第五講大數(shù)定理與中心極限定理

第五講大數(shù)定理與中心極限定理1第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一在歷史上，1713年貝努里第一個對經(jīng)驗頻率的穩(wěn)定性給也了嚴(yán)格的理論證明，稱為貝努里大數(shù)定理。后來切貝謝夫在一般條件下推導(dǎo)出了大數(shù)定理，稱為切貝謝夫大數(shù)定理。1929年，辛欽在同分布的條件下推廣了切貝謝夫定理，稱為辛欽定理。大數(shù)定律背景知識2第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

大數(shù)定律切貝謝夫不等式3第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例14第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例2

設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,假定開,關(guān)彼此獨立,估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率.提示:5第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一提示:例36第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

大數(shù)定律依概率收斂:7第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

大數(shù)定律切貝謝夫大數(shù)定理8第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

大數(shù)定律切貝謝夫大數(shù)定理的啟示具有有限方差的隨機變量序列的平均數(shù)依概率收斂于它們的數(shù)學(xué)期望的平均數(shù).9第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

大數(shù)定律貝努里大數(shù)定理10第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

大數(shù)定律貝努里大數(shù)定理的啟示

頻率具有穩(wěn)定性.

這也是概率的頻率定義的理論依據(jù)11第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

大數(shù)定律辛欽大數(shù)定理12第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

大數(shù)定律辛欽大數(shù)定理的啟示對于同一個隨機變量進行n次獨立觀測,則所有觀測結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于隨機變量的期望值.13第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

中心極限定理李雅普諾夫中心極限定理14第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

中心極限定理李雅普諾夫中心極限定理的啟示如果一個隨機現(xiàn)象是由眾多因素共同作用引起,每一個因素在總的變化中都不起顯著作用,就可以斷定描述該隨機現(xiàn)象的隨機變量(不論是連續(xù)型的還是離散型的)近似地服從正態(tài)分布.15第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

中心極限定理拉普拉斯中心極限定理16第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

中心極限定理運用中心極限定理時應(yīng)注意:17第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

中心極限定理運用中心極限定理時應(yīng)注意:(2)中心極限定理成立的條件是n趨于無窮大.在具體應(yīng)用時n應(yīng)多大呢？一般要求n應(yīng)大于30.否則誤差會較大.18第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例1

設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,假定開,關(guān)彼此獨立,估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率.提示:19第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例2每顆炮彈命中飛機的概率為0.01,求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.20第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一提示:21第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例3

某車間有同型號機床200部,每部開動的概率為0.7,假定各機床的開與關(guān)是相互獨立的,開動時每部機床要消耗電能15個單位.問電廠至少要供應(yīng)多少電能給這個車間,才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).提示:(電能單位)22第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例4

某商店負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)1000人的商品某種商品在一段時間內(nèi)每人需要用一件的概率為0.6,假定在這一段時間內(nèi)各人購買與否彼此獨立,問商店應(yīng)預(yù)備多少件這樣的商品才能以99.7%的概率保證不會脫銷(假定該商品在一定的時間內(nèi)最多需要一件).提示:643件23第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例5設(shè)有30個電子器件,它們的使用壽命(單位:小時)T1,T2,…,T30服從參數(shù)λ=0.1的指數(shù)分布,其使用情況是第一個損壞第二個立即使用,第二個損壞第三個立即使用,依次類推.令T為30個器件使用的總計時間,(1)求T超過350小時的概率;(2)若電子器件每件a元,那么在年計劃中一年需要多少元才能有95%的概率保證夠用(假定一年有306個工作日)?提示:(1)0.1814(2)272a24第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例6提示:N(a2,a4-a22)25第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例7提示:自然數(shù)1626第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例8設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為-0.5,則根據(jù)車貝雪夫不等式有

提示:1/1227第二十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

一生產(chǎn)線的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機的.假設(shè)