7.2離散型隨機變量及其分布列 教案

7.2離散型隨機變量及其分布列(第1課時)學(xué)科《數(shù)學(xué)》教學(xué)設(shè)計課型為：R新授課￡復(fù)習(xí)課￡習(xí)題/試卷講評課￡實踐活動課一、內(nèi)容分析（一）課程標(biāo)準(zhǔn)要求（教學(xué)目標(biāo)）1.通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念.2.了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.（二）核心素養(yǎng)要求通過研究離散型隨機變量的概念，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).（三）知識聯(lián)系：學(xué)生已經(jīng)學(xué)過全概率事件，本節(jié)課的內(nèi)容就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展.由于它數(shù)學(xué)中的一個重要考點,所以在本學(xué)科中的作用是承上啟下.二、學(xué)情分析在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題是不會計算概率，不會應(yīng)用概率公式，產(chǎn)生這一問題的原因是學(xué)生分不清楚事件，解決的關(guān)鍵辦法是通過簡單事件求復(fù)雜事件.三、重點難點教學(xué)重點是離散型隨機變量的概念，解決重點的關(guān)鍵是讓學(xué)生教師帶領(lǐng)分析特點.教學(xué)難點是會寫出隨機變量的取值以及隨機試驗的結(jié)果，解決難點的關(guān)鍵是分析題干，計算概率.四、活動設(shè)計【學(xué)】：導(dǎo)學(xué)（占本次課的5-10%）教師活動：求隨機事件的概率時,我們往往需要為隨機試驗建立樣本空間,并會涉及樣本點和隨機事件的表示問題,類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對應(yīng)關(guān)系,如果我們在隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間建立某種對應(yīng),將不僅可以為一些隨機事件的表示帶來方便,而且能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機試驗.1.隨機試驗：一般地，一個試驗如果滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果;這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗.2.函數(shù)：一般地,設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果使對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作:y=隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間能否建立某種對應(yīng)關(guān)系呢？學(xué)生活動：自己回顧相關(guān)內(nèi)容，完成填空.【學(xué)】：自學(xué)、互學(xué)、模仿應(yīng)用等（教師自主組合）占本次課的35-45%問題1.什么什隨機變量？

問題2：什么是離散型隨機變量？可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量問題3：隨機變量有什么特點？（1）可以用數(shù)字表示（2）試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值（3）在試驗之前不可能確定取何值隨機變量將隨機事件的結(jié)果數(shù)量化．概念辨析1.下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量？并說明理由．(1)上海國際機場候機室中2020年10月1日的旅客數(shù)量；(2)2021年某天濟南至北京的D36次列車到北京站的時間；(3)2021年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(4)體積為1000cm3的球的半徑長．【解】(1)候機室中的旅客數(shù)量可能是：0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此是隨機變量．(2)D36次濟南至北京的列車，到達終點的時間每次都是隨機的，可能提前，可能準(zhǔn)時，亦可能晚點，故是隨機變量．(3)在2019年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)是隨機變化的，也可能多，也可能少，因此是隨機變量．(4)體積為1000cm3的球的半徑長為定值，故不是隨機變量．問題3：什么什連續(xù)性隨機變量連續(xù)型隨機變量是指可以取某一區(qū)間的一切值的隨機變量,又稱作連續(xù)型隨機變量.如：種子含水量的測量誤差問題：你能總結(jié)隨機變量X的特點嗎？(1)可以用數(shù)量來表示;(2)試驗前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值;(3)在試驗前不能確定取何值.概念辨析2.下列變量中是離散型隨機變量的是？(1)下期《詩詞大會》節(jié)目中過關(guān)的人數(shù)；(2)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差；(3)在鄭州至武漢的電氣化鐵道線上，每隔50m有一電線鐵塔，從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進行編號，其中某一電線鐵塔的編號；(4)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位．答案：(1)(3)【解析】(1)是離散型隨機變量．因為過關(guān)人數(shù)可以一一列出．(2)不是離散型隨機變量．因為實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出．(3)是離散型隨機變量．因為電線鐵塔為有限個，其編號從1開始可一一列出．(4)不是離散型隨機變量．因為水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，對水位值我們不能按一定次序一一列出．變式探究：將本例的(4)改為：監(jiān)測站所測水位X是否超過警戒水位(警戒水位是29m)，X是離散型隨機變量嗎?解：設(shè)X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(00<水位≤29m,1水位＞29m))，是離散型隨機變量．問題5：如何判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量？（1）明確隨機試驗的所有可能結(jié)果；（2）將隨機試驗的試驗結(jié)果數(shù)量化；（3）確定試驗結(jié)果所對應(yīng)的實數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是.設(shè)計意圖：通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動，說出自己見解。從而建立全概率的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).教師活動：巡視課堂，參與、點撥、指導(dǎo)小組學(xué)習(xí)學(xué)生活動：閱讀教材，自己獨立完成任務(wù)，完成之后小組研究討論.【用】：變通、遷移等約占本次課的25%設(shè)計意圖：通過概念辨析，讓學(xué)生深化對全概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)教師活動：教師講解例題，對學(xué)生進行引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生歸納做題思路.學(xué)生活動：學(xué)生討論歸納做題思路，完成變式.例1.寫出下列各隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所取值所表示的隨機試驗的結(jié)果：（1）從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張，被取出的卡片的號數(shù)X。（2）一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球數(shù)X．（3）拋擲兩個骰子，所得點數(shù)之和X．（4）接連不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X．（5）某一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的時間X．（6）某林場樹木最高達30米，此林場樹木的高度X．解析：（1）X＝1、2、3、···、10；（2）X＝0、1、2、3；（3）X＝2、3、4、···、12；（4）X＝1、2、3、···、n、···；（5）X?。?，+∞）內(nèi)的一切值；（6）X例2.從標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．解析：設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X，則X＝3,4,5，…，11.X＝3，表示取出標(biāo)有1,2的兩張卡片；X＝4，表示取出標(biāo)有1,3的兩張卡片；X＝5，表示取出標(biāo)有2,3或1,4的兩張卡片；X＝6，表示取出標(biāo)有2,4或1,5的兩張卡片；X＝7，表示取出標(biāo)有3,4或2,5或1,6的兩張卡片；X＝8，表示取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片；X＝9，表示取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片；X＝10，表示取出標(biāo)有4,6的兩張卡片；X＝11，表示取出標(biāo)有5,6的兩張卡片．變式探究：本題中條件不變，所取卡片上的數(shù)字之差的絕對值為隨機變量X，請問X有哪些取值？其中X＝4表示什么含義？解析：X的所有可能取值有：1,2,3,4,5共5個．“X＝4”表示取到卡片1和卡片5或卡片2和卡片6兩種結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練：⑴擲兩枚均勻硬幣一次，則正面?zhèn)€數(shù)與反面?zhèn)€數(shù)之差的可能的值有．⑵袋中有大小相同的5個小球，分別標(biāo)有1、2、3、4、5五個號碼，現(xiàn)在在有放回的條件下取出兩個小球，設(shè)兩個小球號碼之和為X，則X所有可能值的個數(shù)是個；“X＝4”表示．解析：（1）－2、0、2；（2）9；“第一次抽1號、第二次抽3號，或者第一次抽3號、第二次抽1號，或者第一次、第二次都抽2號．解決此類問題的關(guān)鍵是理解清楚隨機變量所有可能的取值及其取每一個值時對應(yīng)的意義，不要漏掉或多取值，同時要找好對應(yīng)關(guān)系．例3.某人去商場為所在公司買玻璃水杯若干只，公司要求至少要買50只，但不得超過80只．商場有優(yōu)惠規(guī)定：一次購買這種玻璃水杯小于或等于50只不優(yōu)惠，大于50只的，超出部分按原價的7折優(yōu)惠，已知原來的水杯價格是每只6元．這個人一次購買水杯的只數(shù)X是一個隨機變量，那么他所付的款額Y是否也是一個隨機變量呢？這兩個隨機變量有什么關(guān)系？解析：公司至少要買50只，則Y=50×6+(X?50)×6×0.7=300+4.2???210=4.2??+90.若X是隨機變量,則Y=aX+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機變量.【用】：檢測反饋約占本次課的20%檢測：檢測：教材第60頁練習(xí)2小結(jié)：1．隨機變量隨機變量是將試驗的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)隨機試驗的某一個隨機事件．定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量．2．離散型隨機變量可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量，通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.3.隨機變量和函數(shù)的關(guān)系隨機變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．【用】：限時訓(xùn)練（分ABC三層，用時30-40分鐘）（分ABC三組，學(xué)生可選做AB組或BC組）A組(基礎(chǔ)題)1．給出下列四個命題：①15秒內(nèi)，通過某十字路口的汽車的數(shù)量是隨機變量；②解答高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ的時間是隨機變量；③一條河流每年的最大流量是隨機變量；④一個劇場共有三個出口，散場后從某一出口退場的人數(shù)是隨機變量．其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3 D．4解析由隨機變量的概念可以直接判斷①②③④都是正確的．答案D2．將一個骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是()A．兩次擲出的點數(shù)之和B．兩次擲出的最大點數(shù)C．第一次與第二次擲出的點數(shù)之差D．兩次擲出的點數(shù)之和為7的概率解析將一個骰子擲兩次，兩次擲出的點數(shù)之和是一個變量，且隨試驗結(jié)果的變化而變化，是一個隨機變量．同理，兩次擲出的最大點數(shù)、第一次與第二次擲出的點數(shù)之差也都是隨機變量，而兩次擲出的點數(shù)之和為7的概率是一個定值．答案D3．下面給出三個隨機變量：①某地110報警臺1分鐘內(nèi)接到的求救電話的次數(shù)X；②某森林樹木的高度在(0，50](單位：m)這一范圍內(nèi)變化，測得某一樹木的高度X；③某人射擊一次擊中的環(huán)數(shù)．其中離散型隨機變量有()A．0個B．1個C．2個 D．3個解析由離散型隨機變量的定義可知①③中的隨機變量都是可以一一列舉出來的，故均為離散型隨機變量，而②中的隨機變量可以取(0，50]內(nèi)的任意值，無法一一列舉，故它不是離散型隨機變量．答案C4．袋中有大小相同的5個鋼球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個號碼．在有放回地抽取條件下依次取出2個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量X，則X的所有可能取值是()A．1，2，…，5 B．1，2，…，10C．2，3，…，10 D．1，2，…，6解析第一次可取1，2，3，4，5中的任意一個，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一個，兩次的號碼和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10.答案C5．拋擲兩枚骰子一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為X，則“X≥5”表示的試驗結(jié)果為()A．第一枚6點，第二枚2點B．第一枚5點，第二枚1點C．第一枚1點，第二枚6點D．第一枚6點，第二枚1點解析由“X≥5”知，最大點數(shù)與最小點數(shù)之差不小于5.答案D6．甲進行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為eq\f(1,2)，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，則X的可能取值為__________．解析甲在3次射擊中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次．答案0，1，2，37．在8件產(chǎn)品中，有3件次品，5件正品，從中任取3件，記次品的件數(shù)為X，則“X<2”表示的試驗結(jié)果是___________________________________________．解析應(yīng)分X＝0和X＝1兩類．X＝0表示取到3件正品；X＝1表示取到1件次品、2件正品．故“X<2”表示的試驗結(jié)果為取到1件次品、2件正品或取到3件正品．答案取到1件次品、2件正品或取到3件正品8．一批產(chǎn)品共有12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取得合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是__________．解析可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品，故X的所有可能取值有0，1，2，3.答案0，1，2，39．某車間三天內(nèi)每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)了1件次品、2件次品，而質(zhì)檢部門每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨機抽取4件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過．若廠內(nèi)對車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制，兩天全不通過檢查得0分，通過一天、兩天分別得1分、2分，設(shè)該車間在這兩天內(nèi)得分為X，寫出X的可能取值．解X的可能取值為0，1，2.X＝0表示在兩天檢查中均發(fā)現(xiàn)了次品．X＝1表示在兩天檢查中有1天沒有檢查到次品，1天檢查到了次品．X＝2表示在兩天檢查中沒有發(fā)現(xiàn)次品．10．指出下列隨機變量是否是離散型隨機變量，并說明理由．(1)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差；(2)在西安至成都的高鐵線上，每隔500m有一電線鐵塔，將電線鐵塔進行編號，其中某一電線鐵塔的編號X；(3)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位X.解(1)不是離散型隨機變量．因為實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出．(2)是離散型隨機變量．因為電線鐵塔為有限個，其編號從1開始，可以一一列出．(3)不是離散型隨機變量．因為水位在(0，29]范圍內(nèi)變化，對水位值我們不能按一定次序一一列出．B組(中等題)11．袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個號碼，任意抽取2個球，設(shè)2個球號碼之和為Y，則Y所有可能值的個數(shù)是()A．25B．10C．7 D．6解析∵Y表示取出的2個球的號碼之和，又1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，1＋5＝6，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，3＋4＝7，3＋5＝8，4＋5＝9，故Y的所有可能取值為3，4，5，6，7，8，9，共7個．答案C12．寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)一個袋中裝有2個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)X；(2)拋擲甲、乙兩枚骰子，所得點數(shù)之和Y.解(1)X可取0，1，2.X＝i，表示取出的3個球中有i個白球，3－i個黑球，其中i＝0，1，2.(