2020年高考數學人教B版典例透析能力提升必修2課件：222-直線方程的幾種形式

2.2.2直線方程的幾種形式1.根據確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式及一般式),尤其要掌握點斜式、斜截式和一般式.2.理解直線與二元一次方程的對應關系.121.直線方程的幾種形式

1212【做一做1-1】

直線kx-y+1=3k,當k變化時,所有直線都通過定點(

)A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)解析：直線方程可化為y-1=k(x-3),由點斜式知該直線必過定點(3,1).答案：C12【做一做1-2】

集合A={x|x為直線的斜截式方程},B={x|x為一次函數的解析式},則集合A,B間的關系為

(

)A.A?B B.B?A C.B=A D.A?B答案：B12【做一做1-3】

若ac<0,bc>0,那么直線ax+by+c=0必不過(

)A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限12122.幾種特殊直線的方程直線方程都是關于x,y的一次方程,關于x,y的一次方程都表示直線,選用點斜式、斜截式、兩點式求直線方程時,要考慮特殊情況下的直線方程(坐標軸所在直線或垂直于坐標軸的直線或經過原點的直線).過點(a,b)且平行于x軸的直線方程為y=b.過點(a,b)且平行于y軸的直線方程為x=a(平行于y軸的直線的斜率不存在).x軸的方程是y=0.y軸的方程是x=0(y軸的斜率不存在).12【做一做2-1】

若關于x,y的方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,則實數m滿足(

)解析：由2m2+m-3=0得m=1或m=;由m2-m=0得m=0或m=1,因此要使2m2+m-3和m2-m不同時為0,只需m≠1即可.答案：C12【做一做2-2】

已知直線過點(1,1),則(1)垂直于x軸的直線方程為

;

(2)垂直于y軸的直線方程為

;

(3)截距相等的直線方程為

.

答案：(1)x=1

(2)y=1

(3)y=x或y=-x+212341.直線的一般式方程與四種特殊形式之間的轉化剖析：直線方程各種形式之間的轉化關系如下.12342.直線方程的幾種形式的選擇技巧剖析：(1)直線方程的幾種特殊形式都有其使用的局限性,如對于點斜式和斜截式,要求直線的斜率存在,因此,如果選用點斜式或斜截式,應考慮斜率不存在的情況.對于兩點式,它不能表示平行或重合于坐標軸的直線.截距式除了不能表示平行或重合于坐標軸的直線外,還不能表示過原點的直線.那么,如何根據題設條件靈活選取直線方程的形式來求直線方程呢?一般地,已知一點通常選擇點斜式;已知斜率選擇斜截式或點斜式;已知截距或兩點選擇截距式或兩點式.另外,從所求的問題來看,若求直線與坐標軸圍成的三角形的面積或周長,則應選用截距式.1234(2)待定系數法是求直線方程最基本、最常用的方法,但要注意選擇直線方程的形式.一般地,已知一點就待定斜率k,但應注意討論當斜率k不存在時的情形;如果是已知斜率k,一般選擇斜截式,待定縱截距b;如果是已知直線與坐標軸圍成的三角形的問題就選擇截距式,待定橫截距和縱截距.一般來說,幾個系數待定就應列出幾個方程.有的題目中要求的直線方程可以同時選用幾種形式,但選擇的形式不同,導致的運算繁簡程度就不同.12343.教材中的“?”函數y=kx+b與方程y=kx+b,這兩種說法的含義相同嗎?剖析：不相同,當k≠0時,函數y=kx+b是一次函數,方程y=kx+b表示斜率不為0的直線;當k=0(b≠0)時,函數y=kx+b是常數函數,方程y=kx+b表示一條平行于x軸的直線.12344.教材中的“思考與討論”已知兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,求直線AB的方程.名師點撥

把兩點式方程化為整式(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),就可以用它來求過平面上任意兩點的直線方程.題型一題型二題型三題型四題型五直線方程的點斜式

【例1】

求下列直線的方程:(1)過點P(-4,3),斜率k=-2;(2)過點P(2,-5),且與x軸平行;(3)過點P(3,-1),且與y軸平行.分析：利用直線方程的點斜式及特殊位置的直線表示形式解答.解(1)直線過點P(-4,3),斜率k=-2,由點斜式得y-3=-2(x+4),整理得所求方程為2x+y+5=0.(2)直線過點P(2,-5),且與x軸平行時,斜率k=0,故所求直線方程為y+5=0(x-2),即y=-5.(3)直線與y軸平行,說明斜率不存在,又因為直線過點P(3,-1),所以直線的方程為x=3.題型一題型二題型三題型四題型五反思

由點斜式方程可知確定直線方程需要一個點和斜率兩個條件,對于斜率為0和斜率不存在的情況要區(qū)別對待.題型一題型二題型三題型四題型五(2)經過點(10,3),且平行于x軸的直線方程為

;

(3)若直線l的方程為y=-2(x+1)-1,則該直線的斜率為

;

(4)若直線方程為y-2=k(x+3),則該直線必經過定點P,且點P坐標為

.

題型一題型二題型三題型四題型五(2)由直線與x軸平行,得直線的斜率k=0.故所求直線的方程為y=3.(3)直線方程可化為y+1=-2(x+1),它表示經過點(-1,-1),斜率為-2的直線,即直線斜率為-2.(4)直線方程為y-2=k(x+3),它表示經過點(-3,2),斜率為k的直線,因此直線經過的定點P的坐標為(-3,2).題型一題型二題型三題型四題型五直線方程的斜截式

題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五反思

根據直線的方程判斷直線在直角坐標平面中的位置時,通常把直線轉化成斜截式的形式,利用斜率和截距的幾何意義作出判斷.若直線l的方程是y=kx+b,則有(1)k>0,b>0?l過第一、二、三象限;(2)k>0,b=0?l僅過第一、三象限;(3)k>0,b<0?l過第一、三、四象限;(4)k<0,b>0?l過第一、二、四象限;(5)k<0,b=0?l僅過第二、四象限;(6)k<0,b<0?l過第二、三、四象限;(7)k=0,b>0?l僅過第一、二象限;(8)k=0,b=0?l為x軸,不過任何象限;(9)k=0,b<0?l僅過第三、四象限.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練2】

(1)與x軸平行且在y軸上的截距為

的直線的方程為

.

(2)若直線y=kx+b經過第一、三、四象限,則直線y=bx-k經過第

象限.

解析：(1)與x軸平行時,直線斜率為0,因此由斜截式得直線方程為y=.(2)因為y=kx+b經過第一、三、四象限,所以k>0,b<0,因此在直線y=bx-k中,b<0,-k<0,所以它經過第二、三、四象限.答案：(1)y=(2)二、三、四

題型一題型二題型三題型四題型五直線方程的兩點式

【例3】

三角形的頂點是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求這個三角形的三條邊所在直線的方程.分析：由于每一條邊上的兩個點(頂點)已知,故可直接用兩點式求解;或由兩點可求出每條邊所在直線的斜率,故可選擇一個點(兩頂點中的一個),利用點斜式求該邊所在直線的方程.題型一題型二題型三題型四題型五反思

1.由已知直線上的兩點來確定直線方程時可用兩點式,但要注意判斷是否滿足兩點式的適用條件,不滿足時,可直接寫出直線方程;2.一定要注意兩點式的對稱性(x1≠x2,y1≠y2).題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練3】

求滿足下列條件的直線的方程:(1)經過點A(0,3),B(2,1);(2)經過點M(3,-1),N(3,2);(3)經過點P(2,-2),Q(3,-2);(4)經過點C(-2,-3),D(-5,-6).題型一題型二題型三題型四題型五直線方程的一般式

【例4】

設直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在兩坐標軸上的截距相等,求l的方程;(2)若l不經過第二象限,求實數a的取值范圍.分析：(1)從截距的定義入手,因方程中含有變量a,故需要對截距進行分類討論.問題(2)中涉及直線在坐標系中的位置問題,可將方程轉化為斜截式,從斜率和截距兩方面進行綜合考慮.題型一題型二題型三題型四題型五解(1)當直線過原點時,該直線在x軸和y軸上的截距為零,當然相等.所以a=2,方程即為3x+y=0.當a≠2時,截距存在且均不為0,所以a=0,方程即為x+y+2=0.(2)將l的方程化為y=-(a+1)x+a-2,所以a≤-1.綜上,a的取值范圍是a≤-1.題型一題型二題型三題型四題型五反思

對于與截距有關的問題,一定要注意截距為0的特殊情況,再者對直線方程的一般式往往根據需要將其轉化為點斜式、斜截式等.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練4】

已知直線l的斜率為2,且與x軸、y軸圍成的三角形的面積為36,求此時直線與x軸、y軸圍成的三角形的周長.分析：已知斜率,且與坐標軸上的截距有關,因此可設斜截式y(tǒng)=2x+b,利用直線l和x軸、y軸圍成的三角形的面積為36,求出直線l的方程,然后再求三角形的周長.解由于直線l的斜率為2,則設l的方程為y=2x+b.即b=±12,因此,l的方程為y=2x+12或y=2x-12.當b=12時,l在x軸、y軸上的截距分別為-6,12;當b=-12時,l在x軸、y軸上的截距分別為6,-12.題型一題型二題型三題型四題型五易錯辨析

易錯點:忽視截距式方程適用的條件致錯【例5】

求經過點P(2,3),并且在兩坐標軸上截距相等的直線l的方程.題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五【例6】

求過點M(m,0)和點N(2,1)的直線的方程.錯解:由兩點式直線方程得

,整理得x+(m-2)y-m=0.錯因分析：沒有分類討論,而忽視了兩點式方程的適用條件為x1≠x2,且y1≠y2,因題中已知條件含參數,故應分類討論.題型一題型二題型三題型四題型五正解:(1)當m=2時,過點M(m,0)和點N(2,1)的直線斜率不存在,其方程為x=2.因為直線過點N(2,1),即x+(m-2)y-m=0.因為當m=2時,上述方程也