第一講定解問題

第一講定解問題第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一第一章緒論第一節(jié)引言1.數(shù)理方程發(fā)展歷史、與其他學(xué)科的關(guān)系、研究現(xiàn)狀2.數(shù)理方程及其定解問題的求解方法經(jīng)典解、數(shù)值解、廣義解。第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一第二節(jié)基本概念微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的等式分類按自變量的個(gè)數(shù)，分為常微分方程和偏微分方程；按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的次數(shù)，分為線性微分方程和非線性微分方程；線性微分方程按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程，按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程和非齊次方程；按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程。第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一微分方程的基本概念例題第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一第三節(jié)三類典型方程的導(dǎo)出一、波動(dòng)方程均勻弦的微小橫振動(dòng)方程推廣二、熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程推廣三、穩(wěn)定場方程第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一一、波動(dòng)方程的建立條件：均勻柔軟有彈性的細(xì)弦，受初始小擾動(dòng)在平衡位置附近做振幅極小的橫振動(dòng)。不受外力影響。例1、弦的振動(dòng)研究對(duì)象：線上某點(diǎn)在t時(shí)刻沿縱向的位移。第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一簡化假設(shè)：(2)振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。牛頓運(yùn)動(dòng)定律：橫向：縱向：其中：第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一其中：其中：第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)------齊次方程忽略重力作用：第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一設(shè)作用在該弧段上的外力密度函數(shù)為，那末該弧段在時(shí)刻所受沿軸方向的外力近似地等于，于是縱向方程為由微分中值定理得消去

并取極限得即第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一推廣:三維情況--位移u成為空間變量x,y,z和時(shí)間t的函數(shù),忽略外力作用,此時(shí)方程第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一二、熱傳導(dǎo)問題所謂熱傳導(dǎo)就是由于物體內(nèi)部溫度分布的不均勻,熱量要從物體內(nèi)溫度較高的點(diǎn)處流向溫度較低的點(diǎn)處.熱傳導(dǎo)問題歸結(jié)為求物體內(nèi)部溫度分布規(guī)律

第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一設(shè)物體在Ω內(nèi)無熱源.在Ω中任取一閉曲面S，以函數(shù)u(x,y,z,t)表示物體在t時(shí)刻,M=M(x,y,z)處的溫度.根據(jù)Fourier熱傳導(dǎo)定律,在無窮小時(shí)段dt內(nèi)流過物體的一個(gè)無窮小面積dS的熱量dQ與時(shí)間dt、曲面面積dS以及物體溫度u沿曲面dS的外法線n的方向?qū)?shù)三者成正比,即三維熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

對(duì)于Ω內(nèi)任一封閉曲面S，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)閂，那么從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2經(jīng)曲面S流出的熱量為設(shè)物體的比熱為c(x,y,z)，密度為ρ(x,y,z)，則在區(qū)域V內(nèi)，溫度由u(x,y,z,t1)變化到u(x,y,z,t2)所需的熱量為第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一其中k=k(x,y,z)是物體在M(x,y,z)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，取正值。我們規(guī)定外法線方向n所指的那一側(cè)為dS的正側(cè)。上式中負(fù)號(hào)的出現(xiàn)是由于熱量由溫度高的地方流向溫度低的地方。故當(dāng)時(shí)，熱量實(shí)際上是向-n方向流去。第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一根據(jù)熱量守恒定律，有即假設(shè)函數(shù)u(x,y,z,t)關(guān)于x,y,z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么由高斯（Gauss）公式得第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一由于時(shí)間間隔[t1,t2]及區(qū)域V是任意的，且被積函數(shù)是連續(xù)的，因此在任何時(shí)刻t，在Ω內(nèi)任意一點(diǎn)都有方程(1.2.6)稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程，如果物體是均勻的，此時(shí)k,c及ρ均為常數(shù)(1.2.6)第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一令，則方程(1.2.6)化為它稱為三維熱傳導(dǎo)方程。若考慮物體內(nèi)有熱源，其熱源密度函數(shù)為F(x,y,z,t)，則有熱源的熱傳導(dǎo)方程為(1.2.7)(1.2.8)其中第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一推廣1情況：當(dāng)考慮的問題是一根均勻細(xì)桿,如果它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同,那么溫度u只與x,t有關(guān)方程：cρut=kuxx+F

ut=a2uxx+f，f=F/(cρ)第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一推廣2情況：擴(kuò)散問題分析：濃度→溫度u，擴(kuò)散系數(shù)D→熱傳導(dǎo)系數(shù)k，質(zhì)量守恒→能量守恒，擴(kuò)散定律→熱傳導(dǎo)定律方程：ut=Duxx+F標(biāo)準(zhǔn)方程：ut

=a2uxx+F第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一推廣3情況：三維情況分析：溫度u成為空間變量x,y,z和時(shí)間t的函數(shù)方程：第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一三、穩(wěn)定場方程當(dāng)研究物理中各種現(xiàn)象(如振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散)的穩(wěn)定過程時(shí),由于表示該過程的物理量u不隨時(shí)間t而變化,因此ut=0.無外界作用情況拉普拉斯方程：

Δu=utt+uyy+uzz=0第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一有外界作用情況泊松方程：Δu=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型應(yīng)用靜電場方程：Δu=-ρ/ε穩(wěn)定溫度分布：Δu=-F/k第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一第四節(jié)、定解條件與定解問題定解條件初始條件邊界條件定解問題初值問題邊值問題混合問題第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。定解條件其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件描述穩(wěn)恒狀態(tài)的,與時(shí)間無關(guān),所以不提初始條件只含邊界條件A、波動(dòng)方程的初始條件1、初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一2.邊界條件意義：反映特定環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的影響分類：按條件中未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的次數(shù)分為線性邊界條件和非線性邊界條件；線性邊界條件中，按給出的是函數(shù)值或?qū)?shù)值分為第一、二、三類邊界條件；按所給數(shù)值是否為零分為齊次邊界條件和非齊次邊界條件。第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用,其為：

A、波動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：或：(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的支承,其為:或第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1)給定溫度在邊界上的值S——給定區(qū)域v的邊界(2)絕熱狀態(tài)(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。交換系數(shù)；周圍介質(zhì)的溫度第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一邊界條件舉例典型線性邊界條件一維弦振動(dòng)固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/ρ一維桿振動(dòng)固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一維熱傳導(dǎo)恒溫端u|x=0=a

絕熱端ux|x=0=0吸熱端ux|x=0=F/k第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一定解問題定解問題的組成定解條件：描述具體對(duì)象的特殊性。泛定方程：反映同一類現(xiàn)象的普遍性；定解問題的分類初值問題(CauchyProblem)：無邊界條件（環(huán)境對(duì)問題的影響可以忽略不計(jì)）邊值問題：無初始條件（歷史對(duì)問題的影響可以忽略不計(jì)）第一邊值問題(DirichletProblem)第二邊值問題(NeumannProblem)第三邊值問題(RobinProblem)混合問題：同時(shí)有邊界條件和初始條件。第三十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一定解問題的適定性適定性的意義定解問題是實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，適定性是對(duì)模型能否反映實(shí)際問題的一般要求。適定性的內(nèi)容存在性