第二節(jié)中心極限定理

第二節(jié)中心極限定理第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一(1).具有有限方差的一列獨立同分布的隨機變量的和經過標準化后是以標準正態(tài)分布為極限的，這就是獨立同分布的中心極限定理或稱為

林德貝爾格---勒維中心極限定理。當同分布為二項分布時就得出該定理的特例，即為：

棣莫弗---拉普拉斯定理，它也是二項分布的正態(tài)近似。 這僅僅是經驗之談呢，還是確有理論依據呢？對于這樣一個重要問題，在長達兩個世紀內一直成為概率論研究的中心問題。數學家們經過卓越工作建立了一系列定理，解決了這一問題，并指出:第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一(2).對“由大量微小的獨立的隨機因素”（不要求同分布）引起并累積成的變量，當隨機因素個數趨于無窮時以正態(tài)分布為極限。這就是李雅普諾夫中心極限定理。比如：一臺機床已經調試良好，操作正常。但由于機床的微小震動、工具的微小變形、原材料質量上的微小差異、工作操作上的微小偏差等等數不清的隨機因素，它們每一個因素在總的影響中所起的作用都是微小的。而綜合起來在產品質量上就形成一定的誤差，這誤差近似服從正態(tài)分布。第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一在一定條件下，大量的隨機變量之和的概率分布以正態(tài)分布為極限的定理稱為中心極限定理。在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理。故：研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題。當

n無限增大時，這個和的極限分布是什么？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？研究的問題：第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生的總影響：例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響：中心極限定理的客觀背景

如，瞄準時的誤差，空氣阻力所產生的誤差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.而所要研究的是：這些隨機因素的總影響。第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一一.獨立同分布中心極限定理定理1.設隨機變量相互獨立且服從同一分布，其數學期望與方差:（林德貝爾格---勒維(Levy－Lindberg)定理）則隨機變量之和的標準化變量：第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一的分布函數對于任意滿足:證：(略)它要用到特征函數和傅利葉變換等等。注:▲定理1表明，當n充分大時，n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布。雖然在一般情況下，很難求出X1+X2+…+Xn

的分布的確切形式，但當n很大時，可以求出其近似分布。第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一定理1表達了正態(tài)分布在概率論中的特殊地位:盡管分布是任意的，但只要n充分大后，其樣本平均值的分布卻是近似服從正態(tài)分布的：▲或這一結果是數理統(tǒng)計中大樣本統(tǒng)計推斷的基礎第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一二.李雅普諾夫定理定理2.設隨機變量相互獨立，它們具有數學期望和方差為：(Liapunov中心極限定理)記若存在正數使得當第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一則隨機變量之和的標準化變量：的分布函數對于任意滿足:證明：（略）第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一注:▲定理2表明，當n充分大時，隨機變量：近似服從標準正態(tài)分布。即，近似服從正態(tài)分布▲由此，定理2再次表達了正態(tài)分布在概率論中的特殊地位：無論各個隨機變量服從什么分布，只要滿足定理2的條件，那么它們的和當n充分大時就近似服從正態(tài)分布。第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一三.棣莫弗---拉普拉斯定理定理3.（DeMoivere—laplace中心極限定理）設隨機變量相互獨立，且服從參數為的二項分布，則對任意恒有:證明:服從參數為的二項分布若隨機變量相互獨立，且服從同一(0—1)分布，則見教材P125例6的結論第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一由此是n個相互獨立，服從同一(0--1)分布的之和。即：其中的分布律為：由定理1得：第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一注:定理3表明，正態(tài)分布是二項分布的極限分布，當n充分大時可以用正態(tài)分布來計算二項分布的概率。在第二章中已介紹當時，二項分布以泊松分布為極限分布；而在本章中二項分布又以正態(tài)分布為極限分布。這兩者的區(qū)別是：▲▲在泊松定理中要求在中心極限定理中要求所以在實際計算中，如果n很大但np或nq不大(即p很小或q=1-p很小)，那么應該用泊松定理去近似；如果n，np或nq都較大，那么應該用中心極限定理去近似。第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一中心極限定理的直觀圖示例:20個服從（0—1）分布的隨機變量的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)例:幾個在(0,1)上服從均勻分布的隨機變量的和的分布。0123xfgh▲第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一例1.

抽樣檢查產品質量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個則認為這批產品不能接受。解:設應檢查產品個數為n，其中次品數為X，則現(xiàn)要求n，使得：求：應該檢查多少個產品，可使次品率為10%的一批次品不能接受的概率達到0.9?由定理3近似服從N(0,1)第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一由3σ準則，為1要只要：即要：此時由于：第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一必定有：只要：所以要：因為即查表得:故結論：應檢查146個產品時，可使這批產品不被接受的概率為0.9第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一例2.計算機進行加法計算時，把每個加數取為最接近它的整數來計算。設所有的取數誤差是相互獨立的隨機變量，并且都在區(qū)間[--0.5,0.5]上服從均勻分布。求:現(xiàn)有1200個數相加，誤差總和的絕對值小于10的概率。(2)應有多少個數相加時可使誤差總和的絕對值小于10的概率大于0.9解:設為各個加數的取數誤差則這是一列獨立同分布的隨機變量，其所有加數的誤差總和為：第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一從而：(1).在服從均勻分布這里:第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一(2).由定理1近似服從N(0,1)第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一只要:查表得:解得:結論:441個數相加時可使誤差總和的絕對值小于10的概率大于0.9所以要第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一例3.在人壽保險公司里，有16000名同一年齡的人參加人壽保險。一年里這些人的死亡率為0.1%；參加保險的人在一年的第一天交付保險費3元，死亡時家屬可以從保險公司領取2000元。求:(1).保險公司因開展這項業(yè)務獲利不少于10000元的概率(2).保險公司因開展這項業(yè)務虧本的概率解:由題意，死亡人數這里，第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一保險公司一年內這項保險收入是：獲利不少于10000元，即賠償不大于38000(元)，即一年內至多有（人）死亡即該公司獲利不少于10000(元)的概率為0.7734.(1).所以:第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一公司虧本即賠款大于48000元，即一年內