排列組合十二種類(lèi)型（教師版）

排列組合問(wèn)題綜合應(yīng)用一、特殊元素優(yōu)先法例.由可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù)？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，應(yīng)優(yōu)先考慮。末位和首位有特殊要求。先排末位，從三個(gè)數(shù)中任選一個(gè)共有種組合；然后排首位，從和剩余的兩個(gè)奇數(shù)中任選一個(gè)共有種組合；最后排中間三個(gè)數(shù)，從剩余四個(gè)數(shù)種任選三個(gè)共有種排列。由分步計(jì)數(shù)原理得。變式.種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？分析：先種兩種不同的葵花在不受限制得四個(gè)花盒中共有種排列，再種其他葵花有種排列。由分步計(jì)數(shù)原理得。二、相鄰問(wèn)題捆綁法例.人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法？分析：將甲乙兩個(gè)元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，將丙丁兩元素也捆綁成整體看成一個(gè)符合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)在兩對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理得。變式.某人射擊槍?zhuān)袠專(zhuān)瑯屆星『糜袠屵B在一起的情形的不同種數(shù)為多少？分析：命中得三槍捆綁成一槍?zhuān)c命中得另一槍插入未命中四槍形成得五個(gè)空位，共有種排列。三、相離問(wèn)題插空法例.一個(gè)晚會(huì)節(jié)目有個(gè)舞蹈，個(gè)相聲，個(gè)獨(dú)唱，舞蹈不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目出場(chǎng)順序有多少種？分析：相離問(wèn)題即不相鄰問(wèn)題，分兩步。第一步排個(gè)相聲和個(gè)獨(dú)唱共有種排列，第二步將個(gè)舞蹈插入第一步排好后形成的個(gè)空位中（包含首尾兩個(gè)空位）共有種排列，由分步計(jì)數(shù)原理得.變式.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中且不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為多少？分析：將個(gè)新節(jié)目插入原定個(gè)節(jié)目排好后形成的個(gè)空位中（包含首尾兩個(gè)空位）共有種排列。四、定序問(wèn)題倍縮法例.人排隊(duì)，其中甲、乙、丙人順序一定，共有多少種不同的排法？分析：（除序法）除序法也就是倍縮法或縮倍法。對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定得排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他他元素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)。共有不同的排法種數(shù)為：。（空位法）設(shè)想有把椅子，讓除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有種坐法；甲、乙、丙坐其余的三個(gè)位置，共有種坐法?？偣灿蟹N排法。（插入法）先選三個(gè)座位讓甲、乙、丙三人坐下，共有種選法；余下四個(gè)空座位讓其余四人就坐，共有種坐法。共有種排法。變式.人身高各不相等，排成前后排，每排人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少種不同的排法？分析：人身高各不相等且從左至右身高逐漸增加，說(shuō)明順序一定。若排成一排，則只有一種排法；現(xiàn)排成前后兩排，因此共有種排法。五、平均分組用除法例.本不同的書(shū)平均分成堆，每堆本，有多少種不同的分法？分析：分三步取書(shū)有種分法，但存在重復(fù)計(jì)數(shù)。記本書(shū)為，若第一步取，第二步取，第三步取，該分法記為，則在中還有、、、、共種分法。即種分法。注意：平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，分組后一定要除以（為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計(jì)數(shù)。變式.將個(gè)球隊(duì)分成組，一組個(gè)隊(duì)，其他兩組個(gè)隊(duì)，有多少種不同的分法？分析：第一步取個(gè)隊(duì)為一組，有種分法；第二步取個(gè)隊(duì)為一組有種分法；第三步取最后個(gè)隊(duì)為一組有種分法。但第二步第三步存在重復(fù)計(jì)數(shù)，要除以，共有種分法。變式.名學(xué)生分成組，其中一組人。另兩組人，正、副班長(zhǎng)不能分在同一組，有多少種不同的分組方法？分析：=1\*GB3①總的分組方法：第一步取人為一組，共有種分法；余下個(gè)人平均分成兩組，每組個(gè)人，共有種分法，但存在重復(fù)計(jì)數(shù)，需除以.=2\*GB3②正、副班長(zhǎng)同分在人一組：第一步在個(gè)人中取人，加上正、副組長(zhǎng)共人為一組，有種分法；余下個(gè)人平均分成兩組，每組個(gè)人，共有種分法，但存在重復(fù)計(jì)數(shù)，需除以.=3\*GB3③正、副班長(zhǎng)同分在人一組：第一步在在個(gè)人中取人，有種分法；第二步在余下的人中取人，有種取法；第三步余下人加上正、副班長(zhǎng)形成一組，只有一種分法?？偣灿蟹N分法。=1\*GB3①—=2\*GB3②—=3\*GB3③得：總共有種分法。變式.某校高二年級(jí)共有個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排名，則不同的安排種數(shù)為多少？分析：將轉(zhuǎn)入的名學(xué)生平均分成兩組，每組名學(xué)生，共有種分法，但存在重復(fù)計(jì)數(shù)，需除以。然后將分成的兩組分配到個(gè)班級(jí)，有種分法。共有種分法。六、相同元素隔板法例.有個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？分析：每班分配個(gè)名額，只有種分法；將剩下的個(gè)名額分配給個(gè)班。取塊相同的隔板，連同個(gè)相同的名額排成一排，共個(gè)位置。由隔板法知，在個(gè)位置中任取個(gè)位置排上隔板，有種排法。變式.個(gè)相同的球裝入個(gè)盒中，每盒至少一球，有多少種裝法？分析：每盒先裝入個(gè)球，只有種裝法；將剩下的個(gè)球裝入個(gè)盒中。取塊相同的隔板，連同個(gè)相同的球排成一排，共個(gè)位置。由隔板法知，在個(gè)位置中任取個(gè)位置排上隔板，有種排法。變式.，求這個(gè)方程的自然數(shù)解的組數(shù).分析：取塊相同隔板，連同個(gè)相同的排成一排，共個(gè)位置。由隔板法知，在個(gè)位置中任取個(gè)位置排上隔板，有種排法。七、正難問(wèn)題總體反向淘汰法例.從十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)，使其和為不小于的偶數(shù)，不同的取法有多少種？分析：直接求和不小于的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。十個(gè)數(shù)字中有個(gè)偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，所取的三個(gè)數(shù)字含有個(gè)偶數(shù)的取法有種，只含有個(gè)偶數(shù)的取法有種，和為偶數(shù)的取法共有種。淘汰和小于的偶數(shù)共種：，符合條件的取法共有種。變式.一個(gè)班有名同學(xué)，從中任抽人，正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少抽到一人的抽法有多少種？分析：全班抽取人有種抽法，未抽到正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記的抽法有種；正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少抽到一人的抽法有種。八、重排問(wèn)題求冪法例.把名實(shí)習(xí)生分配到個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法？分析：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有種分法，把第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有種分法，依此類(lèi)推，由分步計(jì)數(shù)原理共由種不同的分法。變式某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單，那么不同插法的種數(shù)為多少？分析：完成此事共分兩步：把第一個(gè)新節(jié)目插入原定個(gè)節(jié)目排后形成的六個(gè)空位中，共有種插法；把第二個(gè)新節(jié)目插入前面?zhèn)€節(jié)目形成的七個(gè)空位中，有種插法。由分步計(jì)數(shù)原理共由種不同的插法。變式某層大樓一樓電梯上來(lái)名乘客，他們到各自的一層下電梯，下電梯的下法有多少種？分析：第一名乘客下電梯有種下法，第二名乘客下電梯也有種下法，依此類(lèi)推，由分步計(jì)數(shù)原理共由種不同的下法。九、圓（環(huán)）排問(wèn)題直排法①環(huán)形排列問(wèn)題：如果在圓周上個(gè)不同的位置編上不同的號(hào)碼，那么從個(gè)不同的元素中選取個(gè)元素排在圓周上不同的位置，這種排列和直線排列是相同的；如果從從個(gè)不同的元素中選取個(gè)元素排在圓周上，位置沒(méi)有編號(hào)，元素間相對(duì)的位置關(guān)系沒(méi)有改變，不計(jì)順逆方向，這種排列和直線排列是不同的，這就是環(huán)形排列問(wèn)題.②環(huán)形排列數(shù)：一個(gè)個(gè)元素的環(huán)形排列，相當(dāng)于一個(gè)有個(gè)頂點(diǎn)的多邊形，沿相鄰兩個(gè)點(diǎn)的弧線剪斷，再拉直就是形成一個(gè)直線排列，即一個(gè)個(gè)元素的環(huán)形排列對(duì)應(yīng)著個(gè)直線排列.設(shè)從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素組成的環(huán)形排列數(shù)為個(gè)，則對(duì)應(yīng)的直線排列數(shù)為個(gè).又因?yàn)閺膫€(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一排的排列數(shù)為個(gè)，所以，即.③環(huán)形排列數(shù)公式：=1\*GB4㈠從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素組成環(huán)形排列數(shù)為.=2\*GB4㈡?zhèn)€元素的環(huán)形排列數(shù)為例.人圍桌而坐，共有多少種坐法？分析：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線（如圖所示），其余人共有種坐法。變式.顆不同顏色的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？分析：可穿成種不同的鉆石圈。多排問(wèn)題單排法例.人排成前后兩排，每排人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少種排法？分析：人排成前后兩排，相當(dāng)于人坐把椅子，可以把椅子排成一排。先排前個(gè)位置上個(gè)特殊元素甲、乙共有種排法；再排后個(gè)位置上個(gè)特殊元素丙有種；其余的人在個(gè)位置上任意排列有種。共有種不同的排法。排好后，按照前人為前排，后人為后排分成兩排即可。變式.有兩排座位，前排個(gè)座位，后排個(gè)座位。現(xiàn)安排人就坐，規(guī)定前排中間的個(gè)座位不能坐，并且這人不左右相鄰，有多少種不同的坐法？分析：=1\*GB3①前后兩排共個(gè)座位。=2\*GB3②前排中間第號(hào)個(gè)座位甲、乙二人不能坐。=3\*GB3③甲、乙二人不能左右相鄰。前排第號(hào)和后排第號(hào)個(gè)座位，甲、乙中任一人就坐，有種坐法，與之相鄰座位只能排除一個(gè)，另一人有種坐法，共有種坐法；而其它個(gè)座位，甲、乙中任一人就坐，有種坐法，與之相鄰座位要排除兩個(gè)，另一人有種坐法，共有種坐法?？偣灿蟹N不同的坐法。排列組合混合問(wèn)題先選后排法例.有個(gè)不同的小球，裝入個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球，共有多少種不同的裝法？分析：第一步從個(gè)球中選出組成復(fù)合元素，有種方法；第二步把個(gè)元素（包含一個(gè)復(fù)合元素）裝入個(gè)不同的盒內(nèi)，有種方法。由分步計(jì)數(shù)原理得。變式.一個(gè)班有名戰(zhàn)士，其中正、副班長(zhǎng)各人?，F(xiàn)從中選人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正、副班長(zhǎng)有且只有人參加，則不同的選法有多少種？分析：=1\*GB3①正、副班長(zhǎng)選一人，有種選法；=2\*GB3②名戰(zhàn)士選三人，有種選法；=3\*GB3③給選出的人分配四種不同的任務(wù)，有種分配法。由分步計(jì)數(shù)原理得。含約束條件問(wèn)題合理分類(lèi)與分步法例.在一次演唱會(huì)上共名演員，其中人會(huì)唱歌，人會(huì)跳舞，現(xiàn)要演出一個(gè)人唱歌人伴舞的節(jié)目，有多少種選派方法？分析：名演員中有人只會(huì)唱歌，人只會(huì)跳舞，人為全能演員。以選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)分三類(lèi)，每一類(lèi)中再分步：=1\*GB3①只會(huì)唱歌的人中沒(méi)有人選上唱歌人員，有種；=2\*GB3②只會(huì)唱歌的人中只有人選上唱歌人員，有種；=3\*GB3③只會(huì)唱歌的人中有人選上唱歌人員，有種。由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有種選派方法。注意：解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按時(shí)間發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步。做大分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，貫穿解題過(guò)程始終；每一類(lèi)中分步層次清楚，不重不漏。本題還有如下分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：以全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)；全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)；以只會(huì)跳舞的人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)。變式從名男生和名女生中選出人參加某個(gè)座談會(huì)，若這人中必須既有男生又有女生，則不同的選法有多少種？分析：以選上女生為標(biāo)準(zhǔn)分三類(lèi)，每一類(lèi)中再分步：=1\*GB3①選上女生人，有種；=2\*GB3②選上女生人，有種；=3\*GB3\*ME