高中數(shù)學四學案：3.1.1　兩角和與差的余弦

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1。1兩角和與差的余弦學習目標1.了解兩角差的余弦公式的推導過程.2.理解用向量法導出公式的主要步驟.3。理解兩角和與差的余弦公式間的關系，熟記兩角和與差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用公式進行化簡求值．知識點一兩角差的余弦思考1cos(90°－30°）＝cos90°－cos30°成立嗎?思考2單位圓中（如圖)，∠P1Ox＝α,∠P2Ox＝β,那么P1，P2的坐標是什么？eq\o（OP1，\s\up6(→))與eq\o(OP2,\s\up6(→）)的夾角是多少?思考3由思考2，體會兩角差的余弦公式的推導過程．梳理兩角差的余弦公式cos（α－β）＝____________________。(C(α－β）)知識點二兩角和的余弦思考你能根據(jù)兩角差的余弦推導出兩角和的余弦嗎？梳理兩角和的余弦公式cos(α＋β)＝________________。（C（α＋β)）特別提醒：(1）公式中的角α，β是任意角，特點是用單角的三角函數(shù)表示復角的三角函數(shù)，cos(α－β）,cos(α＋β)是一個整體．（2)公式特點：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號與左邊角的連接符號相反，可用口訣“余余、正正號相反”記憶公式．類型一給角求值問題例1求下列各式的值：（1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°;(2)eq\f（cos7°－sin15°sin8°,cos8°)；(3）eq\f（1，2）cos15°＋eq\f(\r(3），2)sin15°。反思與感悟?qū)Ψ翘厥饨堑娜呛瘮?shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部的基本原則．如果整體符合三角函數(shù)公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形．一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值,化分子、分母形式進行約分求值，要善于逆用或變用公式．跟蹤訓練1求下列各式的值:(1)cos（α－35°）cos(α＋25°)＋sin（α－35°)sin（α＋25°）；（2)eq\f（2sin50°＋sin80°1＋\r(3）tan10°，\r（2)cos5°)。類型二已知三角函數(shù)值求值例2已知sinα＝－eq\f(4，5），sinβ＝eq\f（5，13）,且π＜α＜eq\f(3π,2),eq\f(π，2)＜β＜π，求cos（α－β)．引申探究1．若將例2改為已知sinα＝－eq\f（4,5），sinβ＝eq\f(5，13)，且π＜α＜2π，0＜β＜eq\f（π,2)，求cos(α－β）．2．若將例2改為已知sinα＝－eq\f（4,5），π＜α＜eq\f（3π,2），eq\f(π,2)＜β＜π,cos（α－β）＝eq\f(16,65),求sinβ.反思與感悟(1）在用兩角和與差的余弦公式求值時，常將所求角進行拆分或組合，把所要求的函數(shù)值中的角表示成已知函數(shù)值的角．(2）在將所求角分解成某兩角的差時，應注意如下變換：α＝（α＋β)－β,α＝β－（β－α)，α＝（2α－β）－(α－β)，α＝eq\f（1,2）［（α＋β)＋（α－β)］,α＝eq\f(1，2)[（β＋α）－(β－α）］等．跟蹤訓練2已知eq\f(π，2)＜β＜α＜eq\f(3π,4），且cos（α－β）＝eq\f（12，13）,sin（α＋β）＝－eq\f（3,5),求cos2α的值．類型三已知三角函數(shù)值求角例3已知cosα＝eq\f(1，7)，cos（α－β）＝eq\f(13，14)，且0〈β〈α<eq\f（π,2),求β的值．反思與感悟求解給值求角問題的一般步驟：(1)求角的某一個三角函數(shù)值．(2）確定角的范圍．（3）根據(jù)角的范圍寫出所求的角．跟蹤訓練3已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f（\r（5）,5)，cosβ＝eq\f(3\r（10），10)，求α＋β的值．1．計算coseq\f(5π,12）coseq\f(π，6）＋coseq\f(π,12)sineq\f（π，6）的值是________．2．若a＝（cos60°,sin60°），b＝（cos15°，sin15°),則a·b＝________.3．已知cosα＝eq\f（4,5)，且α為第一象限角,則cos（eq\f（π,6）＋α)＝________.4．已知sinα＋sinβ＝eq\f(3，5）,cosα＋cosβ＝eq\f（4，5),求cos(α－β）的值．5．已知sin（α－β)＝eq\f（5，13）,sin(α＋β)＝－eq\f（5,13)，且α－β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)，π))，α＋β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2），2π））,求cos2β的值．1．“給式求值”或“給值求值"問題，即由給出的某些函數(shù)關系式或某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關鍵在于“變式”或“變角",使“目標角”換成“已知角"．注意公式的正用、逆用、變形用,有時需運用拆角、拼角等技巧．2．“給值求角”問題，實際上也可轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，求一個角的值，可分以下三步進行:(1)求角的某一三角函數(shù)值；(2）確定角所在的范圍(找區(qū)間);(3）確定角的值．確定用所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目而定．

答案精析問題導學知識點一思考1不成立．思考2P1（cosα，sinα),P2(cosβ，sinβ）．eq\o（OP1，\s\up6(→)）與eq\o(OP2，\s\up6（→)）的夾角是α－β.思考3在直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊分別作角α，β，其終邊分別與單位圓交于P1（cosα,sinα），P2（cosβ,sinβ)，則∠P1OP2＝α－β.由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù),所以，我們只需考慮0≤α－β≤π的情況．設向量a＝eq\o（OP1,\s\up6(→)）＝（cosα，sinα），b＝eq\o(OP2,\s\up6(→）)＝(cosβ，sinβ），則a·b＝|a｜｜b｜cos（α－β)＝cos（α－β)．另一方面,由向量數(shù)量積的坐標表示,有a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ。（C（α－β））梳理cosαcosβ＋sinαsinβ知識點二思考能,cos(α＋β)＝cos[α－（－β)］＝cosαcos（－β）＋sinα·sin（－β）＝cosαcosβ－sinα·sinβ。梳理cosαcosβ－sinαsinβ題型探究例1解（1）原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°＝cos（70°－40°）＝cos30°＝eq\f(\r(3)，2）。(2）原式＝eq\f(cos15°－8°－sin15°sin8°，cos8°)＝eq\f(cos15°cos8°，cos8°)＝cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝eq\f（\r(2)＋\r(6）,4)。(3）∵cos60°＝eq\f(1，2),sin60°＝eq\f（\r（3)，2)，∴eq\f（1，2)cos15°＋eq\f(\r（3)，2)sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°cos15°＝cos（60°－15°）＝cos45°＝eq\f(\r(2），2）。跟蹤訓練1解(1)cos(α－35°）cos（α＋25°）＋sin(α－35°)sin（α＋25°）＝cos［（α－35°)－(α＋25°）］＝cos(－60°）＝eq\f(1,2）。（2)原式＝eq\f(2sin50°＋\f(2sin80°，cos10°)·\f（1,2）cos10°＋\f（\r（3),2）sin10°,\r（2）cos5°)＝eq\f（2sin50°＋2cos60°－10°,\r(2)cos5°)＝eq\f（2\f(\r（2），2)sin50°＋\f(\r（2）,2)cos50°，cos5°)＝eq\f（2cos50°－45°,cos5°)＝2.例2解∵sinα＝－eq\f（4,5)，π＜α＜eq\f(3π,2）,∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3,5）.又∵sinβ＝eq\f(5,13），eq\f（π,2)＜β＜π，∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f（12,13),∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝（－eq\f（3，5）)×（－eq\f（12，13））＋（－eq\f（4,5）)×eq\f（5,13）＝eq\f（16,65).引申探究1．解∵sinβ＝eq\f(5,13），0＜β＜eq\f(π,2），∴cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f（12，13）.又sinα＝－eq\f(4，5),且π＜α＜2π，①當π＜α＜eq\f(3π，2)時，cosα＝－eq\r（1－sin2α)＝－eq\f（3,5)，∴cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－eq\f(3,5))×eq\f(12，13)＋(－eq\f（4，5)）×eq\f(5,13）＝－eq\f(56,65)；②當eq\f(3π，2）＜α＜2π時，cosα＝eq\r（1－sin2α）＝eq\f（3,5),∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(3,5)×eq\f(12，13）＋（－eq\f（4,5）)×eq\f（5，13)＝eq\f(16,65）.綜上所述，cos(α－β)＝－eq\f(56，65)或eq\f(16，65)。2．解∵sinα＝－eq\f(4，5)，且π＜α＜eq\f(3π，2）,∴cosα＝－eq\r（1－cos2α）＝－eq\f(3，5）.又∵eq\f(π,2）＜β＜π，∴－π＜－β＜－eq\f（π，2),∴0＜α－β＜π。又cos（α－β)＝eq\f(16,65），∴sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\r(1－\f（16,65)2）＝eq\f(63,65），∴cosβ＝cos[α－(α－β)］＝cosα·cos（α－β）＋sinα·sin（α－β)＝(－eq\f（3，5)）×eq\f（16,65）＋(－eq\f(4,5））×eq\f（63,65)＝－eq\f(12,13），∴sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(5，13)。跟蹤訓練2解因為eq\f(π，2）＜β＜α＜eq\f（3π，4），所以π＜α＋β＜eq\f（3π，2)，0＜α－β＜eq\f（π，4），又因為cos(α－β）＝eq\f（12，13）,sin（α＋β)＝－eq\f(3,5），所以sin（α－β）＝eq\f（5，13),cos(α＋β)＝－eq\f（4，5），所以cos2α＝cos［（α－β)＋（α＋β)]＝cos（α－β）cos（α＋β）－sin(α－β）sin(α＋β)＝eq\f（12,13)×（－eq\f(4,5））－eq\f（5，13）×(－eq\f(3，5）)＝－eq\f（33,65)。例3解由cosα＝eq\f(1，7），0〈α〈eq\f(π，2），得sinα＝eq\r（1－cos2α）＝eq\r(1－\f(1，7)2)＝eq\f（4\r（3)，7)。由0<β〈α<eq\f(π,2），得0〈α－β〈eq\f(π，2)。又∵cos(α－β）＝eq\f(13，14),∴sin(α－β）＝eq\r（1－cos2α－β）＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(13,14)））2)＝eq\f(3\r(3），14).由β＝α－(α－β），得cosβ＝cos[α－(α－β）］＝cosαcos(α－β)＋sinαsin（α－β)＝eq\f(1，7)×eq\f（13，14)＋eq\f(4\r（3）,7)×eq\f(3\r（3），14）＝eq\f（1，2)，∴β＝eq\f（π，3）.跟蹤訓練3解因為α，β為銳角且sinα＝eq\f（\r（5)，5),cosβ＝eq\f（3\r（10）,10）,所以cosα＝eq\r(1－sin2α）＝eq\f(2\r(5），5）,sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(10)，10），所以cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f（2\r（5），5）×eq\f（3\r(10），10