方向。計(jì)算公式：標(biāo)量沿某一方向的方向?qū)?shù)等于標(biāo)量的梯度在該方向上的投影，即

第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日證明：第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日6.矢量恒等式

7.亥姆霍茲定理

定理：位于空間有限區(qū)域內(nèi)的矢量場，當(dāng)它的散度，旋度以及它在區(qū)域邊界上的場分布給定之后，該矢量場就被唯一確定；對于無限大空間，如果矢量在無限遠(yuǎn)處減少至零，則該矢量由其散度和旋度唯一確定。

第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日幾個場的名稱和性質(zhì)：保守場：場強(qiáng)沿線積分與路徑無關(guān)，沿閉合回路的積分為零。無旋場：旋度為零的矢量場叫做無旋場。標(biāo)量場的梯度場是無旋場，如靜電場。無散場：散度為零的矢量場叫做無散場。矢量場的旋度場是無散場，如恒定磁場。由亥姆霍茲定理可知，對矢量場的研究應(yīng)從散度和旋度兩方面進(jìn)行。散度方程和旋度方程組成了矢量場的基本微分方程，通量方程和環(huán)流方程組成了矢量場的基本積分方程。第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§1.2時變電磁場的基本方程

1.時變磁場產(chǎn)生有旋、無散電場

法拉第電磁感應(yīng)定律:式中，in為感應(yīng)電勢，S為以閉合回路為邊界的曲面，n為S的單位法向量，為穿過曲面S的磁通。它們之間的關(guān)系如圖1所示。式中的負(fù)號可由楞次定律說明，即感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場將抵抗原來磁場的變化。第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日對應(yīng)感應(yīng)電勢in，存在感應(yīng)電場Ein，且感應(yīng)電勢in等于感應(yīng)電場Ein沿閉合回路的線積分，即：可以看出，感應(yīng)電場Ein

沿閉合回路的線積分不為零。換句話說，感應(yīng)電場為非保守場。假設(shè)在隨時間變化的磁場中，閉合回路C以速度v在t的時間間隔內(nèi)位移了vt的距離，則閉合回路中磁通的變化率為：第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日閉合回路C的一個線元dl也在t的時間間隔內(nèi)位移了vt的距離，它掃過一個面元，整個回路掃過一個側(cè)面S（t）。S（t），S（t）和S（t+t）構(gòu)成一個閉合曲面，令其為S0，則由磁通連續(xù)性原理，在t+t時刻，應(yīng)有：用泰勒公式展開為：略去二階以上的無窮小項(xiàng)，帶入上式，得：第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日移項(xiàng)，可得：由此可得：利用斯托克斯定理：曲面S是任意的,等號兩邊的積分核必須相等，即：感應(yīng)電場的電場強(qiáng)度線是無頭無尾的閉合曲線，它對任意閉合曲面的面積分必然為零，或者說它的散度為零（）?？梢?，感應(yīng)電場是有旋場，無散場。第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日如果空間還存在庫侖電荷，則庫侖電荷產(chǎn)生的庫侖電場Ec與靜電場性質(zhì)相似，是無旋場，有散場，只是場量隨時間變化。此時空間任一點(diǎn)的電場為感應(yīng)電場與庫侖電場之和，即：

可得：

由于感應(yīng)電場是無散場，靜電場中的高斯定理可以推廣到時變電磁場，且具有相同的形式，其積分和微分形式分別為：第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2.時變電場產(chǎn)生有旋、無散磁場

恒定磁場的安培環(huán)路定律不再適用于時變電磁場，因?yàn)樗c經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明的電荷守恒定律相矛盾:

恒定磁場時變電磁場靜電場中的高斯定理可以在形式上不加修改地應(yīng)用于時變電磁場，將其微分形式代入電荷守恒定律，得第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日定義，稱為位移電流密度。表明傳導(dǎo)電流與位移電流之和是連續(xù)的，這也稱為全電流連續(xù)性原理。

相應(yīng)的位移電流為：位移電流與傳導(dǎo)電流一樣，可以產(chǎn)生磁場。換一個角度講，可以將恒定磁場的安培環(huán)路定律推廣到時變電磁場，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日由斯托克斯定理，可以得到推廣的安培環(huán)路定律的微分形式：

即變化的電場可以產(chǎn)生磁場。這一問題的物理意義可以通過下面的例子得到進(jìn)一步的說明。

可知二者應(yīng)該相等，即傳導(dǎo)電流與位移電流之和是連續(xù)的。第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日位移電流與傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場性質(zhì)相同，都是有旋場、無散場。因此，在時變電磁場中，磁通連續(xù)性原理仍然成立，即：

3.麥克斯韋方程

第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日全電流連續(xù)性方程和電荷守恒定律可以從推廣的安培環(huán)路定律和高斯定理的微分形式導(dǎo)出。對于線性、各向同性媒質(zhì)，有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系：

【例1】如圖所示，一根導(dǎo)電棒可以在兩條導(dǎo)電軌道上自由滑動，計(jì)算導(dǎo)電棒上的感應(yīng)電勢，(1)如果導(dǎo)電棒靜止在y=8cm處，且B=az4cos106tmWb/m2；(2)如果導(dǎo)電棒以速度v=20aym/s滑動，且B=4azmWb/m2；(3)如果導(dǎo)電棒以速度v=20aym/s滑動，且B=az4cos（106t-y）mWb/m2。第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙QBvP圖6-3例6-1圖06cm解:(1)

可得：感應(yīng)電勢的參考方向是從Q點(diǎn)指向P點(diǎn)。

(2)由式（6-4），可得：

感應(yīng)電勢的參考方向仍然是從Q點(diǎn)指向P點(diǎn)。第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日(3)此時既存在隨時間變化的磁場，又存在運(yùn)動的媒質(zhì),可以用兩種方法求解

方法一：第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日方法二：首先計(jì)算閉合回路中的磁通：利用dy/dt=V，可得：

可見，結(jié)果與方法一的