電工學(xué)第二章測試系統(tǒng)的特性

電工學(xué)第二章測試系統(tǒng)的特性第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日一測試系統(tǒng)1、定義：回顧一下測試系統(tǒng)的組成指示儀（模擬）指示儀傳感器放大電源記錄儀（數(shù)字）PC單片機(jī)非電量電信號被測量第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日測試裝置輸入x輸出y這樣，系統(tǒng)的特性包括：a）輸入特性；b）傳遞特性c）輸出特性可以簡單的表示成：靜態(tài)特性：被測量不隨時間變化或緩慢變化時，y與x之間的關(guān)系，用代數(shù)方程表示。動態(tài)特性：被測量隨時間迅速變化，y與x之間的關(guān)系，微分方程表示靜態(tài)特性動態(tài)特性第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日2-1測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性輸入x與輸出y不隨時間變化時，可以用代數(shù)方程y=Sx表示系統(tǒng)的靜態(tài)特性，稱為靜態(tài)特性方程。例：稱不同重量的物體時，彈簧秤表現(xiàn)出的特性，就是測試系統(tǒng)（彈簧秤）的靜態(tài)特性。因為物體的重量是恒定的，不隨時間變化的。第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日一、靜態(tài)特性指標(biāo)1、靈敏度：靈敏度是指測試裝置在靜態(tài)測量時，輸出增量Δy與輸入增量Δx之比，即

S＝Δy/Δx

線性裝置的靈敏度S為常數(shù)，是輸入與輸出關(guān)系直線的斜率。非線性裝置的靈敏度S是一個變量，輸入量不同，靈敏度就不同，通常用擬合直線的斜率表示裝置的平均靈敏度。y0x擬合曲線實測曲線第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日靈敏度的量綱由輸入和輸出的量綱決定。若輸出和輸入的量綱相同，則稱放大倍數(shù)。應(yīng)該注意的是，裝置的靈敏度越高，就越容易受外界干擾的影響，即裝置的穩(wěn)定性越差，同時測量范圍越小。F還是以彈簧為例：F=KXX=(1/K)F,這里，x是輸出量，F(xiàn)是輸入量。S=1/K=a/b,這里a,b是由K決定的常數(shù)第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日2、線性度：理想的測試裝置靜態(tài)特性曲線是條直線，但實際上大多數(shù)測試裝置的靜態(tài)特性曲線是非線性的。實際特性曲線與擬合直線偏離的程度稱為線性度，用線性誤差表示為δL＝ΔLm/A×100％ΔLm：實際曲線與擬合直線的最大偏差，實際曲線也被稱為標(biāo)定曲線

A：輸出量程

應(yīng)當(dāng)注意，量程越小，線性化帶來的誤差越小，因此要求線性化誤差小的場合可以采取分段線性化。yymxA0xm擬合曲線標(biāo)定曲線△Lm第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日3、回差：實際測試裝置在輸入量由小增大和由大減小的測試過程中，對于同一輸入量會得到大小不等的輸出量，在全部測量范圍內(nèi)，這個差別的最大值與標(biāo)稱輸出范圍之比稱回差。即δh＝hm/ym×100％,hm:正反行程的最大差值，ym：標(biāo)稱輸出范圍回差是由遲滯現(xiàn)象產(chǎn)生的，即由于裝置內(nèi)部的彈性元件、磁性元件的滯后特性以及機(jī)械部分的摩擦、間隙、灰塵積塞等原因造成的。ymyhmxmx04、漂移：指輸入量不變時，經(jīng)過一定的時間后輸出量產(chǎn)生的變化。由于溫度變化而產(chǎn)生的漂移稱溫漂。5、分辨力：指儀器可能檢測出的輸入信號最小變化量。分辨力除以滿量程稱分辨率。第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日2-2測試系統(tǒng)的動態(tài)特性

動態(tài)測量時，被測信號隨時間迅速變化，系統(tǒng)特性就必須用微分方程描述。通常我們希望測試系統(tǒng)為理想的線性時不變系統(tǒng)。一、線性系統(tǒng)輸入的加權(quán)得到輸出的加權(quán)；假設(shè)：系統(tǒng)x1(t)Y1(t)系統(tǒng)x2(t)Y2(t)系統(tǒng)ax1(t)+bx2(t)Y(t)Y(t)=aY1(t)+bY2(t)第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日判斷：(1)y=2x+3(2)y=2x(3)y=x2解：（1）x1(t)Y1(t)=2x1(t)+3x2(t)Y2(t)=2x2(t)+33x1(t)+4x2(t)Y(t)=2[3x1(t)+4x2(t))]+3=6x1(t)+8x2(t)+3如果為線性系統(tǒng)，其輸出應(yīng)為：Y3(t)=3y1(t)+4y2(t)=6x1(t)+9+8x2(t)+12=6x1(t)+8x2(t)+21Y(t)不等于Y3(t),所以系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日x2(t)Y2(t)=2x2(t)Y1(t)=2x1(t)（2）x1(t)3x1(t)+4x2(t)Y(t)=2[3x1(t)+4x2(t))]=6x1(t)+8x2(t)=3y1(t)+4y2(t)所以該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)(3)很明顯是非線性系統(tǒng)時不變系統(tǒng)是指輸入的延時得到輸出的延時。時不變線性系統(tǒng)滿足疊加性，比例特性，頻率保持性。頻率保持性指時不變線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號頻率與輸入信號的頻率相同。如果系統(tǒng)處于線性工作范圍內(nèi)，輸入信號頻率已知，則輸出信號與輸入信號有相同的頻率分量。如果輸出信號中出現(xiàn)與輸入信號頻率不同的分量，說明系統(tǒng)中存在著非線性環(huán)節(jié)或超出了系統(tǒng)線性工作范圍。

這就是說加于常系數(shù)線性系統(tǒng)的各輸入分量所引起的輸出是互不影響的。因此，分析常系數(shù)線性系統(tǒng)在復(fù)雜輸入作用下的總輸出時，可以先將復(fù)雜的輸入量分解成許多簡單的輸入分量，求出每個簡單輸入分量得輸出，再對這些輸出求和。第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日二、系統(tǒng)傳遞特性的描述用：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(0)(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m1)(t)+…+b1x(1)(t)+b0x(0)(t)微分方程來描述系統(tǒng)的傳遞特性。系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)時，該方程為常系數(shù)微分方程。從系統(tǒng)的微分方程中需要掌握：n>m,且n代表系統(tǒng)微分方程的階次；比如：y(t)=kx(t)是零階系統(tǒng)；（代數(shù)方程）a1y/+a0y=b0x(t)是一階系統(tǒng)a2y//+a1y/+a0y=b0x(t)是二階系統(tǒng)通常系統(tǒng)中有n個儲能元件，便是n階系統(tǒng)。an，an-1…a0和bm，bm-1…b0是由系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)特性（物理元件的參數(shù)）唯一確定的常數(shù)。第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日若初始條件為零，也即x(0)=y(0)=0，而且x(0)與y(0的各階導(dǎo)數(shù)也為零，對該方程兩邊作拉普拉斯變換，上式定義為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的特點：1）H(S)與輸入量無關(guān)；2）不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。Y(s)y/(t)sY(s)y(t)y//(t)s2Y(s)…得到：式2－2各種具體的物理系統(tǒng)，只要具有相同的微分方程，其傳遞函數(shù)也就相同，即同一個傳遞函數(shù)可表示不同的物理系統(tǒng)。例如，液柱溫度計和簡單的RC低通濾波器同是一階系統(tǒng)，具有相同的傳遞函數(shù)；動圖式電表、振動子、彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)和LRC振蕩電路都是二階系統(tǒng)，具有相同的傳遞函數(shù)。第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日3）傳遞函數(shù)與微分方程是等價的。由于拉普拉斯變換是一一對應(yīng)變換，不丟失任何信息，故傳遞函數(shù)與微分方程完全等價。

Y(S)=H(S).X(S)。如果已知H(S),和輸入x(t)，可以先求X(S)，由上式求出Y(S），然后通過拉普拉斯反變換，求出y(t),這樣就避開了求解微分方程的難題。第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日三、頻率響應(yīng)若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么將s＝j(luò)ω代入式2－2，得H(jω)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。注意：這兩個變換存在的條件不同。由線性時不變系統(tǒng)(LTI)的頻率保持特性可知：X=sintLTI系統(tǒng)Y=Asin(t+φ)H(jω)給出了不同頻率的成分通過系統(tǒng)時的A(ω),φ(ω);H（jω）=A（ω）ejφ(ω),即H(jω)是ω的函數(shù)第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日同時，H（jω）的復(fù)數(shù)形式可以表示為：H（jω）=P（ω）+jQ（ω），A(ω)表示輸出與輸入的幅值比隨頻率ω變化的關(guān)系，稱為系統(tǒng)的幅頻特性,表現(xiàn)了不同頻率成分通過系統(tǒng)的放大倍數(shù)。Φ(ω)表示輸出與輸入的相位差隨頻率ω變化的關(guān)系，稱為系統(tǒng)的相頻特性，表現(xiàn)了不同頻率成分通過系統(tǒng)的相位角變化（延時）。第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日用頻率響應(yīng)函數(shù)來描述系統(tǒng)的最大優(yōu)點是它可以通過實驗來求得。實驗求得頻率響應(yīng)函數(shù)的原理，比較簡單明了：依次用不同頻率ωi的簡諧信號去激勵被測系統(tǒng)，同時測出激勵和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出的幅值Xi、Yi和相位差φi。這樣對于某個ωi，便有了一組Yi/Xi=Ai和φi，全部的Ai-ωi和φi-ωi，i=1,2,3,…便可表達(dá)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。

需要特別指出，頻率響應(yīng)函數(shù)是描述系統(tǒng)的簡諧輸人和相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出的關(guān)系。因此，在測量系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)時，應(yīng)當(dāng)在系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)階段時才進(jìn)行測量。

盡管頻率響應(yīng)函數(shù)是對簡諧激勵而言的，但如前所述，任何信號都可分解成簡諧信號的疊加。因而在任何復(fù)雜信號輸人下，系統(tǒng)頻率特性也是適用的。這時，幅頻、相頻特性分別表征系統(tǒng)對輸人信號中各個頻率分量幅值的縮放能力和相位角前后移動的能力。

第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日3－1.頻率響應(yīng)的圖形表示法

⑴幅頻特性曲線和相頻特性曲線。以ω為自變量，以A（ω）和φ（ω）為因變量畫出曲線。它表示輸出與輸入的幅值比和相位差隨頻率ω的變化關(guān)系。⑵波特圖。對自變量ω取對數(shù)lgω作為橫坐標(biāo)，以20lgA(ω)和φ(ω)作縱坐標(biāo)，畫出的曲線。它把ω軸按對數(shù)進(jìn)行了壓縮，便于對較寬范圍的信號進(jìn)行研究，觀察起來一目了然，繪制容易，使用方便。

⑶奈奎斯特圖。將H（jω）的虛部和實部分別作為縱橫坐標(biāo)畫出的圖形。它反映了頻率變化過程中系統(tǒng)過程中系統(tǒng)響應(yīng)H（jω）的變化。第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日（1）一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對上式兩邊取拉氏變換得

令s=jω,代入上式，得頻率響應(yīng)函數(shù)

3－2.常見的測試裝置的頻率響應(yīng)K：剛度C：阻尼系數(shù)X(t)力y(t)位移KC由力平衡可得：Cy/+K.y=x(t)令S＝1/k;τ＝C/k;則左式為：第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日φ（ω）＝∠H（jω）＝－arctg（ωτ）一階系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如上圖所示。可見：①幅值比A（ω）隨ω的增大而減小。A（ω）和φ（ω）的變化表示輸出與輸入之間的差異，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動態(tài)誤差。②系統(tǒng)的工作頻率范圍取決于時間常數(shù)τ。在ωτ較小時，幅值和相位得失真都較小。當(dāng)ωτ一定時，τ越小，測試系統(tǒng)的工作頻率范圍越寬。因此為了減小一階測試系統(tǒng)得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動態(tài)誤差，增大工作頻率，應(yīng)盡可能采用時間常數(shù)τ小的測試系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例：用傳遞函數(shù)為的裝置測量信號x(t)=0.6sin10t+0.6sin(100t-30°),試求穩(wěn)態(tài)輸出y(t);第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日K：剛度C：阻尼系數(shù)X(t)力y(t)位移KCM（2）二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)二階系統(tǒng)中存在兩個儲能元件，故需能量在兩個儲能元件之間先達(dá)到動平衡，然后才會輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；例：如右圖所示的質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)；令第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日對二階系統(tǒng)而言，主要的動態(tài)特性參數(shù)是系統(tǒng)固有頻率ωn和阻尼系數(shù)ξ。固有頻率為系統(tǒng)幅頻特性曲線峰值點對應(yīng)的頻率，阻尼系數(shù)則可以由峰值點附近的兩個半功率點的頻率計算可見：①頻率響應(yīng)和阻尼率ξ有關(guān)。從幅頻特性曲線可知：當(dāng)ξ＞0.7時，幅值比A（ω）≤1，稱為過阻尼；當(dāng)ξ＜0.7時，在ω/ω0＝1處產(chǎn)生諧振，稱為欠阻尼；諧振頻率ωγ：對于欠阻尼系統(tǒng)，A（ω）有峰值，峰值對應(yīng)的頻率，稱為諧振頻率,ωγ低于固有頻率ωn。當(dāng)ξ＝0時，A（ω）＝∞，出現(xiàn)共振，稱為無阻尼，此時，ωγ＝ω0。二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日從相頻特性曲線可知：當(dāng)ξ＝0時，在ω/ωn＝1處，ω從0→-180°，φ（ω）的變化情況與阻尼率有關(guān)，但在ω/ωn＝1時，對所有的ξ來講都有φ（ω）＝-90°。

②頻率響應(yīng)與ωn有關(guān)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)不但隨阻尼率ξ而變，同時隨固有角頻率而不同。固有角頻率ωn越高，穩(wěn)態(tài)動誤差小的工作頻率范圍越寬，反之越窄。第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日測試系統(tǒng)在典型輸入下的響應(yīng)1.單位脈沖響應(yīng)若裝置的輸人為單位脈沖δ（t），因單位脈沖δ（t）的拉普拉斯變換為1，因此裝置的輸出y（t）的拉普拉斯變換必將是H（s），即Y（s）=H（s），或y（t）=L-1[H（S）]，并可以記為h（t），常稱它為裝置的脈沖響應(yīng)函數(shù)或權(quán)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)可視為系統(tǒng)特性的時域描述。

第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日因為一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：若系統(tǒng)靈敏度S=1，則響應(yīng)速度：工程中采用時間較短的脈沖信號近似單位脈沖。至此，系統(tǒng)特性在時域、頻域和復(fù)數(shù)域可分別用脈沖響應(yīng)函數(shù)h（t）、頻率響應(yīng)函數(shù)H（ω）和傳遞函數(shù)H（s）來描述。h（t）和傳遞函數(shù)H（s）是一對拉普拉斯變換對；h（t）和頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)又是一對博里葉變換對。第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日2.階躍響應(yīng)若系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍信號，即x(t)=u(t)，則X(s)=1/s，此時Y(s)=H(s)/s，有y（t）=L-1[H(s)/s]。

第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：分析固有頻率ωn：又稱無阻尼固有頻率；振蕩頻率ωd：又稱有阻尼固有頻率；諧振頻率ωr：A(ω)峰值處的頻率；當(dāng)ξ＝0時，無阻尼系統(tǒng)，ωn＝ωr當(dāng)ξ<<1時，也認(rèn)為ωn約等于ωr第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日輸出最大值ym(t)與穩(wěn)態(tài)值y(∞)之差稱為最大過沖量M1,而M1與y(∞)之比的百分?jǐn)?shù)稱為超調(diào)量。1）ξ》1,系統(tǒng)無超調(diào)，無振蕩，到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時間長；2）ξ《1,系統(tǒng)超調(diào)100%,持續(xù)振蕩；當(dāng)ξ＝0時，達(dá)不到穩(wěn)態(tài)。3）ξ＝0.6-0.8時，超調(diào)量約為2.5%-10%,通常以<2%作為穩(wěn)態(tài)指標(biāo)；此時系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時間最短第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日由p.30圖2-14可知:響應(yīng)速度與ξ有關(guān)。當(dāng)ξ>1時，階躍響應(yīng)的振幅不會超過穩(wěn)態(tài)值。響應(yīng)速度與固有頻率ωn有關(guān)，當(dāng)ξ一定時，ωn越高，響應(yīng)速度越快。第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日2-4不失真測試的條件設(shè)有一個測試系統(tǒng)，其輸出y(t)與輸入x(t)滿足關(guān)系y(t)=A0x(t-t0)（式2-3）其中，A0，t0都是常數(shù)，此式表明該測試系統(tǒng)的輸出波形與輸入信號的波形精確地一致，只是幅值放大了A0倍，在時間上延遲了t0而已（如下圖所示）這種情況下，我們認(rèn)為測試系統(tǒng)具有不失真的特性，椐此來考察測試系統(tǒng)不失真測試的條件。第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日對式2-3做傅立葉變換，如下：

考慮到測試系統(tǒng)的實際情況，當(dāng)t<0時，x(t)=0，y(t)=0，于是有第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日A（ω）不等于常數(shù)時所引起的失真稱為幅值失真，φ(ω)與ω之間的非線性關(guān)系所引起的失真稱為相位失真。其物理意義是：輸入信號中各頻率成分的幅值通過此系統(tǒng)所乘的系數(shù)相同，即幅頻特性具有無限寬的通頻帶；輸入信號中各頻率成分的相位角在通過此系統(tǒng)時作與頻率成正比的滯后移動，滯后的時間都相同，即相頻特性是通過原點向負(fù)方向發(fā)展的直線。由此可見，若要測試系統(tǒng)的輸出波形不失真，則其幅頻特性和相頻特性應(yīng)分別滿足A(ω)=常數(shù)φ(ω)=-t0ωA(ω)ωωφ(ω)第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日實際測量裝置不可能在非常寬廣的頻率范圍內(nèi)都滿足上式的要求，所以通常測量裝置既會產(chǎn)