離散數(shù)學函數(shù)的復合與反函數(shù)

離散數(shù)學函數(shù)的復合與反函數(shù)第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，兩個函數(shù)的復合本質(zhì)上就是兩個關(guān)系的合成，因此函數(shù)的合成方法與關(guān)系的合成方法是一致的。由圖可知f和g合成后的函數(shù)稱為復合函數(shù)，記為g°f。且g°f={<1,2>,<2,2>,<3,1>}。

例如:已知f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，它們所確定的對應(yīng)關(guān)系如圖所示。f={<1,1>,<2,1>,

<3,4>}，

g={<1,2>,<2,2>,<3,2>,<

4,1>}，第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系同，兩個函數(shù)的復合本質(zhì)上就是兩個關(guān)系的合成。例如設(shè)f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，它對所確定的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：如果將函數(shù)f看作是A到B的二元關(guān)系，g看作是B到C的二元關(guān)系，合成后的關(guān)系記為R，它是A到C的二元關(guān)系，記為R=f°g，且R={(x,b),(y,b),(z,a)}.f={<x,1>,<y,1>,

<z,4>}，

g={<1,b>,<2,b>,<3,b>,<

4,a>}，第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日一、復合函數(shù)的定義設(shè)f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，f和g合成后的函數(shù)稱為復合函數(shù)，記為g

°

f。它是A到C的函數(shù)。當a∈A,b∈B,c∈C，且f(a)=b,f(b)=c時，g°f(a)=c.注意：當f和g看作是二元關(guān)系時，合成后的關(guān)系記為f°g，但當f和g看作是函數(shù)時f和g合成后的函數(shù)稱為復合函數(shù)，記為g

°

f。第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日定理設(shè)F,G是函數(shù),則F°G也是函數(shù),且滿足

(1)dom(F°G)={x|x∈domF

F(x)∈domG}

(2)x∈dom(F°G)有F°G(x)=F(G(x))

第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日例：設(shè)集合A={x,y,z},B={a,b,c,d},C={1,2,3}

f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，其中

f(x)=b,f(y)=c,f(z)=cg(a)=1,g(b)=2,g(c)=1,

g(d)=3求復合函數(shù)g°f。解：由定義可知復合函數(shù)g°f是A到C的函數(shù)。且g°f(x)=g(f(x))=g(b)=2.g°f(y)=g(f(y))=g(c)=1.g°f(z)=g(f(z))=g(c)=1.推論1

設(shè)f：A→B,g：B→C,則f°g：A→C,且

x∈A都有f°g(x)=f(g(x)).

第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日推論2

設(shè)F,G,H為函數(shù),則(F°G)°H和F°(G°H)

都是函數(shù),且(F°G)°H=F°(G°H)由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，而二元關(guān)系的合成可以看作是一種運算，且這種運算滿足結(jié)合律但不滿足交換律。于是有：推論3

設(shè)F,G為函數(shù),則F°G和G°F

都是函數(shù),且F°G≠G°F

第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日函數(shù)復合運算的性質(zhì)定理設(shè)f：A→B,g：B→C.

(1)如果f和

g都是單射函數(shù),則g°f

：A→C也是單射的函數(shù).

(2)如果f和

g都是滿射函數(shù),則g°f

：A→C也是滿射的函數(shù).

(3)如果f和

g都是雙射函數(shù),則g°f

：A→C也是雙射的函數(shù).

證(1)c∈C,由g：B→C的滿射性,b∈B使得

g(b)=c.對這個b,由f：A→B的滿射性，a∈A

使得f(a)=b.由合成定理有g(shù)°f

(a)=g(f(a))=g(b)=c

從而證明了f°g：A→C是滿射的.第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日二、函數(shù)的逆（反函數(shù)）對于二元關(guān)系R，只要交換所有的有序?qū)Γ湍艿玫侥骊P(guān)系；但對于函數(shù)f,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到卻不一定是函數(shù)，只有當f為雙射函數(shù)時其逆關(guān)系才是函數(shù)。第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日二、反函數(shù)(函數(shù)的逆)但對于函數(shù)f,交換f的所有有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系f1是二元關(guān)系卻不一定是函數(shù)。如：F={<a,b>,<c,b>}，F(xiàn)1={<b,a>,<b,c>}對于二元關(guān)系R，只要交換所有有序?qū)Φ捻樞?，就能得其逆關(guān)系；第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日反函數(shù)存在的條件但對于函數(shù)f,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到卻不一定是函數(shù)，只有當f為雙射函數(shù)時其逆關(guān)系才是函數(shù)。第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日反函數(shù)的定義及性質(zhì)反函數(shù)的定義：對于雙射函數(shù)f：A→B,稱f1：B→A是它的反函數(shù).定理設(shè)f：A→B是雙射的,則f1：B→A也是雙射的.反函數(shù)的性質(zhì)：定理:設(shè)f：A→B是雙射的,則

f1°f=IA,f°f1=IB

對于雙射函數(shù)f：A→A,有

f1°f=f°f1=IA

第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日函數(shù)復合與反函數(shù)的計算例：設(shè)R是實數(shù)集，且f,g,h是R到R的函數(shù)其中

f(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3,求f

°

g,g

°

f，(f°g)°h

和

f°(g°h).解：f°g(x)=f(1+x2)=2+x2

g°f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2(f°g)°h(x)=(f°g)°(1+x3)=2+(1+x3)2f°(g°h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日思考：設(shè)f：R→R,g：R→R

求f

g,g

f.如果f和g存在反函數(shù),求出它們的反函數(shù).

f：R→R不是雙射的,不存在反函數(shù).g：R→R是雙射的,它的反函數(shù)是g1：R→R,g1(x)=x2解：第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日思考：設(shè)a1,a2,…,an是任意的n個正整數(shù)，證明存在i和k(i0,k1)，使得ai+1+ai+2+……+ai+k

能被n整除。第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日三、鴿洞原理

如果某人營造了n個鴿洞，養(yǎng)了多于n只鴿子，則必有一個鴿洞有2只或2只以上的鴿子，這就是鴿洞原理。

用數(shù)學語言來描述這個原理，即：A，B是有限集合，f是A到B的函數(shù)，如果︱A︱﹥︱B︱，則A中至少有兩個元素，其函數(shù)值相等。第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日一般的情況是：當鴿洞為n個，鴿子數(shù)大于n×m只時，必有一個鴿洞住有m+1只或多于m+1只鴿子。

例如，有3個鴿洞，13只鴿子，則必有一個鴿洞，住有5只或5只以上的鴿子。

更一般的情況是：

A，B是有限集合，f是A到B的函數(shù)，如果︱A︱﹥n×m

，︱B︱=n，則在A中至少有m+1個元素，其函數(shù)值相等。

第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日例：證明任意n+1個正整數(shù)，其中必有兩個數(shù)之差被n整除。證明由于任意正整數(shù)被n除后，其余數(shù)只能是0，1，2……n-1，所以n+1個正整數(shù)中，必有兩個數(shù)被n除后余數(shù)相同，因此這兩個數(shù)之差必能被n整除。第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日例:某人步行駛10小時，共走45公里，已知他第一小時走了6公里，最后一小時只走了2公里，證明必有連續(xù)的兩小時，在這兩小時內(nèi)至少走了10公里。證明:設(shè)第i小時走了ai公里，連續(xù)的兩小時所走里程為a1+a2,a2+a3,…,a9+a10,共有9種；因為（a1+a2

）+（a2+a3

）+…

…+(a9+a10)=245-6-2=82,所以必有連續(xù)的兩小時里所走里程大于等于10公里。第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日例:證明在1—100的正整數(shù)中，任取51個正整數(shù)，其中必存在兩個數(shù)，一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。證明對于任意的偶數(shù)，使得：偶數(shù)=奇數(shù)2k.

構(gòu)造以下50個集合：

A1={1，12，122，123，124，125，126}A3={3，32，322

，323

，324

，325}A5={5，52，522

，523

，524}A7={7，72，722

，723}A9={9，92，922

，923}A11={11，112，1122

，1123}A13={13，132，1322}

………….A49={49，492}A51={51}A53={53}

………..A99={99}第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日這50個集合中元素的總和共100個，恰好是1—100的所有正整數(shù)，且在含有2個或2個以上元素的集合A1，A3，A5，……,A49中，同一個集合中的任意兩個正整數(shù)必是：一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。因此在1—100的正整數(shù)中任取51個數(shù)，其中至少有兩個數(shù)屬于同一個集合，所以這兩個數(shù)中有一個數(shù)是另一個的倍數(shù)。第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日

證明A1(小王)A2(小張)A3(小何)

A4(小周)A5(小楊)

A6(小劉)思考:試證在任意六個人中必有三人他們相互認識或相互不認識.第二十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日例:在一個有6個點的完全圖中，給每一條邊涂色，可隨意涂紅色或白色。證明在這個完全圖中，必存在一個三角形，其三條邊的顏色相同。證明A1A1A2A3A2A3A4A5A4